基于雙線性變換法的IIR數(shù)字高通濾波器設計教材

1、基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計摘要隨著信息時代和數(shù)字世界的到來， 數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的 學科和技術領域。在數(shù)字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應用的是數(shù)字 濾波器( DF，Digital Filter)。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的。 實現(xiàn) IIR 濾波器 的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾 波器的優(yōu)良特性，因此應用很廣。 Matlab 軟件以矩陣運算為基礎，把計算、可 視化及程序設計有機融合到交互式工作環(huán)境中，

2、 并且為數(shù)字濾波的研究和應用提 供了一個直觀、高效、便捷的利器。尤其是 Matlab 中的信號處理工具箱使各個 領域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究與工程應用。本次主要利用 matlab 的信號處理工具箱設計一個數(shù)字高通 IIR 濾波器，并 用此濾波器處理一段音頻信號。 此報告重點介紹了用雙線性不變法設計 IIR 數(shù)字 濾波器的基本流程， 比較了各種設計方法的優(yōu)缺點， 總結了模擬濾波器的性能特 征。最后以雙線性不變法設計了一個高通巴特沃斯 IIR 數(shù)字濾波器， 介紹了設計 步驟，然后在 Matlab 環(huán)境下進行了仿真與調(diào)試，實現(xiàn)了設計目標。關鍵字 IIR 數(shù)字濾波器 巴特沃斯 高通 雙線性

3、變換 MATLAB基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計AbstractWith the information era and the advent of the digital world, digitalsignal processing has become one of the important fields of science and technology. In the digital signal processing plays an important role and has been widely applied in the digital filter

4、. Digital filter is a discrete time signal is used to filter the digital system,through the mathematical processing of sampling data to reach the goal of frequency domain filterin. Implementation of IIR filter order is low, less storage unit, with high efficiency, high precision, and can keep some s

5、imulation characteristics of filter , so a very wide application. Matlab software based on matrix computation, the calculation,visualization and program design of organic integration to interactiveenvironment, and providesan intuitive, efficient, convenienttool for the research andapplication of dig

6、ital filter .The main use of signal processing toolbox of MATLAB to design a digital high-passIIR filter , and an audio signal with the filter . This report focuses on the basic process of using the bilinearinvariant IIR digital filter design, compares the advantages and disadvantages of various des

7、ign methods, summarizes thecharacteristics of the analogfilter .Finally, by bilinear invariant to design a high Butterworth IIR digitalfilter, introducesthe design steps, andthen in the Matlab environment for thesimulation anddebugging, achieves the design goal.Keywords IIR Butterworth high-pass bil

8、inear transform MATLABdigital filterII基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計目錄摘 要 . IAbstract . II1 數(shù)字濾波器 . 11.1數(shù)字濾波器介紹 . 11.2IIR 數(shù)字濾波器設計原理 . . 21.2.2 雙線性變換法 . 32數(shù)字濾波器設計實現(xiàn) . 62.1典型模擬濾波器比較 . 62.2設計步驟 . 62.3程序流程圖 . 72.4音頻信號部分程序 . . 82.5仿真結果 . 82.5.1 濾波器性能仿真 . 92.5.2 濾波器除噪性能 . 103總結 . 10致謝 . 11參考文獻 . 12附 錄 . 13基于雙線性變

9、換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計1 數(shù)字濾波器1.1數(shù)字濾波器介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置 , 其輸入、輸出均 為數(shù)字信號 , 實質上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基 本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換 , 改變輸入序列 的頻譜或信號波形 ,讓有用頻率的信號分量通過 ,抑制無用的信號分量輸出。 數(shù)字 濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念 , 根據(jù)其頻率響應特性可分為低通、高 通、帶通、帶阻等類型 , 與模擬濾波器相比 , 數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的 固有優(yōu)點外 ,還有濾波精度高 (與系統(tǒng)字長有關 ) 、穩(wěn)定性好(僅運行

10、在 0與 l 兩個 電平狀態(tài) ) 、靈活性強等優(yōu)點。時域離散系統(tǒng)的頻域特性 :Yejw X ejw H ejw ，其中Yejw ，X ejw 分別 是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性 (或稱為頻譜特性) ， H ejw 是 數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜， 又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。 輸入序列的 頻譜 X ejw 經(jīng)過濾波后 X e jw H ejw 。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處 理信號的目的， 適當選擇 H ejw ，使得濾波后的 X ejw H ejw 滿足設計的要求， 這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性， 可分為兩種， 即無限長沖激響

