有限元簡介,應(yīng)用

1、有限元方法綜述0 0引言隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們正在不斷建造更為快速的交通工具、更大規(guī) 模的建筑物、更大跨度的橋梁、更大功率的發(fā)電機(jī)組和更為精密的機(jī)械設(shè)備。這一切都要求工程師在設(shè)計(jì)階段就能精確地預(yù)測(cè)出產(chǎn)品和工程的技術(shù)性能，需要對(duì)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力強(qiáng)度以及溫度場(chǎng)、流場(chǎng)、電磁場(chǎng)和滲流等技術(shù)參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算。 這些都可歸結(jié)為求解物理問題的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年來在計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值分析方法支持下發(fā)展起來的有限元分析(FEAFEA，F(xiàn)initeFinite ElementElementAnalysisAnalysis)方法則為解決這些復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題提供了有效的途徑。有限元法的基本思

2、想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)單元且按一定 方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合體。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且 單元本身可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。顯然，隨著單元數(shù)目的增加，即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加及插值函數(shù) 精度的提高，解的近似程度將不斷改進(jìn)。如果單元是滿足收斂要求的，則近似解 最后將收斂于精確解。1 1有限元方法發(fā)展 1 1.1 1有限元方法起源有限元方法是受內(nèi)外動(dòng)力的綜合作用而產(chǎn)生的。19431943年，柯朗在美國數(shù)學(xué) 學(xué)會(huì)公報(bào)上發(fā)表了平衡和振動(dòng)問題的變分解法一文，這篇文章實(shí)際上是他 19411941年在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)演講的書面稿， 在

3、其中柯朗提出了有限元法的核心思想。 大約與柯朗同時(shí)，工程師阿格瑞斯在另一個(gè)領(lǐng)域獨(dú)立地提出了有限元法?？吕屎桶⒏袢鹚垢髯栽跀?shù)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域獨(dú)立提出了有限元法，他們分別開創(chuàng)了有限元法的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和工程學(xué)傳統(tǒng)。有限元法被提出來以后，經(jīng)過一段時(shí)間的沉寂期，終于在二十世紀(jì)五十年代 和六十年代初有了很大的發(fā)展。主要表現(xiàn)為在代數(shù)表達(dá)形式、單元?jiǎng)澐帧卧?型選擇和解的收斂性研究上取得的突破。19601960年，克勞夫在平面應(yīng)力分析中 的有限元的論文中，第一次從數(shù)學(xué)上說明了將定義域劃分成有限的單元能夠成 功的原因：他表明對(duì)一些特定類型的單元來說， 隨著單元尺寸的減小，近似解將 收斂到精確解，這就在某些情況下證明

4、了有限元法的收斂性。 并在此文中第一次 提出了“有限元法”這個(gè)名稱，這個(gè)名稱一直沿用至今，標(biāo)志著有限元法早期發(fā) 展階段的結(jié)束。1 1. 2 2國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀目前，有限元方法在國外的發(fā)展主要表現(xiàn)為：第一，建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)和工 程學(xué)基礎(chǔ)；第二，應(yīng)用范圍擴(kuò)展到了結(jié)構(gòu)力學(xué)以外的領(lǐng)域；第三，收斂性得到了 進(jìn)一步研究，形成了系統(tǒng)的誤差估計(jì)理論；第四，發(fā)展起了相應(yīng)的、較為完備的 商業(yè)軟件包。我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理）， 胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是由于當(dāng)時(shí)環(huán)境所致， 我

5、國有限元方法的研究工作受到阻礙，有限元理論的發(fā)展也逐漸與國外拉開了距 離。近年來，隨著國家對(duì)發(fā)展自主 CAECAE （ComputerComputer aidedaided EngineeringEngineering CACA日平臺(tái) 已經(jīng)愈發(fā)重視，國內(nèi)CAECAE的研究已經(jīng)逐漸走出低迷狀態(tài)，獲得了一定的發(fā)展， 而且有限元技術(shù)不再僅僅停留在高校中，而是更多的走向了企業(yè)。1 1. 3 3未來發(fā)展趨勢(shì)在大力推廣CADCAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離 不開有限元分析計(jì)算，有限元法在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來越廣泛的重視。 目前以分析、優(yōu)化和仿真為特征的 CAECAE技術(shù)在世界

