基于傳遞函數(shù)模型的模型簡(jiǎn)化方法研究

1、基于傳遞函數(shù)模型的模型簡(jiǎn)化方法研究摘要自動(dòng)化技術(shù)高度發(fā)展的今天，需要設(shè)計(jì)、研究和控制的系統(tǒng)愈加復(fù)雜龐大。經(jīng)典控制理論的發(fā)展，現(xiàn)代控制理論的崛起，狀態(tài)空間方法的產(chǎn)生和微型計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用給工程技術(shù)人員設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)創(chuàng)造了條件。但是建造的模型階數(shù)越來(lái)越高，維數(shù)越來(lái)越多，以至無(wú)窮，就是運(yùn)用大型計(jì)算機(jī)要計(jì)算模擬這些模型的特性也存在著幾乎是不能實(shí)現(xiàn)的困難。本文首先著重闡述了當(dāng)今國(guó)內(nèi)外從傳遞函數(shù)角度入手，簡(jiǎn)化線性定常高階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾種逼近方法Pade逼近法、時(shí)間矩逼近法、連分式逼近法、Routh逼近法和可調(diào)參數(shù)逼近法。并且通過(guò)實(shí)例論述了如何具體運(yùn)用這些方法來(lái)簡(jiǎn)化高階模型，同時(shí)評(píng)述了它們的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍

2、，接著介紹了國(guó)內(nèi)外在工程實(shí)際中運(yùn)用逼近法的部分情況，并以一個(gè)四階RC梯形網(wǎng)絡(luò)的方框圖解耦為例進(jìn)一步論證了簡(jiǎn)化方法在網(wǎng)絡(luò)模擬和計(jì)算上的重要作用。然后介紹了設(shè)計(jì)PID參數(shù)的虛擬對(duì)象的方法和可調(diào)參數(shù)逼近法。Pade降階具有計(jì)算簡(jiǎn)單和低頻逼近精度高的優(yōu)點(diǎn)，降階的實(shí)質(zhì)是把原系統(tǒng)高階傳函中的低頻信息提取到虛擬對(duì)象的三個(gè)參數(shù)中來(lái)以便于設(shè)計(jì)。本設(shè)計(jì)最后對(duì)連分式法進(jìn)行了分析和研究，該算法在各種頻域降階法中思路較清晰、設(shè)計(jì)較簡(jiǎn)單、降階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)之間的擬合精度較高。關(guān)鍵詞傳遞函數(shù)；Pade逼近法；Routh逼近法；PID參數(shù)降階；連分式法；Research of model simplification

3、 method based on transfer function modelAbstractRight now with the high development of automantion, system that is need to be designed. researched and control becomes more and more complicated.The development of the classic control theory, the rise of modern control theory,the appearant of statespac

4、e method and the wide application of micro-computer created condition for the egnieers and technicians to design high order system. But the order of model becomes higher and higher; the divention also becomes more and more,which even approaches infility and diffiantties which cant be overcome exists

5、 even using micro-computer to caculate and analog the characteristies of these models.In this paper, several approaching methods-pade approaching methods time turque approaching method connection and dirision style approaching Routh approaching method,and adjustable paramenter approaching method are

6、, emphasized according to transfer function simplified linear constant high order system method model at the same time. Their advantages and disadvantages and the application range are elaborated. Next, some situation of the practical application of approaching methods. Are introduced, and the signi

7、ficance of the simplified method in web anolog and calculation is further testified with the example of a square picture of a four orders R-C web.Then the meyhod of dedigning the virtual object of PID parameter and adjustable parameters approaching of simple calculation and high accuraly of low freq

8、uency approaching.The substance of the order is to put the low frequenly information of the original system function into the three parameters of the virtual objects in order to make it convenience for the design. In this paper, the digiral stimulation and the experiment of experiment device are giv

9、en. And the snperiority of the algorithm over traditional PID algorithm is shown, the results are satisfying. In the end, the analysis and researed of connection and division method are carned on in the design. Among the various frequency drain order reduction methods, this algorithm is comparable K

10、eywordstransfer function; pade approaching; Routh approaching; PID parameter； conction and division method;不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)被打印目錄摘要IAbstractII第1章 緒論11.1 模型簡(jiǎn)化課題的背景及發(fā)展11.2 模型簡(jiǎn)化問(wèn)題的提出及意義1第2章 Pade逼近法52.1 一般意義下的Pade逼近52.2 基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法92.3 時(shí)間矩?cái)M合法112.4 連分式逼近法142.5 Routh逼近法182.6 模型簡(jiǎn)化技術(shù)在實(shí)際工程中的應(yīng)用222.7 本章小

11、結(jié)27第3章 高階系統(tǒng)的PID參數(shù)降階設(shè)計(jì)283.1 高階系統(tǒng)的PID參數(shù)降階283.2 可調(diào)參數(shù)逼近的簡(jiǎn)化法293.3 可調(diào)參數(shù)的確定及誤差估計(jì)333.4 本章小結(jié)35第4章 線性系統(tǒng)頻域模型簡(jiǎn)化的連分式法364.1引言364.2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)364.3連分式384.4展開(kāi)和反演414.5多變量系統(tǒng)矩陣連分式降階434.6 當(dāng)今的發(fā)展情況444.7本章小結(jié)44結(jié)論45致謝46參考文獻(xiàn)47附錄英文原文48中文翻譯54千萬(wàn)不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)被打印。在目錄上點(diǎn)右鍵“更新域”，然后“更新整個(gè)目錄”。打印前，不要忘記把上面“Abstract”這一行后加一空行緒論模型簡(jiǎn)化課題的背景及發(fā)展

