第一節(jié)傅立葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分 (2)

1、 Fourier變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換積分變換, ,通過(guò)特定形式的積分建立函數(shù)之通過(guò)特定形式的積分建立函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. . 它既能簡(jiǎn)化計(jì)算它既能簡(jiǎn)化計(jì)算( (如解微分如解微分方程或化卷積為乘積等方程或化卷積為乘積等) )，又具有明確的物，又具有明確的物理意義理意義( (從頻譜的角度來(lái)描述函數(shù)的特征從頻譜的角度來(lái)描述函數(shù)的特征),),因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用. .離散和快速離散和快速Fourier變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要 Fourier Fourier 變換是在周期函數(shù)的變換是在周期

2、函數(shù)的 Fourier Fourier 級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。在微積分課程級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。在微積分課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了中已經(jīng)學(xué)習(xí)了Fourier Fourier 級(jí)數(shù)的有關(guān)級(jí)數(shù)的有關(guān) 內(nèi)容，內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡(jiǎn)單地回顧一下因此本節(jié)將先簡(jiǎn)單地回顧一下 Fourier Fourier 級(jí)數(shù)展開。級(jí)數(shù)展開。1 Fourier 級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)與Fourier 積分積分 一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)二、非周期函數(shù)的二、非周期函數(shù)的 Fourier級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù)即Fourier積分積分區(qū)間區(qū)間 上上滿足如下條件滿足如下條件( (稱為稱為 Dirichlet 條件條件) )：2 /,

3、2 /TT 則在則在 的的連續(xù)連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處有處有)(tfT(1) 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2) 只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn) .( ( Dirichlet 定理定理) )設(shè)設(shè) 是以是以 T 為周期的實(shí)值函數(shù)，且在為周期的實(shí)值函數(shù)，且在)(tfT定理定理1. Fourier 級(jí)數(shù)的三角形式級(jí)數(shù)的三角形式在在 的的間斷間斷處，上處，上式左端為式左端為 .)0()0(21 tftfTT)(tfT一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),20T 稱之為稱之為基頻基頻。,dcos)(22 /2 /0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)

4、(22/2 /0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n, )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)稱稱 (A) 式為式為 Fourier 級(jí)數(shù)的三角形式級(jí)數(shù)的三角形式。定義定義( ( Dirichlet 定理定理) )定理定理nnba ,分別是分別是n的偶函數(shù)和奇函數(shù)的偶函數(shù)和奇函數(shù)注意：注意：2. Fourier 級(jí)數(shù)的物理含義級(jí)數(shù)的物理含義,cosnnnAa ,sinnnnAb ，200aA ,22nnnbaA 令令則則 (A) 式變?yōu)槭阶優(yōu)镺nAnanb n , )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)改寫改寫)cos()(100nn

5、nTtnAAtf 這些簡(jiǎn)諧波的這些簡(jiǎn)諧波的( (角角) )頻率分別為一個(gè)基頻頻率分別為一個(gè)基頻 的倍數(shù)。的倍數(shù)。0頻率成份，其頻率是以基頻頻率成份，其頻率是以基頻 為間隔離散取值的。為間隔離散取值的?！? 這是周期信號(hào)的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)這是周期信號(hào)的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)。)cos()(100nnnTtnAAtf 認(rèn)為認(rèn)為 “ 一個(gè)周期為一個(gè)周期為 T 的周期信號(hào)的周期信號(hào) 并不包含所有的并不包含所有的)(tfT意義意義周期信號(hào)可以分解為一系列周期信號(hào)可以分解為一系列固定頻率固定頻率的簡(jiǎn)諧波之和，的簡(jiǎn)諧波之和，表明表明相位相位n反映了在信號(hào)反映了在信號(hào) 中中頻率為頻率為 的簡(jiǎn)諧波的簡(jiǎn)諧波)(tf

6、T0n 這兩個(gè)指標(biāo)完全定量地刻畫了信號(hào)的頻率特性。這兩個(gè)指標(biāo)完全定量地刻畫了信號(hào)的頻率特性。反映了頻率為反映了頻率為 的簡(jiǎn)諧波在信號(hào)的簡(jiǎn)諧波在信號(hào) 中中0n)(tfT振幅振幅nA所占有的份額；所占有的份額；沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小。沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小。)cos()(100nnnTtnAAtf 3. Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)的指數(shù)形式代入代入 (A) 式并整理得式并整理得根據(jù)根據(jù) Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1( j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn . )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnT

