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1、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性探究定理 1. 函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn) A(a,b) 對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(x)+f(2ax)=2b證明:(必要性)設(shè)點(diǎn) P(x,) 是=f(x) 圖像上任一點(diǎn), 點(diǎn) P(x,) 關(guān)于點(diǎn) A(a,b) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P (2ax,2b)也在 =f(x) 圖像上, 2b =f(2a x)即 +f(2a x)=2b 故 f(x)+f(2a x)=2b ,必要性得證。(充分性)設(shè)點(diǎn)P(x0,0) 是=f(x) 圖像上任一點(diǎn),則0=f(x0)f(x)+f(2ax)=2b f(x0)+f(2ax0)=2b ,即 2b0=f(2a x0) 。故點(diǎn) P (
2、2ax0,2b0)也在 =f(x) 圖像上,而點(diǎn) P 與點(diǎn) P關(guān)于點(diǎn) A(a,b) 對(duì)稱(chēng),充分性得征。推論:函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)的充要條件是 f(x)+f( x)=0定理 2. 函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(a+x)=f(ax) 即 f(x)=f(2ax) (證明留給讀者)推論:函數(shù) =f(x) 的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是 f(x)=f( x)定理 3. 若函數(shù) =f(x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn) A(a,c) 和點(diǎn) B(b,c) 成中心對(duì)稱(chēng)( ab),則 =f(x) 是周期函數(shù),且2ab 是其一個(gè)周期。若函數(shù) =f(x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線 x=a
3、和直線 x=b 成軸對(duì)稱(chēng)( a b),則 =f(x) 是周期函數(shù),且 2ab 是其一個(gè)周期。若函數(shù) =f(x) 像既關(guān)于點(diǎn) A(a,c) 成中心 稱(chēng)又關(guān)于直 x=b 成 稱(chēng)( ab), =f(x) 是周期函數(shù),且 4ab 是其一個(gè)周期。的 明留 者,以下 出的 明:函數(shù) =f(x) 像既關(guān)于點(diǎn) A(a,c) 成中心 稱(chēng), f(x)+f(2a x)=2c ,用 2bx 代 x 得:f(2bx)+f2a (2b x)=2c (又函數(shù) =f(x) 像直 x=b 成 稱(chēng),f(2b x)=f(x)代入( * )得:f(x)=2cf2(a b)+x ( * ),用* )2(ab) x代x 得f2(ab)+
4、x=2c f4(a b)+x 代入( * )得:f(x)=f4(ab)+x, 故=f(x) 是周期函數(shù),且 4ab 是其一個(gè)周期。二、不同函數(shù) 稱(chēng)性的探究定理 4. 函數(shù) =f(x) 與=2bf(2a x) 的 像關(guān)于點(diǎn) A(a,b) 成中心 稱(chēng)。定理 5. 函數(shù) =f(x) 與=f(2a x) 的 像關(guān)于直 x=a 成 稱(chēng)。函數(shù) =f(x) 與 ax=f(a ) 的 像關(guān)于直 x+=a 成 稱(chēng)。函數(shù) =f(x) 與 xa=f(+a) 的 像關(guān)于直 x=a 成 稱(chēng)。定理 4 與定理 5 中的 明留 者, 定理 5 中的設(shè)點(diǎn) P(x0,0) 是=f(x) 圖像上任一點(diǎn),則0=f(x0) 。記點(diǎn)
5、P(x,)關(guān)于直線 x=a 的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P(x1,1),則 x1=a+0,1=x0a,x0=a+1,0=x1a 代入 0=f(x0) 之中得 x1a=f(a+1) 點(diǎn) P ( x1,1)在函數(shù) xa=f(+a) 的圖像上。同理可證:函數(shù) xa=f(+a) 的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線 x=a 的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù) =f(x) 的圖像上。故定理 5 中的成立。推論:函數(shù) =f(x) 的圖像與 x=f() 的圖像關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱(chēng)。三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性列表注:上表中 Z =tanx 的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)應(yīng)該是 ( /2,0) ,而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的 21 世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)
6、 (下)及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案 (修訂版)中都認(rèn)為 =tanx 的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是 ( ,0) ,這明顯是錯(cuò)的。四、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用舉例例 1:定義在 R上的非常數(shù)函數(shù)滿足: f(10+x) 為偶函數(shù),且 f(5 x)=f(5+x), 則 f(x) 一定是()(第十二屆希望杯高二第二試題)(A) 是偶函數(shù),也是周期函數(shù) (B) 是偶函數(shù),但不是周期函數(shù)(C) 是奇函數(shù),也是周期函數(shù) (D) 是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)解: f(10+x) 為偶函數(shù), f(10+x)=f(10x). f(x) 有兩條對(duì)稱(chēng)軸 x=5 與 x=10,因此 f(x) 是以 10 為其一個(gè)周期的周
7、期函數(shù), x=0 即軸也是 f(x) 的對(duì)稱(chēng)軸,因此 f(x) 還是一個(gè)偶函數(shù)。故選 (A)例 2:設(shè)定義域?yàn)?R的函數(shù) =f(x) 、=g(x) 都有反函數(shù),并且 f(x 1) 和 g-1(x 2) 函數(shù)的圖像關(guān)于直線 =x 對(duì)稱(chēng),若 g(5)=1999 ,那么f(4)= ()。( A)1999;( B)2000;( C)xx;( D)xx。解: =f(x 1) 和=g-1(x 2) 函數(shù)的圖像關(guān)于直線 =x 對(duì)稱(chēng), =g-1(x 2) 反函數(shù)是 =f(x 1) ,而 =g-1(x 2) 的反函數(shù)是 :=2+g(x), f(x 1)=2+g(x), 有 f(5 1)=2+g(5)=xx故 f
8、(4)=xx, 應(yīng)選( C)例 3. 設(shè) f(x) 是定義在 R上的偶函數(shù),且 f(1+x)=f(1 x), 當(dāng)1x0 時(shí),f(x)=x,則 f(8.6)=_ (第八屆希望杯高二第一試題)解: f(x) 是定義在 R上的偶函數(shù) x=0 是=f(x) 對(duì)稱(chēng)軸;又 f(1+x)=f(1x) x=1 也是 =f(x) 對(duì)稱(chēng)軸。故 =f(x) 是以 2為周期的周期函數(shù),f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.3例 4. 函數(shù) =sin(2x+) 的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是()(92 全國(guó)高考理 )(A)x= (B)x= (C)x=(D)x=解:函數(shù) =sin(2x+) 的圖像的所有對(duì)稱(chēng)軸的方程是2x+=+x=, 顯然取 =1 時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=故選 (A)例 5. 設(shè) f(x) 是定義在 R上的奇函數(shù),且 f(x+2)= f(x), 當(dāng) 0 x1 時(shí),f(x)=x,則 f(7.5)=()(A)0.5(B)0.5(C)1.5(D)1.5解: =f(x
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