12、自動(dòng)化技術(shù)高度發(fā)展的今天，需要設(shè)計(jì)、研究和控制的系統(tǒng)愈加復(fù)雜龐大。經(jīng)典控制理論的發(fā)展，現(xiàn)代控制理論的崛起，狀態(tài)空間方法的產(chǎn)生和微型計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用給工程技術(shù)人員設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)創(chuàng)造了條件。但是建造的模型階數(shù)越來(lái)越高，維數(shù)越來(lái)越多，以至無(wú)窮，就是運(yùn)用大型計(jì)算機(jī)要計(jì)算模擬這些模型的特性也存在著幾乎是不能實(shí)現(xiàn)的困難。Bellman把這形容成“維數(shù)的災(zāi)難”。要把控制理論從“維數(shù)的災(zāi)難”中解救出來(lái)，發(fā)現(xiàn)和探求系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型是極其主要的方法之一。喜多村認(rèn)為“大量的控制問(wèn)題歸于數(shù)值計(jì)算和極值探索上的問(wèn)題，系統(tǒng)模型的低階逼近在使問(wèn)題的解決簡(jiǎn)單化上起著決定性的作用” 。不僅如此，基于某種程度上的控制指標(biāo)，盡可能簡(jiǎn)化

13、本身也是最優(yōu)化的必要條件之一。正因?yàn)檫@樣，模型簡(jiǎn)化問(wèn)題是那樣的引人注目。近期，國(guó)外雜志上陸續(xù)發(fā)表了不少有關(guān)于模型簡(jiǎn)化問(wèn)題的詳細(xì)綜述，力圖進(jìn)一步引起人們的重視，從其引用文獻(xiàn)數(shù)目之多，涉及時(shí)間及范圍之廣，足以想象簡(jiǎn)化技術(shù)的重要性，也可見(jiàn)本領(lǐng)域的發(fā)展歷史及正在發(fā)展的工作方興未艾。模型簡(jiǎn)化問(wèn)題的提出及意義簡(jiǎn)化意味著在一定條件下把狀態(tài)空間的描述保持到最低的維數(shù)，把高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)盡可能降到最低的階數(shù)。在保證原系統(tǒng)不失去其原有的穩(wěn)定性的條件下，拋掉系統(tǒng)中那些次要的可忽略的因素，保留那些主要的、支配的因素，進(jìn)而用最少的因素去描述它們。接著就是建立一個(gè)逼近度的標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題。概括起來(lái)就是簡(jiǎn)化要做的工作。把一個(gè)高

14、階系統(tǒng)簡(jiǎn)化到很低的階數(shù)是完全可能的。在這從圖1-1、圖1-2所示的階躍響應(yīng)曲線對(duì)照?qǐng)D可以看出。圖1-1是一個(gè)十階的RC梯形網(wǎng)絡(luò)及其二階簡(jiǎn)化模型的階躍響應(yīng)曲線比較圖，其最大誤差不超過(guò)1.3%；圖1-2是六階多容慣性系統(tǒng)及其三階簡(jiǎn)化模型階躍響應(yīng)曲線比較圖，其最大誤差不超過(guò)1.5%。這樣建立起來(lái)的低階系統(tǒng)無(wú)論從計(jì)算的簡(jiǎn)易性、控制的直觀性和其電模型運(yùn)行的可靠性上來(lái)說(shuō)均有好處。如果從一種效率的角度來(lái)看簡(jiǎn)化，則一個(gè)能在所需要的工作范圍內(nèi)代表某一高階系統(tǒng)的低階模型結(jié)構(gòu)，實(shí)質(zhì)上就是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想。這種思想正是近代控制及其工業(yè)系統(tǒng)力圖實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)之一。圖1-1 10階RC梯形網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)及其(1、2)階可調(diào)參

15、數(shù)法簡(jiǎn)化模型的階躍響應(yīng)曲線對(duì)照程序：num=-3.3125,1;den=312.8125,51.6875,1;t=0:0.1:70;R=tf(num,den);y1=step(R,t);num=1;den=1,19,153,680,1820,3003,3003,1716,495,55,1;G=tf(num,den);y2=step(G,t);plot(t,y1,-,t,y2,-);xlabel(時(shí)間,FontSize,10);ylabel(輸出,FontSize,10);圖1-2 6階多容慣性系統(tǒng)及其(2、3)階可調(diào)參數(shù)法簡(jiǎn)化模型的階躍響應(yīng)曲線對(duì)照程序：G=tf(1,conv(conv(1,2

16、,1,1,1),conv(1,2,1,1,1);y1=step(G,t);t=0:0.1:15;R=tf(0.34914,1.01186,1,conv(2.2,1,3.14407,2.78814,1);y2=step(R,t);plot(t,y1,-,t,y2,-);xlabel(時(shí)間,FontSize,10);ylabel(輸出,FontSize,10);多年來(lái)人們從各種不同的角度對(duì)簡(jiǎn)化技術(shù)進(jìn)行了很多的研究，理論上也有很大的進(jìn)展。其一是基于非奇異攝動(dòng)理論和奇異攝動(dòng)理論對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行等價(jià)線形變換使得系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)變得清楚，或者使矩陣對(duì)角化，再適當(dāng)化簡(jiǎn)。典型的方法有建立集約化模型，從可控性發(fā)出的

