三角形問題常見輔助線添加學(xué)生版12頁

1、三角形問題常見輔助線添加方法專題三角形問題常見輔助線添加方法1、 等腰三角形利用“三線合一”的性質(zhì)解題2、 倍長中線：使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3、 角平分線五種添加輔助線4、 垂直平分線連接線段兩端5、 用截長或補(bǔ)短法：遇到有線段和差問題的6、 圖形補(bǔ)全法：有一個60或120角，把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7、 角度數(shù)為30、60的作垂線法，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線8、 計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形、正方形，計(jì)算邊長與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二邊或二角，從而為證明全等創(chuàng)造邊、角條件9、 利用翻折，構(gòu)造全等三角形10、 引平行線構(gòu)造全等三角形11、 作連線

2、構(gòu)造等腰三角形找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大

3、于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是

4、全等變換中的“對折”。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2-1：如圖，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。 例2-2：如圖，在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，BE=AC，BE的延長線交AC邊于點(diǎn)F，求證：AEF=EAF 變式練習(xí)：1、如圖，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=

5、BF 2、已知：如圖，AD是ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，BE=AC，延長BE交于AC于F，求證：AF=EF 3、已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證：EF=2AD （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3-1：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。例3-2：如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD交BD的延長線于點(diǎn)E，延長BA、CE相交于點(diǎn)F求證：BD=2C

6、E變式練習(xí)：1、如圖，已知AC平分BAD，CEAB于E 點(diǎn)，ADC+B=180（1）求證：BC=CD；（2）2AE=AB+AD 2、如圖，已知：在四邊形ABCD中，過C作CEAB于E，并且CD=CB，ABC+ADC=180，（1）求證：AC平分BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的長；（3）ABC和ACD的面積分別為36和24，求BCE的面積 3、在四邊形ABCD中，ABC是鈍角，ABC+ADC=180，對角線AC平分BAD（1）如圖1，求證：BC=CD；（2）如圖2，若AB+AD=AC，求BCD的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)BAD=120時，請判斷AB、AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系？并加以證明（4

7、）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4-1：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF.求證：DE=DF.例4-2：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。變式練習(xí)：1、如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，點(diǎn)D是邊CB延長線上一點(diǎn)，連AD，作EAAD，且使AD=AE，連BE與AC延長線交于點(diǎn)F求證：BF=EF （5）截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條

8、線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例5：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。變式練習(xí)：1、已知，如圖，ABC中，C=60，AD、BE是ABC的角平分線，且交于點(diǎn)O，求證：AB=AE+BD (六)、通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6：已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，D=ABC=BAD=90，E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且EAF=45，連接EF，求證：EF=BF+DE 變式練習(xí)：1、已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=120，

9、MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F（1）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），求證：AE+CF=EF；（2）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時，在 圖2和 圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明2、（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE填空：AEB的度數(shù)為 ；AD與BE的數(shù)量關(guān)系 （2）拓展探究：圖2，ACB和DCE均為等腰三角形，ACB=DCE=90，點(diǎn)A、D、E在同一只顯示行，CM為DCE中DE邊上的

10、高，連接BE，請判斷AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由3、如圖，在RtABC中，C=90，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到線段AE，使得AEAB，且點(diǎn)E、D、B恰好在同一直線上，作EMAC于點(diǎn)M（1）若線段AD逆時針旋轉(zhuǎn)了54，求CBD的度數(shù)；（2）求證：AB=EM+BC(七)、通過翻折構(gòu)造全等三角形例7：如圖，將RtABC沿斜邊翻折得到ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且EAF=DAB試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想(八)、過點(diǎn)作垂線（目的是構(gòu)造直角三角形，標(biāo)志是垂直、角平分線、75、105或120）例8：如圖，設(shè)點(diǎn)M是

11、等腰RtABC的直角邊AC的中點(diǎn)，ADBM于E，AD交BC于D求證：AMB=CMD（請用兩種不同的方法證明）變式練習(xí)：1、如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角ABC內(nèi)一點(diǎn)，CAD=CBD=15，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA（1）試說明CD垂直于AB；（2）求證：DE平分BDC；（3）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD （九）倍角化等腰（目的是利用等腰三角形性質(zhì)解題）例9：如圖，已知AB=AC，BDAC于點(diǎn)D，求證：DBC=BAC變式練習(xí)：1、已知：如圖，ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，DBC=A求證：ACBD 2、已知在ABC中，B=2C，BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D求證：A

12、C=AB+BD（十）平行線中的動態(tài)旋轉(zhuǎn)例10：如圖，RtAOB和RtCOD中，AOB=COD=90，B=40，C=60，點(diǎn)D在邊OA上，將圖中的COD繞點(diǎn)O按每秒10的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第 秒時，邊CD恰好與邊AB平行變式練習(xí)：（1）如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)E在邊AC上，ADE=60，BAD與CDE的數(shù)量關(guān)系式是 ；（2）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），ADE=B，點(diǎn)E在邊AC上，若CE=BD，求證：ABDDCE；（十一）直角模型（利用兩銳角互余，結(jié)合等量代換解題）例11：如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是斜邊