7、jbajbaatf推導(dǎo)推導(dǎo), )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)已知已知. )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推導(dǎo)推導(dǎo)則有則有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12 /2 /0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)稱稱 (B) 式為式為 Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)的指數(shù)形式。定義定義(1) 分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2) 計(jì)算系數(shù)計(jì)算系數(shù) 時(shí)時(shí), 其中的積分可以在任意其中的積分可以在任意nc一個(gè)長(zhǎng)度為一個(gè)長(zhǎng)度為 T 的區(qū)間上

8、進(jìn)行。的區(qū)間上進(jìn)行。(3) 采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應(yīng)用到采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應(yīng)用到僅僅定義在某個(gè)有限區(qū)間上的函數(shù)。僅僅定義在某個(gè)有限區(qū)間上的函數(shù)。4. 離散頻譜與頻譜圖離散頻譜與頻譜圖,00Ac ，221|22nnnnnAbacc 得得OnAnanb n nbn nc2nc 2,200ac ,2nnnjbac 分析分析,2nnnjbac 由由即即 的模與輻角正好是振幅和相位。的模與輻角正好是振幅和相位。nc,argargnnncc . )0( n稱稱 為為頻譜頻譜，記為，記為nc.)(0ncnF 稱稱 為為振幅譜振幅譜，稱稱 為為相位譜相位譜；|ncncarg定義定義將振幅將振幅

9、 、相位、相位 與頻率與頻率 的關(guān)系畫成圖形。的關(guān)系畫成圖形。0n|ncncarg頻譜圖頻譜圖O| )(|0nF 0 02 03 04 0 02 03 04 O 0 02 03 04 0 02 03 04 )(arg0nF(1) 當(dāng)當(dāng) n = 0 時(shí)，時(shí)，解解 基頻基頻. 120 T)0(0Fc TTttfT0d)(1.d2120tt 2 /2 /d)(1TTTttfTO)(tfTt 2 2解解 (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 n)(0nFcn 2 /2 /de)(10TTtjnTttfT jnttt20de21 jnttjn20de21 20e21jnttjn jnttjn20de21.nj Ttj

10、nTttfT0de)(10O)(tfTt 2 2(3) 的的 Fourier 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 0.e)(nnjntTnjtf)(tfT解解)(0nF . 0, |1, 0,nnn(4) 振幅譜為振幅譜為)(arg0nF . 0,2, 0,2, 0, 0nnn相位譜為相位譜為O)(tfTt 2 2(5) 頻譜圖如下圖所示。頻譜圖如下圖所示。 解解1 22 1O)(0nF 1 22 1O)(arg0nF 2 /2 / O)(tfTt 2 2借助借助 Fourier 級(jí)數(shù)展開，使得人們能夠完全了解一個(gè)級(jí)數(shù)展開，使得人們能夠完全了解一個(gè)信號(hào)的頻率特性，從而認(rèn)清了一個(gè)信號(hào)的本質(zhì)，這種對(duì)信號(hào)的頻率特性，從而

11、認(rèn)清了一個(gè)信號(hào)的本質(zhì)，這種對(duì)信號(hào)的分析手段也稱為信號(hào)的分析手段也稱為頻譜分析頻譜分析(或者或者諧波分析諧波分析)。但是，但是，F(xiàn)ourier 級(jí)數(shù)要求被展開的函數(shù)必須是周期函級(jí)數(shù)要求被展開的函數(shù)必須是周期函數(shù)，數(shù)， 而在工程實(shí)際問(wèn)題中，而在工程實(shí)際問(wèn)題中， 大量遇到的是非周期函數(shù)，大量遇到的是非周期函數(shù)，那么，對(duì)一個(gè)非周期函數(shù)是否也能進(jìn)行頻譜分析呢那么，對(duì)一個(gè)非周期函數(shù)是否也能進(jìn)行頻譜分析呢?二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換(1) 非周期函數(shù)可以看成是一個(gè)周期為無(wú)窮大的非周期函數(shù)可以看成是一個(gè)周期為無(wú)窮大的“周期函數(shù)周期函數(shù)”。1. 簡(jiǎn)單分析簡(jiǎn)單分析)(tft)(tfTt)

12、(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 當(dāng)當(dāng) T 越來(lái)越大時(shí)，取值間隔越來(lái)越?。辉絹?lái)越大時(shí)，取值間隔越來(lái)越小；當(dāng)當(dāng) T 趨于無(wú)窮時(shí)，取值間隔趨向于零，趨于無(wú)窮時(shí)，取值間隔趨向于零，因此，一個(gè)非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。因此，一個(gè)非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。其頻譜是以其頻譜是以 為間隔離散取值的。為間隔離散取值的。T20 即頻譜將連續(xù)取值。即頻譜將連續(xù)取值。(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，頻率特性頻率特性發(fā)生了什么變化？發(fā)生了什么變化？ TFourier 級(jí)數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，級(jí)數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，分析分析(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和發(fā)生了什么