17、降階和保留代表根法等。從這種角度出發(fā)簡(jiǎn)化的缺點(diǎn)是改變了系統(tǒng)固有的物理意義，降階系統(tǒng)和原系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系難于理解。其二是在已知高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線和頻域響應(yīng)曲線的情況下采用曲線擬合的方法。通過(guò)擬合計(jì)算，圖解估計(jì)獲得低階模型。這種簡(jiǎn)化辦法僅是數(shù)值分析方法的一個(gè)分枝，而包含與數(shù)值分析中的麻煩總是有的，響應(yīng)曲線試驗(yàn)中的干擾更是難于避免的，何況必須先有高階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線才能著手簡(jiǎn)化。其三是由實(shí)驗(yàn)取得輸入輸出數(shù)據(jù)，直接從數(shù)據(jù)出發(fā)建立低階模型。例如所謂的一致逼近法和運(yùn)用Kautz標(biāo)準(zhǔn)正交系的逼近法等。起四是建立在誤差最小基礎(chǔ)上的所謂最優(yōu)簡(jiǎn)化。此法把簡(jiǎn)化模型與原模型相比較，在某種誤差準(zhǔn)則上獲得誤差函數(shù)，例如：

18、方差函數(shù)、均方差函數(shù)等，并對(duì)其求極值以決定簡(jiǎn)化模型參數(shù)。此法的缺點(diǎn)是計(jì)算量太復(fù)雜、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)吻合差。再有就是在復(fù)域中對(duì)傳遞函數(shù)的降階法，由于傳遞函數(shù)在經(jīng)典理論和現(xiàn)代理論分析中占有重要地位，本章特著重評(píng)述這類方法在在當(dāng)今國(guó)內(nèi)外的發(fā)展情況。較為詳細(xì)地給讀者介紹這些方法的原理、用途、評(píng)價(jià)它們的使用價(jià)值。在用傳遞函數(shù)表示的線性定常高階系統(tǒng)的低階逼近方法中，具有代表性的幾種是Pade逼近法、時(shí)間矩?cái)M合法、連分式逼近法、Routh逼近法、可調(diào)參數(shù)法和高階系統(tǒng)的PID參數(shù)降階。Pade逼近法 一般意義下的Pade逼近Pade逼近法是用有理函數(shù)作逼近函數(shù)的逼近方法。用有理函數(shù)可以逼近在有限點(diǎn)處其值為無(wú)窮的函數(shù)，

19、或者在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于某一定數(shù)的函數(shù)，以及一些無(wú)理函數(shù)、超越函數(shù)(例如)等。對(duì)于諸如G(s)= (2-1)這樣的高階有理函數(shù)，Pade逼近法可以有效地以階次低得多的有理函數(shù)逼近它。這這里運(yùn)用逼近方法的運(yùn)算過(guò)程及其某些限制加以討論。 設(shè)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)可在給定點(diǎn)S附近展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)： G(s)= c+c(s-s)+c(s-s)+ (2-2)其中(i=0,1,2)為常系統(tǒng)，且c=。為符號(hào)簡(jiǎn)明起見(jiàn)以下設(shè)s=0,則上式變?yōu)椋?G(s)=c+cs+cs+ (2-3)若設(shè)對(duì)應(yīng)G(s)有一有理函數(shù)R(s)(j,k)。( (j,k)表示分子為j階多項(xiàng)式，分母為k階多項(xiàng)式的有理函數(shù)的集合)R(s)=

20、 r+rs+rs+ (2-4)并約定c=r(i=0,1,2),則稱R(s)為函數(shù)G(s)的Pade逼近。R(s)的分子、分母多項(xiàng)式P(s)、Q(s)de 系數(shù)d(p=0,1,j)、e(q=0,1,k)由下列線性方程組確定。注意其中還假設(shè)P(s)、Q(s)無(wú)公因子，且Q(0)0。還因P(s)、Q(s)是分子分母的關(guān)系，可設(shè)e=1:d=cd-ce=cd-ce-ce=cd-ce-ce-ce=c (2-5)-ce-ce-ce=c-ce-ce-ce=c其中當(dāng)p0時(shí)c.=0。(p是(5)式中系數(shù)c的腳標(biāo))寫(xiě)成矩陣形式為 (2-6) = 0 0 0 0 -c -c-c e c應(yīng)注意的是，方程組不一定總是有解

21、，其解存在唯一的條件是下列矩陣：H = (2-7)的行列式不為零，即矩陣H為非奇異矩陣。例1：現(xiàn)在看來(lái)用Pade逼近法簡(jiǎn)化一個(gè)四階RC梯形網(wǎng)絡(luò)所組成的傳遞函數(shù)G(s)= (2-8)我們先用長(zhǎng)除法將(8)式展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，則得=1-10s+85s-70s+ (2-9)由(5)式所得的方程組可分別求得(0,1)階、(0,2)階逼近式的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)。從而這些逼近式分別為R(s)= (2-10)R(s)= (2-11) (2-12)四條階躍響應(yīng)曲線繪于圖3，各時(shí)刻的響應(yīng)值列于表1。表1和圖3清楚表明對(duì)于四階RC網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)(1,2)階Pade逼近的誤差已經(jīng)小到小數(shù)點(diǎn)三位以后，它們的階躍響應(yīng)曲線除起始

22、段稍有差別外基本上完全一致。這說(shuō)明Pade逼近具有相當(dāng)高的精度。表(2-1)4階RC梯形網(wǎng)絡(luò)及其各階Pade逼近階躍響應(yīng)值比較 分類012468101420y(t)00.01190.06890.24000.39890.52720.62850.77070.8888y(t)00.09520.18130.32970.55050.63210.75340.8647y(t)000.02690.08770.24230.39230.51940.62220.76790.8886y(t)00.00710.07220.24250.39920.52690.62810.77050.8887圖2-1 4階RC梯形網(wǎng)絡(luò)傳遞