11、應 (IIR) 數(shù)字濾波器和有限長沖激響應 (FIR) 數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征 是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型NN 來實現(xiàn)，其差分方程為： y n aix n ibi y n ii 0 i 1Mbrzr系統(tǒng)函數(shù)為： H zr 0N1akz kk1設計IIR 濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù) H(z) ，使其頻 率響應H(z) 滿足所希望得到的頻域指標， 即符合給定的通帶截止頻率、 阻帶截止 頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)?；陔p線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計1.2 IIR 數(shù)字濾波器設計原理IIR 數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為

12、Mbk z kHzk0Nk1ak zk1YzXz假設MN，當MN時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個 IIR 的子系統(tǒng)和一個 (M-N)的FIR 子系統(tǒng)的級聯(lián)。 IIR 數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù) ak和bk ，它是 數(shù)學上的一種逼近問題， 即在規(guī)定意義上 (通常采用最小均方誤差準則) 去逼近 系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器； 如果在z平面上去逼近， 就得到數(shù)字濾波器。設計通數(shù)字濾波器通常可以歸納為如圖所示的兩種常用方法。圖 1-1 數(shù)字帶通濾波器設計的兩種方法方法 1: 首先設計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換成所需要的 模擬高通濾波器，最后再使用沖激不變法或雙

13、線性變換成相應的數(shù)字高通濾波 器。方法 2: 先設計一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應不變法或雙線 性變換法將它轉換成數(shù)字原型低通濾波器， 最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾 波器變換成所需要的數(shù)字高通濾波器。本課程設計采用第一種設計方法， 先構造一個巴特沃斯模擬低通濾波器， 然 方法 1方法 2后將模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器， 最后利用雙線性變換將模擬高通濾 波器轉換成數(shù)字高通濾波器。S平面2tanT21T基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計1.2.2 雙線性變換法為了克服沖激響應法可能產(chǎn)生的頻率響應的混疊失真， 這是因為從 S 平面到 平面是多值的映射關系所造成的。

14、為了克服這一缺點， 可以采用非線性頻率壓 縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到 -/T/T 之間，再用 z=esT轉換 到 Z 平面上。也就是說，第一步先將整個 S平面壓縮映射到 S1平面的 -/T / T 一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系 z=es1T 將此橫帶變換到整個 Z 平面 上去。這樣就使 S平面與 Z 平面建立了一一對應的單值關系， 消除了多值變換性， 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖 1-3為了將 S平面的整個虛軸 j 壓縮到 S1平面 j 1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)式中, T仍是采樣間隔。當1由-/T經(jīng)過 0變化到/T時，由-經(jīng)過 0 變化到

15、+，也即映射 了整個 j 軸。將式（ 1-9 ）寫成j2 ej 1T/2 ej 1T /2jT ej 1T/2 e j 1T /2將此關系解析延拓到整個 S平面和 S1平面，令 j =s，j 1=s1，則得2 es1T /2e s1T /22s1T2 1e s1Ts sT /2 sT/2 tanh sTT es1T /2e s1T /2T2T 1e s1T再將 S1平面通過以下標準變換關系映射到 Z 平面 z=es1T從而得到 S平面和 Z 平面的單值映射關系為：j圖 1-3 雙線性變換的映射關系21 z 1T1 z 11 T s2T1s22sT2sT2j2其次，將 s jw 代入，得2 ta

16、nT基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計這兩個關系式是 S平面與 Z 平面之間的單值映射關系， 這種變換都是兩個線 性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 首先, 把z ejw可得21 e j2s j j tanT 1 e jT即 S 平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓。2jz T2jjTj因此由此看出，當 0 時，| z|0 時，| z|1 。也就是說， S平面的左 半平面映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)， S平面的右半平面映射到 Z 平面的單位圓外， S平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換 后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點： 雙線性變換法

17、與脈沖響應不變法相比， 其主要的優(yōu)點 是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。 這是因為 S平面與 Z平面是單值的一一對應關系。 S平面整個 j 軸單值地對應于 Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。 這個關系重寫如下：上式表明， S平面上與 Z平面的成非線性的正切關系，如圖 1-4 所示基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計由圖 1-4 看出，在零頻率附近， 模擬角頻率 與數(shù)字頻率 之間的變換關系接近于線性關系；但當 進一步增加時， 增長得越來越慢，最后當 時， 終止在折疊頻率 =處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，圖 1

