磁滯與摩擦力考慮的奈米定位解析

1、磁滯與摩擦力考慮的奈米定位文/馮榮豐、楊竣翔、韓長(zhǎng)富摘要基於壓電致動(dòng)器的使用，使精密定位的能力可從微米級(jí)降至奈米級(jí)，在如此精密的尺寸下，磁滯現(xiàn)象與摩擦力的非線性行為，對(duì)於系統(tǒng)的影響不可輕視。本文主要討論，具奈米定位能力的衝擊力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)（IDM），當(dāng)考慮磁滯與摩擦力的行為時(shí)，對(duì)於定位精度造成的影響。一、刖言奈米定位技術(shù)被視為支援奈米技術(shù)的重要關(guān) 鍵技術(shù)，而一般傳統(tǒng)伺服機(jī)構(gòu)，很難達(dá)到如此高精 密的定位精度。幸賴諸如壓電材料、磁應(yīng)變、形狀 記憶合金等新興材料的出現(xiàn)，以及量測(cè)技術(shù)的不斷 更新，操控微、奈米尺度的技術(shù)在一般較高階的機(jī) 械裝置上已漸臻成熟。作者 （馮）於2002年三月與 十月分別出版奈微米

2、工程精密製程與量測(cè)技術(shù)及 奈米工程技術(shù)專書共兩冊(cè) ，其中對(duì)奈米科技的最新 發(fā)展趨勢(shì)及相關(guān)文獻(xiàn)資料，做了豐富的收集與討 論。目前已知有利用壓電元件於定位平臺(tái)，以使用 在光纖接續(xù)過程之對(duì)準(zhǔn)。因此吾人可得知壓電致動(dòng) 器在精密定位上，對(duì)於精密零組件之組裝、光纖接 續(xù)之對(duì)準(zhǔn)、半導(dǎo)體製程等精密工業(yè)均有極大之助近幾年由於精密工業(yè)（如光電、半導(dǎo)體、通 信產(chǎn)業(yè)）的蓬勃發(fā)展，帶動(dòng)相關(guān)精密定位技術(shù)的技 術(shù)升級(jí)。其中，在關(guān)鍵性的驅(qū)動(dòng)元件上，壓電元件因具有微小位移的可控制性、機(jī)械與電氣間高效率 的轉(zhuǎn)換特性、高頻響應(yīng)特性、低消耗功率、不易發(fā) 熱、不會(huì)產(chǎn)生電磁信號(hào)之干擾、響應(yīng)速度快速、體 積小與重量輕等優(yōu)點(diǎn)，使其廣泛地被應(yīng)

3、用在精密平 臺(tái)的定位上，定位精度可達(dá)110奈米。壓電性基本上是屬於機(jī)械能和電能間，能量轉(zhuǎn)換的一種現(xiàn) 象。本文內(nèi)容即為介紹，利用壓電元件所構(gòu)成之長(zhǎng) 行程移動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有奈米精度定位能力之驅(qū)動(dòng)裝 置。該機(jī)構(gòu)乃巧妙地控制壓電元件所產(chǎn)生的衝擊 力，能使其具有自走功能，稱之為衝擊力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu) （Impact Drive Mecha nism, IDM）。PiezoelectricElementWeight云MassSliding surface圖二：驅(qū)動(dòng)電壓的波形1二、緣由針對(duì)利用衝擊力作為精密定位裝置的研究，發(fā)展至今較有系統(tǒng)成效者，首推東京大學(xué)樋口教授在 1984年所提出的構(gòu)想。最先提出的方案，是將電 磁