23、函數(shù)及其各階Pade逼近模型的階躍響應(yīng)曲線對(duì)照。程序：G=tf(1,1,7,15,10,1);y1=step(G,t);t=0:0.1:25;R1=tf(1,10,1);y2=step(R1,t);R2=tf(1,15,10,1);y3=step(R2,t);R3=tf(-0.46667,1,10.33333,5.3333,1);y4=step(R3,t);plot(t,y1,-,t,y2,-,t,y3,-.,t,y4,:);但是Pade逼近存在著一個(gè)嚴(yán)重的缺點(diǎn)，極大地妨礙了它的應(yīng)用。當(dāng)高 階模型傳遞函數(shù)的分子存在零點(diǎn)的時(shí)候，用Pade逼近獲得的模型不能保持原有系統(tǒng)的穩(wěn)定性。我們看來(lái)一個(gè)四階傳

24、遞函數(shù)： (2-13)運(yùn)用Pade逼近法求得其(1,2)階逼近式為： (2-14)顯然(12)式分母多項(xiàng)式的系數(shù)出現(xiàn)各系數(shù)符號(hào)不同的情況。由Routh穩(wěn)定判據(jù)知其存在正實(shí)部的根，是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是原模型分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)共同影響簡(jiǎn)化模型中分母多項(xiàng)式的系數(shù)的結(jié)果。為了克服這一缺點(diǎn)，人們研究了許多改進(jìn)的方案。其中較為典型的有保留支配極點(diǎn)的Pade逼近法，使用Cauchy內(nèi)插的Pade逼近法，使用Hurwitz多項(xiàng)式的Pade逼近法和基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法。它們的共同特點(diǎn)是對(duì)于漸進(jìn)穩(wěn)定的系統(tǒng)先采取一定辦法得到穩(wěn)定簡(jiǎn)化模型的分母多項(xiàng)式，然后用Pade逼

25、近法確定分子多項(xiàng)式的系數(shù)?；赗outh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法最具代表性，并將在下面進(jìn)行較為詳細(xì)的介紹?；赗outh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法設(shè)漸進(jìn)穩(wěn)定的高階系統(tǒng)得傳遞函數(shù)為： (2-15)運(yùn)用Routh穩(wěn)定判據(jù)于G(s)的分母多項(xiàng)式，將其寫(xiě)成下式，(這里不妨設(shè)n為偶數(shù))則 并將其展開(kāi)成連分式形式：Q(s)= (2-16)其中a(i=0,1,2n)常數(shù)的決定由Routh穩(wěn)定判據(jù)陣列求得，具體求法見(jiàn)第5節(jié)的Routh逼近法中的系數(shù)a的求法。簡(jiǎn)化模型R(s)的分母可由下述截短連分式反演成有理函數(shù)后的分母給出。 (2-17) 獲得了R(s)的分母多項(xiàng)式Q(s)后其系數(shù)才c(q=0,2,k)已知。分

26、子多項(xiàng)式P(s)的系數(shù)d(p=0,1,j)可以從(5)式所示的方程組中前j+1個(gè)方程 (2-18)求得。其中當(dāng)p0時(shí)c=0。這樣的簡(jiǎn)化模型保證了穩(wěn)定性，計(jì)算方法較為簡(jiǎn)單。例4：對(duì)高階傳遞函數(shù)用長(zhǎng)除法求得其冪級(jí)數(shù)G(s)=c+cs+cs+cs+,其中c=10,c=7.5。 =因此： 令 應(yīng)用(5)式前2個(gè)方程得：于是 (2-19)顯然由此得到的簡(jiǎn)化模型保證了穩(wěn)定性。時(shí)間矩?cái)M合法設(shè)G(s)是漸近穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，g(t)為其沖量響應(yīng)。定義其i階時(shí)間矩為 i=0,1,2 (2-20)而簡(jiǎn)化模型R(s)的第i階時(shí)間矩為： i=0,1,2 (2-21)時(shí)間矩?cái)M合法的中心思想就是高階模型G(s)和其(j,k

27、)階逼近式R(s)的前j+k階時(shí)間矩應(yīng)完全吻合，即-=0,1,2j+k (2-22)由拉氏變換的微分定理知： L=式中G(s)=Lg(t)= ,當(dāng)s=0時(shí)上式變成：=(-1)=又，G(s)本身在s=0點(diǎn)的Taylor展式為 G(s)=式中，由此可以看出系數(shù)c和M(g)之間滿足關(guān)系： (2-23)實(shí)質(zhì)上簡(jiǎn)化模型與原模型之間的時(shí)間矩匹配是兩傳遞函數(shù)冪級(jí)數(shù)之間的匹配，這說(shuō)明時(shí)間矩?cái)M合也是一種Pade逼近。不過(guò)這種Pade逼近是在穩(wěn)定條件下的Pade逼近，即G(s)、R(s)均是漸近穩(wěn)定的時(shí)候，匹配式 i=0,1,才成立。用時(shí)間矩?cái)M合求得G(s)的漸近穩(wěn)定的簡(jiǎn)化模型R(s)已有很多文獻(xiàn)介紹，基本原理是

28、：設(shè)原模型與簡(jiǎn)化模型分別為G(s)= m = i =按時(shí)間矩?cái)M合要求 i=0,1,則由 =可得到方程組p=0,1, (2-24)并由此確定出簡(jiǎn)化模型R(s)的分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)d(p=0,1,j),e(q=0,1,k)?？偟膩?lái)說(shuō)，此方法必須預(yù)先選定簡(jiǎn)化模型的格式，然后將原模型和含待定系數(shù)的簡(jiǎn)化模型都按冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，再按時(shí)間矩匹配求得待定系數(shù)。一般常使用的簡(jiǎn)化模型有(1,2)型和(2,3)型即(2-25)和(2-26)對(duì)于含有延遲的系數(shù)的系統(tǒng)也有用的簡(jiǎn)化模型 (2-27)和(2-28)的，但這時(shí)得到的方程組是非線性方程組，特別值得指出的是在國(guó)內(nèi)三種形式常被使用：(1,2)型(2-29)(2,2

