選修222[1].1合情推理與演繹推理(13課時(shí))教案

1、選修2-2 2.1 合情推理與演繹推理(3課時(shí))第一課時(shí) 2.1.1 合情推理（一）教學(xué)要求：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.教學(xué)重點(diǎn)：能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.教學(xué)難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，作出猜想.教學(xué)過(guò)程：一、新課引入：1. 哥德巴赫猜想：觀察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜測(cè)：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素?cái)?shù)）可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 1742年寫信提出，歐拉

2、及以后的數(shù)學(xué)家無(wú)人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想. 1973年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”. 2. 費(fèi)馬猜想：法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)馬（1601-1665）在1640年通過(guò)對(duì)，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù)，于是提出猜想：對(duì)所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素?cái)?shù). 后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù)，推翻費(fèi)馬猜想.3. 四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的

3、問(wèn)題.1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用1200個(gè)小時(shí)，作了100億邏輯判斷，完成證明.二、講授新課：1. 教學(xué)概念： 概念：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理. 簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. 歸納練習(xí)：(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？(iii)觀察等式：，能得出怎樣的結(jié)論？ 討論：(i)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是

4、否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？ （發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段）(iii)歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）2. 教學(xué)例題： 出示例題：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出通項(xiàng)公式.（分析思路：試值n=1，2，3，4 猜想 如何證明：將遞推公式變形，再構(gòu)造新數(shù)列） 思考：證得某命題在nn時(shí)成立；又假設(shè)在nk時(shí)命題成立，再證明nk1時(shí)命題也成立. 由這兩步，可以歸納出什么結(jié)論？ （目的：滲透數(shù)學(xué)歸納法原理，即基礎(chǔ)、遞推關(guān)系） 練習(xí)：已知 ，推測(cè)的表達(dá)式.3. 小結(jié)：歸納推理的藥店：由部分到整體、由個(gè)別到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納.三、鞏固練習(xí)：

5、1. 練習(xí)：教材p87 1、2題. 2. 作業(yè)：教材p93 習(xí)題a組 1、2、3題.第二課時(shí) 2.1.1 合情推理（二）教學(xué)要求：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.教學(xué)重點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.教學(xué)難點(diǎn)：用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 練習(xí)：已知 ，考察下列式子：；. 我們可以歸納出，對(duì)也成立的類似不等式為 .2. 猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是 .3. 導(dǎo)入：魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點(diǎn)，如

6、都是繞太陽(yáng)運(yùn)行、擾軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學(xué)家猜測(cè)：火星上有生命存在. 以上都是類比思維，即類比推理.二、講授新課：1. 教學(xué)概念： 概念：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. 簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理. 類比練習(xí)：(i)圓有切線，切線與圓只交于一點(diǎn)，切點(diǎn)到圓心的距離等于半徑. 由此結(jié)論如何類比到球體？(ii)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論？(iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應(yīng)特征. （教材p81 探究 填表） 小結(jié)：平面空間，圓球，線面. 討論：以平面

7、向量為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)空間向量，試舉例其中的一些類比思維.2. 教學(xué)例題： 出示例1：類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì). （得到如下表格）類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若則若則運(yùn)算律逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法，使得方程有唯一解乘法的逆運(yùn)算是除法，使得方程有唯一解單位元 出示例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想. 思維：直角三角形中，3條邊的長(zhǎng)度，2條直角邊和1條斜邊；3個(gè)面兩兩垂直的四面體中，4個(gè)面的面積和3個(gè)“直角面”和1個(gè)“斜面”. 拓展：三角形到四面體的類比.3. 小結(jié)：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類

8、比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理. 三、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材p87 3題. 2. 探究：教材p84 例4 3.作業(yè)：p93 4、5題.第三課時(shí) 2.1.2 演繹推理教學(xué)要求：結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理。.教學(xué)重點(diǎn)：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.教學(xué)難點(diǎn)：分析證明過(guò)程中包含的“三段論”形式.教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 練習(xí)： 對(duì)于任意正整數(shù)n，猜想（2n-1）與(n+1)2的大小關(guān)系？ 在平面內(nèi)，若，則. 類比到空間，你會(huì)得到什么結(jié)論？（結(jié)論：在空間中，若，則；或在空間中，若

9、.2. 討論：以上推理屬于什么推理，結(jié)論正確嗎？合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明，有什么能使結(jié)論正確的推理形式呢？3. 導(dǎo)入： 所有的金屬都能夠?qū)щ?，銅是金屬，所以 ； 太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，冥王星是太陽(yáng)系的大行星，因此 ； 奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以 . （填空討論：上述例子的推理形式與我們學(xué)過(guò)的合情推理一樣嗎？課題：演繹推理）二、講授新課：1. 教學(xué)概念： 概念：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。 要點(diǎn)：由一般到特殊的推理。 討論：演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？合情推理；演繹推理：由一般到特殊. 提問(wèn)：觀察教材

10、p88引例，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點(diǎn)？所有的金屬都導(dǎo)電 銅是金屬 銅能導(dǎo)電已知的一般原理 特殊情況 根據(jù)原理，對(duì)特殊情況做出的判斷大前提 小前提 結(jié)論“三段論”是演繹推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情況；第三段：結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷. 舉例：舉出一些用“三段論”推理的例子.2. 教學(xué)例題： 出示例1：證明函數(shù)在上是增函數(shù). 板演：證明方法（定義法、導(dǎo)數(shù)法） 指出：大前題、小前題、結(jié)論. 出示例2：在銳角三角形abc中，d，e是垂足. 求證：ab的中點(diǎn)m到d，e的距離相等. 分析：證明思路 板演：證明過(guò)程 指出：大前題、小前題、結(jié)論. 討論：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，則結(jié)論是什么？（結(jié)論指出：大前提、小前提 討論：結(jié)論是否正確，為什么？） 討論：演繹推理怎