18、-4 所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線 性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器， 不再保持原 有的線性相位了； 其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段 常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù) （這正是一般典型的低通、 高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性） ，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響 應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 1-5 所示。對于分段常數(shù)的濾波器， 雙線性變換后， 仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波 器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變， 可以通過頻 率的預畸來加以校

19、正。 也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好 映射到所需要的數(shù)字頻率上。基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計2數(shù)字濾波器設計實現(xiàn)2.1典型模擬濾波器比較1、Butterworth 巴特沃斯濾波器：它具有單調(diào)下降的幅頻特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫濾波器：在通帶或阻帶等波紋，可提高選擇性。3、Bessel 貝塞爾濾波器：在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。4、Ellipse 橢圓濾波器：其選擇性相對前三種是最好的。此處選擇巴特沃斯主要是想獲得最平穩(wěn)的幅頻響應。而不計較相位特性，而 用雙線性變換法也會將線性相位變?yōu)榉蔷€性相位。2.2設計步驟根據(jù)以上 IIR 數(shù)字

20、濾波器設計方法，下面運用雙線性變換法基于 MATLAB設 計一個 IIR 高通濾波器。(1)確定性能指標在設計高通濾波器之前 , 首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標 : 通帶 截止頻率 fp=3200Hz；阻帶截止頻率 fs=3000Hz；阻帶最小衰減 As=100dB和通帶 最大衰減 Ap=1dB(2)把頻率轉化為數(shù)字角頻率wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;(3)頻率預畸變以及模擬高通性能指標轉換成模擬低通性能指標用=2/T*tan(w/2) 對高通數(shù)字濾波器 H(z) 的數(shù)字邊界頻率預畸變 , 得到高 通模擬濾波器 H(s) 的邊界頻率主要是通帶截止頻率 Wp;阻

21、帶截止頻率 Ws的轉換。 抽樣頻率 Fs=44100Hz 。通帶截止頻率 Wp2=(2/T)*tan(wp/2)阻帶截止頻率 Ws2=(2/T)*tan(ws/2)(4)歸一化處理Wp2 1 1 ；p 1 ； p1；p Wp2 p p61N 12lgH(z)=H(s) |1zH aL ( p) |1zpc1z1z基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計Ws2Wp2由式2-3 ，2-4 ，2-5計算出 N，查表可得模擬低通濾波器的階數(shù)，從而由下式 確定模擬高通濾波器的參數(shù)H z H s 1 z 1 s1 z 1(5)模擬低通濾波器的構造 借助巴特沃斯濾波器模型得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)

22、Ha(s) N,Wn=buttord(wp2,ws2,Ap,As,s);z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);G1=tf(Bap,Aap);(6)模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器調(diào)用 lp2bp 函數(shù)將模擬低通濾波器轉化為模擬高通濾波器。 Bbs,Abs=lp2hp(Bap,Aap,Wn);(7)模擬高通濾波器轉換成數(shù)字高通濾波器 利用雙線性變換法將模擬高通濾波器 Ha(s) 轉換成數(shù)字高通濾波器 H(z) Bbz,Abz=bilinear(Bbs,Abs,FS);2.3程序流程圖首先確定性能指標， 把頻率轉化為數(shù)字角頻率， 進而在進行頻率預畸變， 用 =

23、2/T*tan(w/2) 對高通數(shù)字濾波器 H(z) 的數(shù)字邊界頻率預畸變 , 得到高通模擬 濾波器 H(s) 的邊界頻率主要是通帶截止頻率 Wp;阻帶截止頻率 Ws的轉換。抽樣 頻率 Fs=44100Hz。上述準備工作做好之后，就先把模擬高通性能指標轉換成模擬低通性能1sAs10 10 1指 標，然后設計模擬低通濾波器， 借助巴特沃斯濾波器模型得到模擬低通濾波器的 傳輸函數(shù) Ha(s) 。然后將模擬低通濾波器轉化為模擬高通濾波器。最后利用雙線 性變換法將模擬高通濾波器 Ha(s) 轉換成數(shù)字高通濾波器 H(z) 。開始基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計讀入數(shù)字濾波器技術指標將指標