29、)型(2-30)(2,3)型(2-31)對(duì)熱工系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)的傳遞函數(shù)、及等進(jìn)行逼近取得了良好的效果。曾經(jīng)用形為 (2-32)的簡(jiǎn)化模型對(duì)直流鍋爐動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了近似，建立了一系列公式，也取得了很好的效果。時(shí)間矩?cái)M合法，由于預(yù)先選定了簡(jiǎn)化模型的格式；實(shí)質(zhì)上是給定了穩(wěn)定條件的在s=0點(diǎn)附近的Pade逼近。它保證了與原模型穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和低頻特性的吻合，但對(duì)原模型的瞬態(tài)特性和高頻特性的逼近情況不清，甚至較差，這是其弱點(diǎn)。連分式逼近法一個(gè)具有多層反饋通道和前向通道的閉環(huán)系統(tǒng)。影響系統(tǒng)特性的最主要因素是最外層的反饋通道。第二個(gè)因素是最外層的前向通道。第三重要的是第二層反饋通道，第四是第二層前向通道。依此類推，

30、愈往里面的內(nèi)環(huán)對(duì)系統(tǒng)性態(tài)的影響就愈小。任何系統(tǒng)均可等效成這種多環(huán)反饋系統(tǒng)，低階簡(jiǎn)化模型的建立可以從中消去一些影響較小的內(nèi)環(huán)而獲得。構(gòu)造這種等效的多環(huán)反饋系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上的有效方法就是將高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)展開(kāi)成連分式。連分式前面的項(xiàng)代表外面的環(huán)，后面的項(xiàng)代表內(nèi)層的環(huán)，截?cái)噙B分式的一些尾項(xiàng)，相當(dāng)于消除系統(tǒng)最里面的一些內(nèi)環(huán)，從而獲得了簡(jiǎn)化模型。(2-15)式那樣的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以展開(kāi)成如下連分式形式： (2-33)如需求得k簡(jiǎn)化模型，可將ay以后的項(xiàng)截去，再反演成有理分式，就得到G(s)的k 階逼近式R(s)： = (2-34)正向展開(kāi)的a(i=1,2,2n)系數(shù)，可由Routh 陣列方便求得。為書(shū)

31、寫(xiě)關(guān)系清楚將G(s)重新寫(xiě)成： (2-35)則存在系數(shù)陣列： (2-36)陣列中任一元素A滿足遞推關(guān)系式：/ j3 (2-37)而連分式中系數(shù) (i=1,2,2n) (2-38)同樣，連分式反演回有理函數(shù)式，也可由連分式反演陣列求得分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)d(p=0,1,，k1)，c(q=0,1,k)。設(shè)簡(jiǎn)化模型R(s)可寫(xiě)成： (2-39)則存在反陣列： (2-40)其中第一列滿足關(guān)系： i=1,2,2k陣列中其他任一元素滿足遞推關(guān)系 p1 i=2,3,2k (2-41)陣列中最后兩行就為簡(jiǎn)化模型的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)。例2、四階RC梯形網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) 的Routh陣列為：從而得到反陣列為：從而

32、獲得二階簡(jiǎn)化模型 =顯然本結(jié)果與例1中pade 逼近法獲得的結(jié)果(2-12)式完全一樣。當(dāng)設(shè)a0(i=1,2,，2n)時(shí)，可以使R(s)和G(s)在s=0點(diǎn)的Tylor展式的前2k項(xiàng)完全一致。自然當(dāng)倆者都漸進(jìn)穩(wěn)定的時(shí)候，前2k階時(shí)間矩也吻合。這說(shuō)明連分式展開(kāi)實(shí)質(zhì)上也是Pade 法的一種特例，其特點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單、收斂快，對(duì)應(yīng)的物理意義較清楚。遺憾的是連分式展開(kāi)不能保證簡(jiǎn)化模型有原模型的一樣的穩(wěn)定特性。連分式在s=0點(diǎn)展開(kāi)逼近雖然保證了逼近式的穩(wěn)態(tài)特性與原模型一致，但在過(guò)渡特性上的逼近輕快不清。特別當(dāng) 時(shí)瞬態(tài)逼近精度較差。為了描述系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，定義了所謂的Markov參數(shù)，它簡(jiǎn)單就是G(s)在點(diǎn)展

33、開(kāi)冪級(jí)數(shù)的各個(gè)系數(shù)。眾所周知,對(duì)應(yīng)于時(shí)域中t=0，故Markov參數(shù)表征了G(s)的瞬態(tài)特征。為提高簡(jiǎn)化模型對(duì)原模型的瞬態(tài)響應(yīng)上的逼近精度，有的學(xué)者提出了分段在多點(diǎn)展開(kāi)連分式的辦法。典型的例子就是將G(s)分開(kāi)兩段展開(kāi)成連分式。前一段在點(diǎn)展開(kāi)，后一段在s=0點(diǎn)展開(kāi)。具體展開(kāi)法如下：首先在點(diǎn)將G(s)展開(kāi)到k項(xiàng)：然后在s=0點(diǎn)將余下的G(s)繼續(xù)展開(kāi)成連分式，則G(s)最后被展成： (2-42)簡(jiǎn)化模型R(s)可以由上式截去前(k+l)項(xiàng)以后獲得： (2-43)把R(s)反演成有理式就得到階數(shù)為(k+l)/2的簡(jiǎn)化模型傳遞函數(shù)。可以看出，在(k+l)/2=常數(shù)的情況下可以得到一組簡(jiǎn)化模型。K大l