4、線圈(Electromagnetic Coil)安裝在固定壁，利 用電容瞬間放電所產(chǎn)生的衝擊力，用以驅(qū)動(dòng)物體來(lái) 做精密定位。而後於 1985年，積層型的壓電元件 開始在市面上販賣，以此為契機(jī)，乃建構(gòu)以壓電元 件代替電磁力及彈簧的驅(qū)動(dòng)方式。並在1988年發(fā)表利用壓電元件的急速變形之超精密定位機(jī) 構(gòu)，此驅(qū)動(dòng)方式稱之為衝擊力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，隨後對(duì) 其特性亦做更廣泛的探討。脈衝驅(qū)動(dòng)裝置的微動(dòng)步 幅可達(dá)奈米級(jí)，定位精度可達(dá)10奈米，相較於電磁力的驅(qū)動(dòng)方式，性能上相當(dāng)優(yōu)異，且無(wú)發(fā)熱的問 題。此機(jī)構(gòu)僅由一個(gè)壓電元件，一個(gè)主移動(dòng)體，以 及一個(gè)慣性體所構(gòu)成，不需複雜的機(jī)構(gòu)，就能達(dá)到理論上能達(dá)到的無(wú)限行程之微動(dòng)能力。三

5、、壓電元件的磁滯現(xiàn)象壓電陶瓷元件因本身為鐵電性材料組成，所以壓電陶瓷元件在對(duì)電場(chǎng)的反應(yīng)中呈現(xiàn)非線性的 曲線，我們將此存在於電場(chǎng)與位移或力量間的非線 性關(guān)係，如圖三，稱之為磁滯現(xiàn)象(hysteresis)。由於壓電元件的先天性磁滯現(xiàn)象，因而當(dāng)給與周期 性的輸入時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生磁滯效應(yīng)，磁滯效應(yīng)會(huì)造成 上升曲線與下降曲線不一致之情況產(chǎn)生，所造成之誤差因材質(zhì)之不同約有 2% 5% 之誤差量。然 而，壓電材料的遲滯現(xiàn)象，將造成IDM機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)路徑可達(dá)10 % 15 % 的誤差，為了達(dá)到高精度的 定位，對(duì)於磁滯模型的建立與磁滯效應(yīng)的補(bǔ)償都是 必須且重要的。磁滯現(xiàn)象的非線性行為是影響定位性能的一項(xiàng)重要因素，從原

6、點(diǎn)到極值範(fàn)圍之間，由系統(tǒng)輸入 給予遞增形式和遞減形式的訊號(hào)，則輸岀訊號(hào)會(huì)以 輸入之極值為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，完成兩條不同的路徑，所形 成封閉的曲線就稱為磁滯迴圈 。磁滯現(xiàn)象自被發(fā)現(xiàn) 以來(lái)，一直是學(xué)術(shù)界廣泛探討的議題，對(duì)於磁滯現(xiàn) 象的數(shù)學(xué)建模，在歷來(lái)的研究中也被充分的討論與 研究。回顧過去已發(fā)表的文獻(xiàn)資料，我們可將常見磁 滯建模的方式與架構(gòu)分為，以下三類：1.微分方程式動(dòng)態(tài)模型2.Preisach 磁滯系統(tǒng)模型3.類神經(jīng) 網(wǎng)路磁滯模型，而以微分方程式來(lái)描述磁滯的行為 中，又包括了簡(jiǎn)化 Dahl模型、Boun-wen磁滯模型、 Backlash-Like 磁滯模型、Maxwell磁滯模型、 Polyn omi

7、al Approximated 等。於此我們選擇介 紹Boun-wen磁滯模型與 Preisach磁滯系統(tǒng)模型兩 種建模方式，因這兩種模型在過去的文獻(xiàn)中有較豐 富的討論與研究。Boun-wen磁滯模型：1976年由 Wen3所提 岀，而後由Boun加以改良，以簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式描述 磁滯的非線性行為，藉此數(shù)學(xué)式可表現(xiàn)不同特徵且 對(duì)稱的磁滯曲線，其數(shù)學(xué)描述式如下：- n口 j n 二Z = A X G X Z 戸 z z z和x分別代表系統(tǒng)的輸出與輸入，參數(shù)A決定了輸入的振幅大小，:-與1則決定磁滯曲線的形狀，n決定了曲線由彈性至塑性的平滑度。1995年，Guo4和Low將Boun-wen磁滯模型，應(yīng)