13、變化？發(fā)生了什么變化？ TtjnnTTtjnTTttfT00ede)(1lim2 /2 / 0n,n記為記為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0, 將間隔將間隔記為記為得得T 220并由并由tjnnnTc0elim )(tf)(limtfTT 分析分析ttftjntjTnn ede)(lim21/0 )(tf(C)分析分析則則按照積分定義，在一定條件下，按照積分定義，在一定條件下，(C) 式可寫為式可寫為 )(gT記記,ede)(/tjtjTttf gnnT )(lim210)(tfttftjtjdede)(21 )(tf當(dāng)當(dāng), 0w),(tftfT變成)(g,ede )(tjtjttf 變成wgT.d| )(| tt

14、f(2) 絕對(duì)可積，即絕對(duì)可積，即),( 上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿足上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿足 Dirichlet 條件；條件；(1) 在在定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足滿足)(tf.)0()0(21 tftf的間斷處，公式的左端應(yīng)為的間斷處，公式的左端應(yīng)為在在)(tf2. Fourier 積分公式積分公式稱稱 (D) 式式為為 Fourier 積分公式積分公式。定義定義則在則在的連續(xù)點(diǎn)處，有的連續(xù)點(diǎn)處，有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D) 1822 年，年，F(xiàn)ourier 經(jīng)過(guò)十年的努力，終于出版了專著：經(jīng)過(guò)十年的努力，終于出版了專著：熱的解析理論熱的解析理論這部經(jīng)典著作將歐拉、伯

15、努利等人在一些特殊情形下使用這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角級(jí)數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在的三角級(jí)數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在工程應(yīng)用方面顯示出巨大的價(jià)值。工程應(yīng)用方面顯示出巨大的價(jià)值。歷史回顧歷史回顧 Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 1829 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家年，德國(guó)數(shù)學(xué)家 Dirichlet 終于對(duì)一類條件較終于對(duì)一類條件較“寬寬”的的函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時(shí)年函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時(shí)年 24 歲。歲。 1830年年 5 月月 16 日，日，F(xiàn)ourier 在巴黎去世。在巴黎去世。啟示：?jiǎn)⑹荆?1) 有價(jià)值的東西一定是真的；真的東西一定是

16、美的。有價(jià)值的東西一定是真的；真的東西一定是美的。(2) 堅(jiān)持不懈的努力就一定會(huì)有收獲。堅(jiān)持不懈的努力就一定會(huì)有收獲。歷史回顧歷史回顧 Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。 對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)。 對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。德國(guó)數(shù)學(xué)家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介紹人物介紹 狄利克雷狄利克雷附：附： 1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。 1839年任柏林大學(xué)教授。年任柏林大學(xué)教授。 1855年接

17、任年接任 C. F. 高斯高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。在哥廷根大學(xué)的教授職位。 1805年年2月月13日生于迪倫。日生于迪倫。 18221826年在巴黎求學(xué)。年在巴黎求學(xué)。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家 G. S. 歐姆歐姆。回國(guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)和柏林軍事學(xué)院任教。回國(guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)和柏林軍事學(xué)院任教。人物介紹人物介紹 狄利克雷狄利克雷附：附：附：附：人物介紹人物介紹 傅立葉傅立葉 傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉分析等理論的始創(chuàng)人。傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉分析等理論的始創(chuàng)人。 1822年出版經(jīng)典著作年出版經(jīng)典著作熱的解析理論熱的解析理論?！吧钊胙芯孔匀皇菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉。深入研究自然

18、是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉?！?J. Fourier法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家(17681830)傅立葉Fourier，Jean Baptiste Joseph 1801年回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng)。年回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng)。 1795年任巴黎綜合工科大學(xué)助教。年任巴黎綜合工科大學(xué)助教。 1798年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及。年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及。 1768年年3月月21日生子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭。日生子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭。 1785年回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。年回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)。9歲父母雙亡，歲父母雙亡，12歲由一主教送入軍事學(xué)校讀書。歲由一主教送入軍事學(xué)校讀書。 1817年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士。年當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士。 1822年任法國(guó)科學(xué)院終身秘書。年任法國(guó)科學(xué)院終身秘書。 1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。附：附：人物介紹人物介紹 傅立葉傅立葉( (返回返回) )附：附：抽樣信號(hào)抽樣信號(hào) 通常將函數(shù)通常將函數(shù)ttsin)(tSa稱為稱為抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)，記為，記為 或者或者. )(sinc t 抽樣信號(hào)在連續(xù)抽樣信號(hào)在連續(xù)( (時(shí)間時(shí)間) )信號(hào)的信號(hào)的離散化、離散化、離散離散(