34、小對(duì)原模型的瞬態(tài)逼近好，l大k小對(duì)原模型的穩(wěn)態(tài)逼近好。但這一組模型中有的穩(wěn)定有的不穩(wěn)定，可能失去和原模型一樣的穩(wěn)定性。Routh逼近法Hutton提出了一種新穎的逼近方法，由于它具有一些優(yōu)點(diǎn)，引起很多學(xué)者的重視，很多文獻(xiàn)都提到了它。這里我們舉例扼要介紹這種算法，指出它的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。若漸近線穩(wěn)定的高階系統(tǒng)模型的傳遞函數(shù)為 (2-44)則其總可以展開(kāi)成下述典型形式 = 其中 (2-45)展開(kāi)式中系數(shù)由表和表計(jì)算。表中前兩行由G(s)的分母多項(xiàng)式系數(shù)給出，表中前兩行由G(s)的分子多項(xiàng)式系數(shù)給出，表中最左側(cè)第一列給出、(j=1,2n)的值。表2-2： 系數(shù)表a=a a=a a=a a=a a=

35、 a/ aa= a/ aa= a/ aa= a/ aa= a/ a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a a= a- a a 表2-3： 系數(shù)表b=b b =b b= b b= b = b/ a=b/ a= b/ a=b/ a=b/ ab= b- a b= b- a b= b- a b= b- ab= b- a b= b- ab= b- a 下面我們以四階模型的簡(jiǎn)化為扼要地說(shuō)明。Routh逼近法大致分四步：把原模型G(s)變換成為G(s)逆排列式(s)。(s)是按下述方法取得的：例如 G(s)= (2-46)在(

36、2-46)式中，以取代每一個(gè)s值我們有G()= 定義： (s)= G()=推廣到 (s)= G()= (2-47)用R(s)代表原模型的第k階逼近式，則R(s)為： R(s)= () (2-48)其中(s)就是(s)的k階Routh逼近模型。 把(s)展開(kāi)成具有系數(shù)的展開(kāi)式，這就是把(s)展開(kāi)成為(s)=f(s,)的函數(shù)，其中，是由(s)展開(kāi)的系數(shù)，它不同于展開(kāi)G(s)得到的 、系數(shù)，其算法見(jiàn)表(2-2) 接著就是計(jì)算與(s)相對(duì)應(yīng)的Routh第k階模型(s)= f(s,),把這一連分式的第k項(xiàng)以后截去，然后整理成下列有理分式 (s)= (2-49)令(s)及(s)分別表示第k階Routh逼近

37、式的分母和分子多項(xiàng)式 (s)= s+1 (s)= (s)= s+s+1 (s)= s+(s)=s+s+(+)s+1(s)= s+s+(+)+一般可表示為：由、值不同而不同，但這些簡(jiǎn)化模型同樣可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定。模型簡(jiǎn)化技術(shù)在實(shí)際工程中的應(yīng)用“簡(jiǎn)化”和“近似”的概念早就伴隨控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的出現(xiàn)而產(chǎn)生了。每一個(gè)從事控制工程設(shè)計(jì)的工程技術(shù)人員有意無(wú)意都運(yùn)用著“簡(jiǎn)化”和“近似”的思想和準(zhǔn)則。工程設(shè)計(jì)中常用到的典型的二階、三階設(shè)計(jì)方法就是基于簡(jiǎn)化思想的。事實(shí)上，無(wú)數(shù)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)都是建立在三階近似基礎(chǔ)上的。不論系統(tǒng)的過(guò)程多少，階數(shù)多少，這樣近似往往獲得良好的效果。例如一個(gè)運(yùn)算放大器，就其內(nèi)部電路來(lái)說(shuō)就是

38、一個(gè)高達(dá)數(shù)十階的系統(tǒng)，而在實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往在外部連線上進(jìn)行一定處理，使其可以作為一個(gè)二階系統(tǒng)來(lái)應(yīng)用。有關(guān)這類似的設(shè)計(jì)方法在許多自控原理及其設(shè)計(jì)的著作中已有詳細(xì)論述。 簡(jiǎn)化的目的是為了更好、更方便地應(yīng)用系統(tǒng)工程理論于實(shí)際。隨著模型簡(jiǎn)化理論的發(fā)展，其在工程實(shí)際中的應(yīng)用日趨廣泛。過(guò)去從一些文獻(xiàn)中已經(jīng)看到不少可喜的成果。早在五十年代人們就用各階Pade 逼近式近擬一個(gè)實(shí)際上具有無(wú)窮除數(shù)的純時(shí)滯函數(shù),并把它用在慣性系統(tǒng)中收到了良好的效果。國(guó)內(nèi)過(guò)年來(lái)對(duì)純時(shí)滯函數(shù)的逼近的研究也開(kāi)始受到重視。(1-2)，(2-3)階有理函數(shù)逼近含有純時(shí)滯的各種系統(tǒng)和多容慣性系統(tǒng)，在熱工控制系統(tǒng)的模擬上取的了成效。運(yùn)用Pade逼

39、近式對(duì)純時(shí)滯元件進(jìn)行研究并用于水電熱工調(diào)節(jié)系統(tǒng)，也取得了很大進(jìn)展。運(yùn)用多容慣性模型于直流鍋爐高階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的近似模擬，將原有高達(dá)50-80階的大延遲系統(tǒng)簡(jiǎn)化到十多階進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬也取得了成果。降價(jià)法還被應(yīng)用于對(duì)一個(gè)不完善的高階系統(tǒng)的補(bǔ)償設(shè)計(jì)。成功地將連分式逼近法運(yùn)用到對(duì)復(fù)制器類型控制系統(tǒng)的補(bǔ)償設(shè)計(jì)，獲得了成功的經(jīng)驗(yàn)，建立了一套代數(shù)設(shè)計(jì)方法。其設(shè)計(jì)程序大致分為四階段： 1 根據(jù)實(shí)際控制所要求的技術(shù)指標(biāo)，例如一個(gè)二階系統(tǒng)的速度誤差、截止頻率、阻尼系數(shù)等擬合出一個(gè)合乎控制要求的傳遞函數(shù)。 2 按照所控制系統(tǒng)的特性，假設(shè)一定的補(bǔ)償器。例如：小回路補(bǔ)償、相位超前補(bǔ)償、相位滯后補(bǔ)償、相位超前滯后補(bǔ)償及反饋補(bǔ)償

