3.1.1傾斜角與斜率

1、3.1 直線的傾斜角與斜率3.1.1 傾斜角與斜率第三章 直線與方程笛卡兒（笛卡兒（1596-16501596-1650）：法國數(shù)）：法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，堪稱學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，堪稱1717世紀(jì)以來歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界世紀(jì)以來歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為最有影響的巨匠之一，被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖近代科學(xué)的始祖”. . 幾何問題幾何問題代數(shù)化代數(shù)化觀察下面的蹺蹺板，蹺蹺板的位置固定嗎？觀察下面的蹺蹺板，蹺蹺板的位置固定嗎？思考思考1 1 已知直線已知直線l經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P P，直線，直線l 的位置能夠確的位置能夠確定嗎？定嗎？yxOlll不確定不確定. .過一個點(diǎn)有無數(shù)

2、條直線過一個點(diǎn)有無數(shù)條直線. .這些直線有何區(qū)別？這些直線有何區(qū)別？它們的傾斜程度不同它們的傾斜程度不同如何描述直線如何描述直線的傾斜程度？的傾斜程度？Px xy yo o規(guī)定：當(dāng)直線規(guī)定：當(dāng)直線l和和x x軸平行或軸平行或重合時，它的傾斜角為重合時，它的傾斜角為0 0. .lx x軸正向軸正向與與直線直線l向上向上方向之間所成的角方向之間所成的角. .直線傾斜角直線傾斜角的范圍為：的范圍為：0180 .一、直線的傾斜角一、直線的傾斜角注意：1、對直線的傾斜角的理解(1)傾斜角定義中含有三個條件:x軸正、方向；直線向上的方向；小于180的非負(fù)角.2.傾斜角的范圍直線的傾斜角的范圍為_.00k

3、x x , ,y y y y ，o ot ta an n= =t ta an n( (1 18 80 0 - -) )= = - -t ta an n. .2121在在RtRtPQP中PQP中，2 21 1P PQ Qt ta an n= =P PQ Q21211212y -yy -y=，=，x -xx -x所以2 21 12 21 11 12 22 21 1y y - -y yy y - -y yk k= =t ta an n= =- -= =x x - -x xx x - -x x0.2x1x1y2y21(,)Q xy結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)90180時 ， 斜 率 k 0.同樣，當(dāng)同樣，當(dāng) 的方

4、向向上時，也有的方向向上時，也有 成立成立. .21P P2121tanyyxx111(,)P xy222(,)P xyxyoxyo111(,)P x y222(,)P xy說明：說明：此公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)此公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān). .222(,)P xy111( ,)P x y思考思考6 6 當(dāng)直線當(dāng)直線P P1 1P P2 2平行于平行于x x軸，或與軸，或與x x軸重合時，軸重合時， 還適用嗎？為什么？還適用嗎？為什么？2121yykxxxyO O21210yykxx適用適用222( ,)P x y111( ,)P x yxyO O思考思考7 7 當(dāng)直線平行于當(dāng)直線平行于y y軸

5、，或與軸，或與y y軸重合時，公軸重合時，公式還適用嗎？式還適用嗎？不適用，因?yàn)榉帜笧椴贿m用，因?yàn)榉帜笧? 0，斜率不存在斜率不存在. .三、斜率公式三、斜率公式公式特點(diǎn)：公式特點(diǎn)：(1)(1)與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān). .(2)(2)公式表明公式表明, ,直線的斜率可以通過直線上任意兩點(diǎn)直線的斜率可以通過直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示的坐標(biāo)來表示, ,而不需要求出直線的傾斜角而不需要求出直線的傾斜角. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)x x1 1=x=x2 2時時, ,公式不適用公式不適用, ,此時此時=90=90. .211221 ().yykxxxx經(jīng)過兩點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn) 的直線的斜率公式的直線

6、的斜率公式111222( ,),(,)P x yP xy12()xx判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)傾斜角是描述直線的傾斜程度的惟一方法.( )(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應(yīng).( )(3)一個傾斜角不能確定一條直線.( )(4)斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān).( )提示：(1)錯誤.除了傾斜角，還可以用坡度(比)描述傾斜程度.(2)錯誤.傾斜角不是90的直線有且只有一個斜率和它對應(yīng).(3)正確.確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素:一個點(diǎn)P和一個傾斜角.(4)正確.斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時調(diào)換.答案:(1) (2) (3) (4