8、用於三層堆疊型的壓電結(jié)構(gòu)材料，並將其簡(jiǎn)化，假 設(shè)結(jié)構(gòu)與材料為彈性材質(zhì)，故令n=1，將式(1)簡(jiǎn)化為式(2)z = Ax- axz- B |x | z (2)由於數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)易的優(yōu)點(diǎn)，使的 Boun-wen磁滯模 型容易與本身機(jī)構(gòu)系統(tǒng)之動(dòng)態(tài)方程式結(jié)合 ，來(lái)充分 描述具磁滯影響的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)，以控制的領(lǐng)域來(lái)看，Boun-wen磁滯模型也易於控制器的設(shè)計(jì)。Preisach磁滯系統(tǒng)模型5:在此介紹另一種 描述磁滯行為的建模方式，不同於之前的Boun-wen磁滯模型的微分方程式架構(gòu)，Preisach磁滯系統(tǒng)模型數(shù)學(xué)式，是以積分的形式描述磁滯現(xiàn)象，且所表現(xiàn)的磁滯曲線並沒有一定的外型限制， 其數(shù)學(xué)描述式5如下：f

9、(t)=(：)Ju(t)d：d (3)f (t)為輸出響應(yīng)，(，：)稱為權(quán)重函數(shù)，和1分別代表輸入切換值的上下界，：一：稱為磁滯操作子。我們由圖四的方塊圖，將可以更清楚的了在考慮了壓電材料磁滯的行為，對(duì)於衝擊力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)(Impact Drive Mechanism)的影響之後，接下來(lái)將討論 IDM的Mass與Sliding surface 之 間，摩擦力會(huì)對(duì)精密定位所造成的影響。四、摩擦力在精密定位控制中，如何克服摩擦是一關(guān)鍵因素，而要克服摩擦首先必須瞭解靜摩擦的行為。因 為傳統(tǒng)上靜摩擦的行為多以死區(qū)(dead zone)表示，但是靜摩擦的行為實(shí)際上是由兩種運(yùn)動(dòng)組合而 成。他們分別是具有滑動(dòng)及

10、硬化特性的塑性變形，以及具有記憶與遲滯現(xiàn)象的非線性彈簧變形。其性質(zhì)可簡(jiǎn)述如下：(1) 靜摩擦力是隨時(shí)間及位置變化的。這可以歸因於許多原因，例如溫度、負(fù)載變化等皆會(huì)造成 摩擦力之變化。此特性加上死區(qū)的非線性行為 是目前在定位控制上最難克服的盲點(diǎn)，無(wú)法保 證其定位的重複率。(2) 塑性變形：此一變形主要具有兩大特性一硬化 與永久性滑動(dòng)。這一現(xiàn)象簡(jiǎn)單的說就是藉由滑 動(dòng)生成了永久性的位移，但這些位移將會(huì)在施 力移除後仍然存在。(3) 非線性彈性變形：此一現(xiàn)象主要就是遲滯曲線以及曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)之記憶與消除。一完整的遲滯迴圈，此遲滯迴圈上下施力範(fàn)圍必不可超過原最大施力值。否則新的塑性位移將使得遲滯無(wú)法完成迴路

11、，因此塑性行為與非線性彈性變形是兩個(gè)獨(dú)立的行為。當(dāng)位移量很小時(shí)，非線性彈性變形將可視為一線性彈簧。此時(shí)配合材料本身的阻尼，整體系統(tǒng)就如標(biāo)準(zhǔn)的二階質(zhì)量彈簧-阻尼系統(tǒng)。目前已有許多靜摩擦模型被提出。幾乎所有模 型皆已描述了質(zhì)量 -彈簧或者質(zhì)量-彈簧-阻尼性 質(zhì)。只有少數(shù)模型試圖包括記憶轉(zhuǎn)折點(diǎn)的特殊性 質(zhì)。整體而言就目前對(duì)摩擦力的分析，我們可以對(duì) 摩擦力的模型作簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)：(1) 當(dāng)施力超過最大靜摩擦力時(shí)，物體會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)，而摩擦力會(huì)與物體移動(dòng)的速度有關(guān)，此為動(dòng)態(tài)摩擦力的行為，如圖五所示。(2) 而當(dāng)物體移動(dòng)速度為零時(shí)，也就是在預(yù)滑動(dòng)時(shí)，我們可以以遲滯的迴圈來(lái)表示，其靜摩擦力與塑性變形量有關(guān)，再分析上