24、轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標設計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù) N和 3db 截止頻率模擬低通濾波器變換成模擬高通濾波器模擬高通濾波器轉換成數(shù)字高通濾波器結束圖 2-1 程序流程圖2.4音頻信號部分程序1)寫入聲音信號fnose =10;T=length(x)/fs; t=T/length(x):T/length(x):T;j=1:1:length(x);2)產(chǎn)生噪聲并加到聲音中nose =sin(2*pi*fnose*T*j); y=x+5*nose; b,a=butter(N,Wn,high);Y=fft(y) ;2.5仿真結果基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計2.5.1 濾波

25、器性能仿真源程序設計了模擬低通濾波器、 模擬高通濾波器與數(shù)字高通濾波器， 對數(shù)字 高通濾波器的性能仿真如下：92.5.2 濾波器除噪性能為了實現(xiàn)濾波器的應用， 程序中加入了有噪聲的音頻信號， 通過對其濾波處理，來顯示數(shù)字高通濾波器的功能， 下面顯示未加入噪聲， 加入噪聲和濾波后的 頻譜波形圖?；陔p線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計10基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計3總結這次課設下來， 對設計高通數(shù)字濾波器的整個過程有了很好的掌握， 懂得了 設計濾波器的基本方法， 對雙線性變換法， 巴特沃斯濾波器有了一定了解， 同時 呢也熟悉了 MATLAB的環(huán)境，鞏固了相關知識。 初步

26、掌握了 MATLAB語言在數(shù)字信 號處理中一些基本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫基本程序等應用； 熟悉了濾波器設計的一 般原理，對濾波器有了一個感性的認識； 學會了數(shù)字高通濾波器設計的一般步驟； 加深了對濾波器設計中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點的理解和認識。 總之，使理論聯(lián)系了實際， 濾波前加噪信號的波形和頻譜濾波后信號的波形和頻譜鞏固并深化了對課本基本知識的認識和理解， 使理論 得以升華。在做本次課程設計的過程中， 我深深地感受到了自己所學到知識的有限， 明 白了只學好課本上的知識是不夠的， 要通過圖書館和互聯(lián)網(wǎng)等各種渠道來擴充自 己的知識。 在實驗過程中我們曾經(jīng)遇到過問題。 但是從中我們學習到

27、了如何對待 遇到的困難， 進一步培養(yǎng)了我們一絲不茍的科學態(tài)度和不厭其煩的耐心。 所有的 這些心得會對我以后的學習和工作有幫助作用， 忠心感謝學校給我們提供這次實 驗機會。致謝本設計過程中得到老師的悉心指導，設計過程中老師多次幫我分析思路， 開拓視角， 在我遇到困難想要放棄的時候給予我最大的支持和鼓勵。 老師那嚴謹 求實的治學態(tài)度、 踏實堅韌的工作精神， 將使我終身受益； 另外同學和朋友的熱 心幫助也使我學到了不少的知識。 再多華麗的語言也顯得蒼白， 在此，謹向老師 和同學們致以誠摯的謝意和崇高的敬意。 因為他們我對這次課程設計有了深刻的 印象，雖然只有短暫的一周，但在這期間，卻讓我受益匪淺，我

28、深刻地認識到了 “理論聯(lián)系實際”這句話的重要性與真實性。11基于雙線性變換法的 IIR 數(shù)字高通濾波器設計參考文獻1程佩青，數(shù)字信號處理 . 北京：清華大學出版社 ,2007.22景振毅，張澤兵，董霖 . 北京：中國鐵道出版社， 2008.123從玉良 .數(shù)字信號處理原理及其 MATLAB 實現(xiàn)M. 北京：電子工業(yè)出版社.2009.74胡廣書.數(shù)字信號處理理論、 算法與實現(xiàn) M. 北京：清華大學出版社 .2003,85劉波 MATLAB信號處理北京：電子工業(yè)出版社， 20066施陽等 MATLAB語言工具箱西安：西北工業(yè)大學出版社， 19997丁玉美數(shù)字信號處理西安電子科技大學出版社 第二版8倪養(yǎng)華數(shù)字信號處理與實現(xiàn)上海：上海交通大學出版社， 19989張葛祥，李娜 MATLAB仿真技術與應用北京：清華大學出版