40、等。 3 把待求系數(shù)的補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)同原系統(tǒng)傳遞函數(shù)合成更高階的傳遞函數(shù)并運(yùn)用連分方法簡(jiǎn)成含有補(bǔ)償器未知系數(shù)又與第一步中按按擬合的傳遞函數(shù)同階的簡(jiǎn)化模型。4 求解由這兩個(gè)傳遞函數(shù)比較而產(chǎn)生的方程組求得未知補(bǔ)償器的系數(shù)。 Routh逼近法的創(chuàng)造人Hutton在談及他的方法的應(yīng)用時(shí)指出：“一個(gè)重要的潛在用途就是對(duì)一個(gè)本來(lái)是高階的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，合理設(shè)計(jì)一個(gè)低階控制系統(tǒng)來(lái)代替它?！贝送?，還可以利用得到的低階模型設(shè)計(jì)一個(gè)近似同階的控制器。 模型簡(jiǎn)化技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛，但它的潛力尚未引起人們足夠的重視。值的注意的是，大部分電路均可用狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)予以描述。降價(jià)法的應(yīng)用必將為網(wǎng)絡(luò)計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化帶

41、來(lái)極大的好處。大家都知道，梯形網(wǎng)絡(luò)在動(dòng)態(tài)模擬中是一種非常有用的網(wǎng)絡(luò)。在系統(tǒng)工程中，梯形網(wǎng)絡(luò)可以用來(lái)模擬范圍極廣的工程系統(tǒng)，聲學(xué)系統(tǒng)、流控系統(tǒng)、傳熱過(guò)程、管路傳輸線等。因?yàn)橛辛擞?jì)算機(jī)，即使是大型的梯形網(wǎng)絡(luò)其計(jì)算工作也可以在短時(shí)間內(nèi)完成。但是使用大型計(jì)算機(jī)是要花錢的。而且計(jì)算機(jī)不能代替人的思維，因此建立簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型的工作需要人去作。例如在許多物理系統(tǒng)的電模型上，人們不但想看到輸入輸出之間的變化關(guān)系，而且還想了解在過(guò)渡過(guò)程中或在穩(wěn)定狀態(tài)下，電模型上的各節(jié)點(diǎn)的電流或電壓量以便了解對(duì)于原模型中各對(duì)應(yīng)點(diǎn)相應(yīng)的物理量。在這種情況下如果直接采用原模型，初步設(shè)計(jì)的計(jì)算工作量可能是非常之大的。顯然簡(jiǎn)化技術(shù)在這里

42、可以起很好的作用。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們用一個(gè)四級(jí)梯形網(wǎng)絡(luò)為例來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)化技術(shù)如何發(fā)揮它的作用： 圖2-2 四階R-C四級(jí)梯形網(wǎng)絡(luò)圖為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們定義下列符號(hào)g,g,g,g,與R,R,R,R相應(yīng)的電導(dǎo)；C，C，C，C電容；我們?cè)趫D9中的節(jié)點(diǎn)V,V,V,V上應(yīng)用KCL定律，可以得到：V=V=V=V=即V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-67)V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-68)V(s)=W(s)V(s)+W(s)V(s) (2-69)V(s)=W(s)V(s) (2-70)現(xiàn)在用圖2-3(a)來(lái)表示(67)(70)式 圖2-3(a)方框圖在V與 V之間有：，V=

43、V= (2-71)于是圖2-3(a)變成2-3(b) 圖2-3(b)方框圖解耦全過(guò)程又V=， (2-72)由此將圖2-3(b)變成2-3(c)。 圖2-3(c)方框圖解耦全過(guò)程由圖2-3(c)有： = (2-73)最后得到完全解耦的方框圖，見(jiàn)圖2-4WV 圖2-4圖2-4 完全解耦得方框圖由上面的分析可見(jiàn)，經(jīng)解耦之后的四階RC網(wǎng)絡(luò)可以歸納為由四個(gè)有方向性串聯(lián)的環(huán)節(jié)所組成。這樣處理的結(jié)果帶來(lái)了一些重要的效應(yīng)：(1)無(wú)論梯形網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)W 是何種形式，任一級(jí)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可由下式表達(dá)： (2-74)其中n=1,2q=梯形網(wǎng)絡(luò)最后一級(jí)的序號(hào)(把第一節(jié)點(diǎn)列為1算起)V=第n個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電壓；V

44、=在第n個(gè)節(jié)點(diǎn)前一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電壓。例如四階RC網(wǎng)絡(luò)的第一級(jí)：也就是說(shuō)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可以通過(guò)每一級(jí)的傳遞函數(shù)相乘求出。(2)通過(guò)解耦四級(jí)系統(tǒng)已被隔離為四個(gè)方向性環(huán)節(jié)，從第一級(jí)到任何一級(jí)之間的傳遞函數(shù)其分母都一樣，如果采用基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近方法對(duì)分母進(jìn)行單獨(dú)的降階，這相當(dāng)于從第一階起到第任意級(jí)間的傳遞函數(shù)的分母已簡(jiǎn)化為低階。如果要求任意階網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，下一步只是求分子的Pade逼近問(wèn)題。這種計(jì)算比Routh法簡(jiǎn)單很多。如果采用有可調(diào)參數(shù)的逼近法，則精度可以提高而計(jì)算工作并不應(yīng)此成比例地增加。這種方法在梯形網(wǎng)絡(luò)較高時(shí)更顯出它的優(yōu)越性。(3)如果所建立的模型階數(shù)較高，則經(jīng)解耦以