7、)例、選擇題下列說法正確的是()A平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都有傾斜角和斜率B直線傾斜角的范圍是0180C若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為tanD若一條直線的斜率為tan，則此直線的傾斜角為答案：答案：B 例例1 1 如圖，已知如圖，已知A(3A(3，2),B(-42),B(-4，1),C1),C（0 0，-1-1）, ,求求直線直線ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角銳角還是鈍角. .OxyACB121;437ABk 解：解：直線直線ABAB的斜率的斜率1 121;0( 4)42BCk 直線直線BCBC的斜率的斜率

8、直線直線CACA的斜率的斜率1 231.033 CAk分析：分析：直接利用公式求解直接利用公式求解.由由 及及 知，直線知，直線ABAB與與CACA的傾斜角均為銳角；的傾斜角均為銳角；由由 知，直線知，直線BCBC的傾斜角為鈍角的傾斜角為鈍角0ABk0CAk0BCk斜率為正，傾斜角為銳角；斜率為正，傾斜角為銳角；斜率為負(fù)，傾斜角為鈍角；斜率為負(fù)，傾斜角為鈍角；斜率為斜率為0 0，傾斜角為，傾斜角為0 0；斜率不存在時，傾斜角為直角斜率不存在時，傾斜角為直角. .例例2 2 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為分別為1 1，-1-1，2 2及及-3-

9、3的直線的直線l1 1，l2 2，l3 3及及l(fā)4 4. .xy解：解：設(shè)設(shè)A A1 1（x x1 1,y,y1 1）是）是l1 1上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，根據(jù)斜率公式有根據(jù)斜率公式有1101,0yx即即x x1 1=y=y1 1. .設(shè)設(shè)x x1 1=1=1，則，則y y1 1=1=1，于是于是A A1 1的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（1,11,1）過原點(diǎn)及點(diǎn)過原點(diǎn)及點(diǎn)A A1 1（1,11,1）的直線即為）的直線即為l1 11l分析：分析：找出直線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)找出直線上異于原點(diǎn)的點(diǎn). .1AO同理同理l2 2是過原點(diǎn)及點(diǎn)是過原點(diǎn)及點(diǎn)A A2 2（1 1，-1-1）的直線，）的直線， l3 3是過原

10、點(diǎn)及點(diǎn)是過原點(diǎn)及點(diǎn)A A3 3（1 1，2 2）的直線，）的直線， l4 4是過原點(diǎn)及點(diǎn)是過原點(diǎn)及點(diǎn)A A4 4（1 1，-3-3）的直線）的直線x1A1l3l2l4l2A4Ay3AOl1 11.1.已知已知A(3A(3，5)5)，B(4B(4，7)7)，C(-1C(-1，x)x)三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，則則x x等于等于( )( )A.-1 B.1 C.-3 D.3A.-1 B.1 C.-3 D.3解：解：選選C.C.因?yàn)橐驗(yàn)?又又A A，B B，C C三點(diǎn)共線，所以三點(diǎn)共線，所以k kABAB=k=kACAC，即，即 解得：解得：x=-3.x=-3.A AB BA AC C7 7- -5 5x

11、 x- -5 5x x- -5 5k k= = =2 2, ,k k= = = - -, ,4 4- -3 3- -1 1- -3 34 4x524 ，2 2設(shè)直線設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為過原點(diǎn)，其傾斜角為，將直線，將直線l繞坐標(biāo)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)4545，得到直線，得到直線l1 1，則直線，則直線l1 1的傾斜角為的傾斜角為( () )A A4545 B B135135C C135135D D當(dāng)當(dāng)0 0135135時，為時，為4545；當(dāng)當(dāng)135135180180時，為時，為135135Do oABABc-cc-c(1)k=0, (1)k=0, =0 .=0 .

12、b-ab-a解解：4.4.已知已知a,b,ca,b,c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，求經(jīng)過下列兩點(diǎn)是兩兩不等的實(shí)數(shù)，求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率及傾斜角的直線的斜率及傾斜角. . (1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c). (1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c). (3)P(b,b+c),Q(a,c+a).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).線o o( (2 2) )直直C CD D的的斜斜率率不不存存在在, , = = 9 90 0 . .o oPQPQ（3）3）k=1, k=1, = 45 .= 45 .x xO O2-1-11 15.5.畫出經(jīng)過點(diǎn)（畫出經(jīng)過點(diǎn)（0,20,2），且斜率為），且斜率為2 2與與-2-2的直線的直線. .y y解：解：斜率為斜率為2 2的直線經(jīng)過（的直線經(jīng)過（0,20,2），（），（-1,0-1,0）兩點(diǎn)；）兩點(diǎn)；