12、我們可以假定與微小位移量相關(guān)，而遲滯函式我們可以用麥斯威爾模型(Maxwell Slip Model)類似非線性彈簧來(lái)描述，如圖六所示。圖六： 靜態(tài)摩擦力磁滯現(xiàn)象示意圖。五、結(jié)論在工程應(yīng)用上，高精密定位技術(shù)是一重要的基 礎(chǔ)，如何能做到真正的精密定位，也將左右著產(chǎn)業(yè) 提升的重要指標(biāo)。高精密定位技術(shù)的困難之處，在 於不確定的因素過多，一般在大尺度定位上不需要 考慮到的因素，在微奈米定位上都必須考慮進(jìn)去。 例如在壓電致動(dòng)器的磁滯現(xiàn)象，會(huì)造成控制力的非線性而難以準(zhǔn)確控制，而摩擦力也是如此。嚴(yán)格來(lái) 說靜摩擦力，在大尺度的定位上，我們可以假設(shè)與 接觸的反力相同，但是在微奈米級(jí)定位控制上，它 其實(shí)是一種非線

13、性的力，有如磁滯效應(yīng)一樣，因此 要真正的作到微奈米的定位系統(tǒng)，就必須考慮到靜 摩擦力的非線性行為，並作準(zhǔn)確的預(yù)估定位，才能 提升定位的解析結(jié)果。參考資料：1 馮榮豐，2002，“奈微米工程-精密製程與量 測(cè)技術(shù)”，滄海書局。2 李旺龍，馮榮豐，2002，“奈米工程技術(shù)”， 滄海書局。3 Y.K. Wen, “ Method for RandomVibration of Hysteretic Systems ” , J. Eng. Meeh. Div. ASCE 102 (EM2), pp. 249-263 (1976).4 W.Guo and T.SLow, “ Modeling of a T

14、hree-Layer Piezoelectric Bimorph Beam withHysteresis , Journal ofMicroelectromecha nicalsystems Vol.4, No. 4,pp. 230-237 (1995).5 I.D. Mayergoy z,“ Mathematicalmodels ofhysteresis ” (1991). W.L. de Koning and R.Banning,“ Model ingPiezoelectric Actuators,IEEE/ASME onMechatronics Vol. 5,No.4,pp. 331-3

15、41 (2000).ExperimentalIdentificationof FrictionandItsCompe nsati onin Precise, Positi onCon trolledMecha ni sms, ” IEEE Trans. In dustryApplicatio ns 28, (6), pp. 1392-1398 (1992).9 D . Karnopp, “Computer simulation of stick-slip frictio n in mecha ni cal dyn amic systems, ” ASME Journal of Dynamic

16、Systems, Measureme nt and Con trol 107, pp. 100-103 (1985).10 Ja n Swevers, Farid Al-Be nder, Chris G.Ganseman, and Tutuko Prajogo, “Anintegrated Fricti on Model Structure with Improved Preslidi ngBehavior for AccurateFricti onCompensation, ” IEEE Trans. Automatic Control 45, (4), pp. 675-686 (2000)

17、.11 Ting-Yung Lin,Yih-Chieh Pan, and ChenHsieh, 2003, “ Precision-limitpositioning ofdirect drive systems with the existe nee offriction, ” Control Engineering Practice11,pp. 233-244 (2003).12 Vincent Lampaert, Jan Swevers, and FaridAl-Bender,“ Modification of the LeuvenIntegrated Friction ModelStru

18、cture, ” IEEETrans. Automatic Control 47, (4), pp. 683-687 (2002).7 C. Canudas de Wit, H. Olsson, K. J. Astr o m,and P. Lishi nsky ,“ A new model for eon trolof systems with friction,” IEEE Trans. on AC40, (3), pp. 419-425 (1995).8 Craig T. Joh nson, Robert D. Lore nz,作者簡(jiǎn)介馮榮豐教授現(xiàn)任：國(guó)立高雄第一科技大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)化工程學(xué)系教授。學(xué)位 ：國(guó)立臺(tái)灣大學(xué)機(jī)械工程研究所博士 （ 1993） 專長(zhǎng)：奈微米系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)控制，原子力顯微 鏡技術(shù)，光機(jī)電整合自動(dòng)化。主要著作