45、后的環(huán)節(jié)可以用隔離放大器以提高模型的響應(yīng)精度。此時(shí)對(duì)每一級(jí)傳遞函數(shù)應(yīng)用降階逼近式以后可以確切地反映院物理模型相應(yīng)的級(jí)數(shù)的響應(yīng)過(guò)程。(4)如果我們建立梯形網(wǎng)絡(luò)的模型是為了建造一個(gè)模擬的控制對(duì)象。那么通過(guò)系統(tǒng)傳遞函數(shù)綜合以及模型簡(jiǎn)化技術(shù)，我們終于能夠得到一個(gè)比原模型階數(shù)低得多的等效對(duì)象。如果此時(shí)采用一種有可調(diào)參數(shù)的低階模型，就可以在低頻段或者在高頻段重現(xiàn)元模型的特性。以上初步可見(jiàn)模型簡(jiǎn)化在實(shí)際中的一些作用。本章小結(jié)以上綜述了當(dāng)今國(guó)內(nèi)外從傳遞函數(shù)角度對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化的各種方法，這些方法各有特點(diǎn)，但又緊密相連。無(wú)論那種方法都與Pade逼近有著密切的關(guān)系，都?xì)w于Pade逼近，也都是部分的Pade逼近。

46、Pade逼近是這類方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)上Pade逼近式一個(gè)有理函數(shù)逼近。有理函數(shù)逼近由于分子分母函數(shù)都同時(shí)起作用，比起Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)逼近方法具有較高的精度和隨階數(shù)增加的快速收斂性。而控制理論上決定系統(tǒng)的階數(shù)僅是傳遞函數(shù)分母的階數(shù)。這兩點(diǎn)說(shuō)明了Pade逼近在系統(tǒng)簡(jiǎn)化理論上的價(jià)值。但是系統(tǒng)的簡(jiǎn)化不單是一個(gè)數(shù)值逼近問(wèn)題，還涉及到簡(jiǎn)化模型能否實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題以及簡(jiǎn)化系統(tǒng)必須盡可能保持原系統(tǒng)的物理特性(穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、過(guò)渡響應(yīng)、頻率特性等)的問(wèn)題。當(dāng)然為適用于工程設(shè)計(jì)還有一個(gè)計(jì)算快慢和難易的問(wèn)題。它們構(gòu)成了時(shí)間矩?cái)M合法、連分式法、Routh逼近法和其它改進(jìn)的Pade逼近法必然出現(xiàn)的背景。Pade逼近精

47、度高，可以選擇逼近的頻帶，但是不能保證穩(wěn)定性，計(jì)算較為復(fù)雜。時(shí)間矩?cái)M合是在零點(diǎn)展開(kāi)的附加了穩(wěn)定條件的Pade逼近，保證了穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性和低頻特性的吻合，但過(guò)渡特性和高中頻特性擬合程度不清且精度低，計(jì)算量太大。連分式逼近由于計(jì)算正反系數(shù)陣列的存在，計(jì)算特別簡(jiǎn)單，且能兼顧穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)特性，還從反饋理論上表明了簡(jiǎn)化模型與原模型之間的物理關(guān)系。但不能保證穩(wěn)定性是其一弱點(diǎn)。Routh逼近也是一個(gè)部分的Pade逼近。其特點(diǎn)是保證了穩(wěn)定性，且可以保持低頻特性，還存在選擇逼近階數(shù)的判據(jù)，特別適用于遲滯小的大系統(tǒng)降階。高階系統(tǒng)的PID參數(shù)降階設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)的PID參數(shù)降階用PID控制來(lái)控制一個(gè)高階系統(tǒng)時(shí)，由于可以

48、配置的極點(diǎn)有兩個(gè)，不可能配置所有的極點(diǎn)，而使可能實(shí)現(xiàn)的性能指標(biāo)受到限制，為使系統(tǒng)能穩(wěn)定工作，實(shí)際的選擇只能是首先確保系統(tǒng)的低頻特性，為防止高頻特性影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，系統(tǒng)的頻寬必須予以限制，這意味著系統(tǒng)的快速性受到對(duì)象本身的制約，因而高級(jí)系統(tǒng)的PID參數(shù)設(shè)計(jì)首先要解決的是找出這種制約的條件。具體地說(shuō)，在二階系統(tǒng)PID的參數(shù)設(shè)計(jì)中，極點(diǎn)是任意配置的，而對(duì)高階系統(tǒng)，必須限制閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的模。我們的方法是采用降階設(shè)計(jì)的途徑實(shí)現(xiàn)的，即用高階系統(tǒng)的二階模型來(lái)代替原高階系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行PID參數(shù)設(shè)定，這種講解模型可稱為虛擬對(duì)象，整個(gè)設(shè)計(jì)分四部進(jìn)行：根據(jù)高階模型用Pade講解確定一個(gè)二階的虛擬對(duì)象R(s)。根據(jù)虛擬對(duì)象確定閉環(huán)虛擬極點(diǎn)的模。選擇虛設(shè)阻尼比，計(jì)算PID參數(shù)。由于虛擬對(duì)象與原系統(tǒng)間的誤差，還需對(duì)原系統(tǒng)實(shí)施控制的仿真計(jì)算調(diào)整，最后確定滿意的PID參數(shù)。我們需要一個(gè)與原高階系統(tǒng)有較好的低頻逼近特性的一個(gè)無(wú)零點(diǎn)的二階模型，作為設(shè)計(jì)PID參數(shù)的虛擬對(duì)象，Pade降階具有計(jì)算簡(jiǎn)單和