6、范圍內(nèi)蓬勃發(fā)展。它通過先 進(jìn)的CAECAE技術(shù)快速有效地分析產(chǎn)品的各種特性、揭示結(jié)構(gòu)各類參數(shù)變化對(duì)產(chǎn)品 性能的響，進(jìn)行設(shè)計(jì)方案的修改和調(diào)整，使產(chǎn)品達(dá)到性能和質(zhì)量上的最優(yōu)， 原材 料消耗最低。因此，基于計(jì)算機(jī)的分析、優(yōu)化和仿真的CAECAE技術(shù)的研究和應(yīng)用， 是高質(zhì)量、高水平、低成本產(chǎn)品設(shè)計(jì)與開發(fā)的保證。當(dāng)今國際上FEAFEA方法和軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢(shì)特征：1 1、從單純的結(jié) 構(gòu)力學(xué)計(jì)算發(fā)展到求解許多物理場(chǎng)問題；2 2、由求解線性工程問題進(jìn)展到分析非 線性問題；3 3、增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能；4 4、與CADCAD軟件的無縫集成；5 5、在WinWin teltel平臺(tái)上的

7、發(fā)展；6 6、擴(kuò)大仿真分析的范圍；7 7、智能化、 人性化和網(wǎng)絡(luò)化。2 2有限元方法基本思想有限元方法（FEMFEM）的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把 計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為 求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所 選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法 最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在 有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每

8、個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的， 則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看 作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。 在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計(jì)算方法是 由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采 用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選 擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來 劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又 分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金

9、（GalerkinGalerkin）法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)； 最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤 差最小；在配置法中，先在計(jì)算域 內(nèi)選取N N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N N個(gè) 配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0 0。插值函數(shù)一般由不同次幕的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知 值，稱為拉格朗日（LagrangLagrang多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身， 還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特（Herm

10、iteHermite）多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比， 二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早， 近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。 對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元， 常采 用的插值函數(shù)為有LagrangeLagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階 插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。3 3有限元方法求解基本步驟對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的， 只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)

11、算求解不同。有限元請(qǐng)求解問題的基本步驟通常為：1 1）建立積分方程。根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。2 2）求解域離散化。將求解域近似為具有不同大小和形狀且彼此相連的有限 個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越?。ňW(wǎng)絡(luò)越細(xì)） 則離散域的近似程度越好、計(jì)算結(jié)果也越精確，但是計(jì)算量及誤差都將增大，因 此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。3 3）確定狀態(tài)變量及控制方法。一個(gè)具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問 題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示， 為適合有限元求解，通常將微分方程化 為等價(jià)的泛函數(shù)形式。4 4）單元分析。對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元

12、的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元式函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變 量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣）。為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注 意每一種單元的解題性能與約束。 例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精 度低，而且有缺值的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無法求解。5 5）總體合成。將單元總裝形成離散域的總矩陣方程，反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元 結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。6 6）求解有限元方程及結(jié)果解釋。有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程 組

13、的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似 值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評(píng)價(jià)并確定是 否需要重復(fù)計(jì)算。4 4總結(jié)有限元技術(shù)誕生至今已半個(gè)多世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)與軟件技術(shù)的不斷發(fā)展 壯大，有限元的技術(shù)手段與應(yīng)用范圍已經(jīng)不可同日而語，隨之而來也誕生了數(shù)以百計(jì)的有限元軟件商。如今的有限元市場(chǎng)是一個(gè)群雄割據(jù)的年代， 據(jù)不完全統(tǒng)計(jì) 全球有超過200200種仿真分析的軟件在被企業(yè)所使用著，昔日的巨頭命運(yùn)也各不相 同，更有著無數(shù)的新貴崛起進(jìn)入人們的視野。 種類繁多的有限元軟件為人類探索 未知提供了工具，而有限元軟件已經(jīng)逐漸的被更多的工程人員所接受，在有

14、限元軟件中進(jìn)行著產(chǎn)品的仿真、分析與優(yōu)化，同時(shí)工程和產(chǎn)品的自主創(chuàng)新也為有限元 發(fā)展提供了強(qiáng)大的動(dòng)力。參考文獻(xiàn)1林群,微分方程數(shù)值解法基礎(chǔ)教程，科學(xué)出版社,2003.6.2徐長發(fā)，李紅，偏微分方程數(shù)值解法，華中理工大學(xué)出版社，2005.53魯建霞，茍惠芳,有限元法的基本思想與發(fā)展過程J,機(jī)械管理開發(fā)，2009(2):7475.4趙月坤，高常，一維非齊次邊值問題的有限元法，棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2011 (2):4346出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣 不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光 先帝遺德，

15、恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其 刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚 以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)櫍孕惺缇?，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰能”是以眾議舉寵為督:愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也； 親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。 先帝在時(shí), 每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、 靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣， 愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也 .FT臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于 敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十