2.1導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用ppt課件

1、1.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用： 1、費(fèi)用最省問題 2、容積最大問題 3、利潤(rùn)最大問題 4、距離最短問題 5、物理問題利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大小值的方法：1、細(xì)致分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系式 y=f(x),在根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的定義域。2、求f(x),解方程f(x)=0，求出定義域內(nèi)所有的實(shí)數(shù)根。3、比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。 在經(jīng)濟(jì)生活中，人們經(jīng)常遇到最優(yōu)化問在經(jīng)濟(jì)生活中，人們經(jīng)常遇到最優(yōu)化問題，例如為使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、生產(chǎn)效

2、率最題，例如為使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)最大、生產(chǎn)效率最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最省等等，需要尋求相?yīng)的最佳方案或最佳省等等，需要尋求相應(yīng)的最佳方案或最佳策略，這些都是最優(yōu)化問題。導(dǎo)數(shù)是解決策略，這些都是最優(yōu)化問題。導(dǎo)數(shù)是解決這類問題的基本方法之一。如今，我們研這類問題的基本方法之一。如今，我們研究幾個(gè)典型的實(shí)際問題。究幾個(gè)典型的實(shí)際問題。 解決優(yōu)化問題的方法：解決優(yōu)化問題的方法： 首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取的定義域

3、，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具解決數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：例例1. 在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片的四角切去的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它

4、的邊沿虛線折起相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖如圖)，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，為，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)是使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？多少？解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為為xcm，則箱子容積，則箱子容積2( )(2 ), 02aV xaxxx所以所以322( )44V xxaxa x(0)2ax22( )128V xxaxa令令 22( )1280V xxaxa解得解得x1= a，x2= a舍去），舍去），6121在區(qū)間在區(qū)間(0， a)內(nèi)，且當(dāng)內(nèi)，且當(dāng)0 x0，當(dāng)，當(dāng) axa時(shí)，時(shí)，V(x)0)，所以所以f(x)=kx(

5、d2x2)，0 xd，在開區(qū)間在開區(qū)間(0，d)內(nèi)，內(nèi)，令令f (x)=k(d23x2)=0， 解得解得x= d， 33其中負(fù)根沒有意義，舍去其中負(fù)根沒有意義，舍去.當(dāng)當(dāng)0 x0，當(dāng)，當(dāng) dxd時(shí)，時(shí)，f (x)0， 3333 因此在區(qū)間因此在區(qū)間(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)x= d，所以，所以f(x)在在x= d取得最大值，取得最大值， 3333這就是橫梁強(qiáng)度的最大值，這就是橫梁強(qiáng)度的最大值， 這時(shí)這時(shí) 2263hdxd 即當(dāng)寬為即當(dāng)寬為 d，高為，高為 時(shí)，橫梁的時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大。強(qiáng)度最大。3363d例例3如圖，一海島駐扎一支部隊(duì)，海島如圖，一海島駐扎一支部隊(duì)，海島離岸

6、邊最近點(diǎn)離岸邊最近點(diǎn)B的距離是的距離是150km，在岸邊，在岸邊距點(diǎn)距點(diǎn)B300km的點(diǎn)的點(diǎn)A處有一軍需品倉(cāng)庫(kù)，有處有一軍需品倉(cāng)庫(kù)，有一批軍需品要盡快送達(dá)海島，一批軍需品要盡快送達(dá)海島，A與與B之間之間有一鐵路，現(xiàn)有海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送?；疖囉幸昏F路，現(xiàn)有海陸聯(lián)運(yùn)方式運(yùn)送?；疖嚂r(shí)速為時(shí)速為50km，船時(shí)速為，船時(shí)速為30km，試在岸邊，試在岸邊選一點(diǎn)選一點(diǎn)C，先將軍需品用火車，先將軍需品用火車送到點(diǎn)送到點(diǎn)C，再用輪船從點(diǎn)，再用輪船從點(diǎn)C運(yùn)到海島，問點(diǎn)運(yùn)到海島，問點(diǎn)C選在何處選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短？可使運(yùn)輸時(shí)間最短？ 解解:設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)與點(diǎn)B的距離是的距離是xkm，則運(yùn)輸時(shí)間，則運(yùn)輸時(shí)間2215

7、0300( )3050 xxT x(0 x300)因?yàn)橐驗(yàn)?2222( 150)150 xxx所以所以 221( )5030 150 xT xx令令T(x)=0，則有，則有 2253 1500 xx2253 150 xx即即25x2=9(1502+x2)， 解此方程，得解此方程，得 x= 29 1503 150112.544 舍去負(fù)值，取舍去負(fù)值，取x0=112.5 .因?yàn)橐驗(yàn)門(0)=11，T(300)=11.2， T(112.5)=22150112.5187.5103050則則10是三數(shù)中最小者，是三數(shù)中最小者， 所以選點(diǎn)所以選點(diǎn)C在與點(diǎn)在與點(diǎn)B距離為距離為112.5km處處,運(yùn)輸時(shí)間最小

8、。運(yùn)輸時(shí)間最小。例例4如圖，已知電源的電動(dòng)勢(shì)為如圖，已知電源的電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)電，內(nèi)電阻為阻為r，問當(dāng)外電阻取什么值時(shí)，輸出的，問當(dāng)外電阻取什么值時(shí)，輸出的功率最大？功率最大？ 電源?R?r解：由歐姆定律得電流強(qiáng)度解：由歐姆定律得電流強(qiáng)度 IRr在負(fù)載電路上的輸出功率是在負(fù)載電路上的輸出功率是P=P(R)=I2R= 22()RRr實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)，r一定時(shí)，輸出功率由負(fù)一定時(shí)，輸出功率由負(fù)載電阻載電阻R的大小決定，的大小決定，?當(dāng)當(dāng)R很小時(shí)，電源的功率大都消耗在內(nèi)很小時(shí)，電源的功率大都消耗在內(nèi)阻阻r上，輸出的功率可以變的很小；上，輸出的功率可以變的很?。籖很大很大時(shí)，電路中的電流強(qiáng)度很小，

9、輸出的功率時(shí)，電路中的電流強(qiáng)度很小，輸出的功率也會(huì)變的很小，因此也會(huì)變的很小，因此R一定有一個(gè)適當(dāng)?shù)囊欢ㄓ幸粋€(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，使輸出的功率最大。數(shù)值，使輸出的功率最大。令令 22224()2 ()( )()()RRrR RrP RRrRr220()rRRr即即 ，解得，解得R=r，2()0Rr因而，當(dāng)因而，當(dāng)R=r時(shí)，輸出的功率最大。時(shí)，輸出的功率最大。例例5圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為，底半徑為R，則表面積，則表面積 S=2Rh+2R2 由由V=R2h，得，得 2VhR那那么么 S(R)=2R?+2R2?=?+2R22VR2VR令令 22( )40Vs RRR 解得解得 R= 32V從而從而h= 2VR23()2VV32V 即即h=2R， 因?yàn)橐驗(yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所只有一個(gè)極值，所以它是最小值以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省材料最省例例6已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函的函數(shù)關(guān)系式為數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格，價(jià)格p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時(shí)，