3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(用)

1、2021/3/1013.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算運(yùn)算3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義及其幾何意義2021/3/102 ； 形如形如a a+ +bibi( (a,ba,bR)R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)的數(shù)叫做復(fù)數(shù). .全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示 . .2021/3/103z = a + bi (a, bR)( ,)zabia bR復(fù)數(shù)2.2.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)的分類：00 ba，非純虛數(shù)非純虛數(shù) 00 ba，純虛數(shù)純虛數(shù)0b虛數(shù)虛數(shù) 0b實數(shù)實數(shù)2021/3/104 3. 3.規(guī)定：規(guī)定：,Rdcb

2、a 若dicbia 注：注：1)000abiab且2) dbca2021/3/105xyobaZ(a,b)z=a+bi直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量平面向量 OZ復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的的幾何意義（兩種）幾何意義（兩種）三這者只是一一對三這者只是一一對應(yīng)，不是相等。且應(yīng)，不是相等。且這種關(guān)系的應(yīng)用出這種關(guān)系的應(yīng)用出題較多。題較多。2021/3/106對對虛數(shù)單位虛數(shù)單位i 的規(guī)定的規(guī)定 練習(xí)練習(xí). 根據(jù)對虛數(shù)單位根據(jù)對虛數(shù)單位 i 的規(guī)定把下列運(yùn)算的結(jié)果都化的規(guī)定把下列運(yùn)算的結(jié)果都化 為為 a+bi（a、b R）的形式）的形式. 3(2+i)= ； (3-i)i=

3、；i = ； -5= ；0= ；2-i= .6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i （1）； （2） i 2021/3/1072021/3/1081.1.復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則：已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)）是實數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實部與實部實部與實部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )

4、(c+di i) = (ac) + (bd)i i2021/3/109例例1.1.計算計算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65(2021/3/1010練習(xí)、計算練習(xí)、計算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (13i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求實數(shù)求實數(shù)a a、b b的值。的值。 我們知道我們知道,兩個向量的和滿足平行四邊形法則兩個向量的和滿足平行四邊形法則, 復(fù)復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，數(shù)可以表示平面上的向量，那么復(fù)數(shù)的加法與向量的那么復(fù)數(shù)的加法與向量

5、的加法是否具有一致性呢？加法是否具有一致性呢？2021/3/1011xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四邊形的平行四邊形法則法則.2.2.復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義? ?2021/3/1012xoyZ1(a,b)Z2(c,d)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量減法的三減法的三角形法則角形法則.3.3.復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義? ?表示復(fù)平面上兩點(diǎn)表示復(fù)平面上兩點(diǎn)Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距離的距離2021

6、/3/1013(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|*已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)A,說明下列各式所表示的幾何意義*.點(diǎn)點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)(1,2)(1,2)的距離的距離點(diǎn)點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)( (1, 1, 2)2)的距離的距離(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|點(diǎn)點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)(1,0)的距離的距離點(diǎn)點(diǎn)A A到點(diǎn)到點(diǎn)(0, (0, 2)2)的距離的距離2021/3/1014練習(xí)練習(xí): :已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)m=2m=23i3i, ,若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)z z滿足滿足不等式不等式| |z zm m|=1,|=1,則則z

7、z所對應(yīng)的點(diǎn)的集所對應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形合是什么圖形? ?以點(diǎn)以點(diǎn)(2, (2, 3)3)為圓心為圓心, ,1 1為半徑的圓上為半徑的圓上2021/3/10151 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四邊形平行四邊形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四邊形平行四邊形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四邊形平行四邊形OABCOABC是是z1z2z

8、1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形4.復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系如圖2021/3/1016練習(xí)練習(xí): :,2設(shè)設(shè)z z1 1,z,z2 2C, |zC, |z1 1|= |z|= |z2 2|=1|=1 |z |z2 2+z+z1 1|= |= 求求|z|z2 2-z-z1 1| |:2答案2021/3/10173.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算運(yùn)算3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算2021/3/1018已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)）是實數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)

9、相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實部與實部實部與實部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i2021/3/10191.1.復(fù)數(shù)的乘法法則：復(fù)數(shù)的乘法法則：2acadibcibdi)()acbdbcad i（說明說明:(1):(1)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)；兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)； (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類

10、似的，只是在，只是在運(yùn)算過程中把運(yùn)算過程中把 換成換成1 1，然后實、虛部分別合并，然后實、虛部分別合并. .i2(3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi2021/3/1020例例1.1.計算計算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的. . 我們知道多項式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算我們知道多項

11、式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算, ,類似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算. .2021/3/1021)(1biabia）（例例2 2：計算：計算222ibabiabia22ba 思考：思考：在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)內(nèi)，你能將，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？22yx 2.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)：實部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作, zzabi記思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么zz

12、zzzzzzzz12121212,另外不難證明另外不難證明:zz2a2biz z22ab2021/3/102222 ()abi（ ）222babia222()()2abiababi22 22aabib i3 (12 )(34 )( 2)iii （ ）(112 )( 2)20 15iii 222ababi2021/3/10232021/3/10243.3.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母實數(shù)化實數(shù)化).).即即分母實數(shù)化分母實

13、數(shù)化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd2021/3/1025例例4.4.計算計算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實數(shù)化分母實數(shù)化即可運(yùn)算即可運(yùn)算.(一般分子分母同時乘一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)以分母的共軛復(fù)數(shù))2021/3/10262021/3/10271212(1)(2)(

14、3)(4)ZZZZZZ下列命題中正確的是如果是實數(shù)，則 、互為共軛復(fù)數(shù)純虛數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是。兩個純虛數(shù)的差還是純虛數(shù)兩個虛數(shù)的差還是虛數(shù)。(2)(2)1 1、2021/3/10281212121212121212( )0,( )0,( )0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命題中的真命題為：若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。D D2 2、2021/3/1029（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz練練 習(xí)習(xí)（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz2021

15、/3/1030（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i2021/3/1031如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事實上可以把它推廣到事實上可以把它推廣到nZ.）設(shè)設(shè) ,則有則有:i2321 . 01 ; 12_23 事實上事實上, 與與 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為1的立方虛根的立方虛根,而且對于而且對于 ,也也有類似于上面的三個等式有類似于上面的三個等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 4.一些常用的計算結(jié)果一些常用的計算結(jié)果2021/3/1032拓拓 展展求滿足下列條件的復(fù)數(shù)求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 實數(shù)集實數(shù)集R R中正