限位數(shù)理論與運算器設(shè)計

1、限位數(shù)理論與運算器設(shè)計摘 要：用數(shù)碼按照“逢N 進一”規(guī)則書寫的限位數(shù)，最高進位會丟失，這種看似缺點的現(xiàn)象，恰為機器實現(xiàn)算術(shù)運算帶來了方便。數(shù)碼書寫的限位數(shù)不但有序，而且總數(shù)一定，其中和為總數(shù)的兩數(shù)中，較大的數(shù)如果代表較小數(shù)的相反數(shù)，不但能解決用限位數(shù)表示正負數(shù)，而且也能解決用機器實現(xiàn)算術(shù)運算的問題。限位數(shù)是計算機產(chǎn)生和發(fā)展的重要理論之一，運用它來進行計算機設(shè)計，簡單易行。關(guān)鍵詞：限位數(shù)；補碼；反碼；運算器；計算機設(shè)計中圖分類號：TP301，TP302，TP3031 引言無論國內(nèi)還是國外的計算機教材，涉及到運算器設(shè)計，都是用二進制運算與邏輯電路的轉(zhuǎn)換，直接搭建了加減法運算器1，沒有能夠恰當?shù)亟?/p>

2、釋機器數(shù)值運算的道理。多數(shù)教材提到了數(shù)制理論，然而，又與計算機運算器的實際設(shè)計思想相差甚遠，基本上都從實數(shù)理論對運算器的電路設(shè)計“進行解釋，但不能應(yīng)用于器件設(shè)計2”。究竟計算機運算器的設(shè)計是根據(jù)什么理論來完成的？本文作者在2004 年提出了限位數(shù)的概念和方法3，將二進制數(shù)的機器表示問題，提升到任意進制數(shù)，從而可以很好解釋計算機設(shè)計中一些作法的合理性，也可以說明類似“+0 和-0”4概念的錯誤之處。將限位數(shù)理論和方法，用到了計算機軟硬件設(shè)計中5，不僅思路清晰，而且能夠收到簡單易行的效果。2 限位數(shù)數(shù)，一般都由數(shù)碼記錄。手寫數(shù)不考慮數(shù)碼有多少，而計算機卻有位數(shù)的限定。2.1 限位數(shù)的概念用數(shù)碼表示

3、，位數(shù)一定的無符號整數(shù)，叫限位數(shù)。限位數(shù)為了表示位數(shù)多少，無效0 不能省略。例如，001，00001 是不同的限位數(shù)。限位數(shù)按無符號整數(shù)進行運算，叫面值運算。2.2 限位數(shù)特性（1）限位數(shù)的數(shù)量一定。例如，3 位十進制數(shù)只有1000 個，而8 位二進制數(shù)只有256個。一般來說，n 位N 進制數(shù)共有Nn 個?？倲?shù)Nn 叫限數(shù)。（2）最大的限位數(shù)是由最大的數(shù)碼組成的，它比限數(shù)少1。例如，4 位十進制的9999是最大數(shù)，而限數(shù)是10000。顯然限數(shù)是不能用限位數(shù)表示的最小正整數(shù)。（3）限位數(shù)有一一對稱性。限位數(shù)的對稱規(guī)則是“兩數(shù)面值之和為限數(shù)”。例如四位十進制限位數(shù)，001 和999、002和998

4、、499 和501，500 和500 是自身對稱。顯然000 沒有對稱的數(shù)。限位數(shù)的對稱數(shù)也叫補碼。（4）限位數(shù)進行面值算術(shù)運算，加法、乘法，超過位數(shù)限制的進位會丟失，不夠減的-2-運算也不能進行。因而面值運算的變化一般不能用“=”連接。我們規(guī)定，面值運算變化用“”連接。例如，522321562，因為最高位向上進的167 丟失了。（5）假定限位數(shù)某一處有小數(shù)點，小數(shù)點移動，不影響限位數(shù)的特性（1）（4）。3 用限位數(shù)計算限位數(shù)雖然運算范圍有限，但卻是計算機運算所必須依賴的形式。如果不發(fā)生減法運算，限位數(shù)面值運算的結(jié)果，發(fā)生了最高位進位，就說明結(jié)果超出范圍了。如果用限位數(shù)表示正負數(shù)，那么面值運算

5、最高位發(fā)生進位，值可以是正確的。3.1 表示正負數(shù)不用添加正負號，用限位數(shù)就可以表示正負數(shù)。這是利用限位數(shù)的對稱性和正負數(shù)對稱性一致實現(xiàn)的。由于限位數(shù)中，面值較小限位數(shù)的補碼在面值較大的部分，而限位數(shù)的相反數(shù)與限位數(shù)的補碼一一對應(yīng)。因而可以規(guī)定：比對稱點大的數(shù)表示的是其補碼的相反數(shù)，否則表示原數(shù)。例如，3 位十進制限位數(shù)502 表示的值是498 的相反數(shù)-498。由于偶進制的對稱點正好是一個限位數(shù)，并且補碼是自身，為避免二義性，就規(guī)定其為負數(shù)。如此偶進制限位數(shù)表達的正負數(shù)范圍負數(shù)比正數(shù)多一個最小數(shù)。限位數(shù)代表的十進制有符號數(shù)，叫這個限位數(shù)的值。限位數(shù)值相等，用“=”號連接。3.2 限位數(shù)加法可

6、以代替值的加減運算各進制整數(shù)如果可以用限位數(shù)表示，那么它們的加減運算，就可以用限位數(shù)的加法來完成。例如，22-12=22+(-12)，由于2 位限位數(shù)22 可以表示值22，而88 可以表示值-12，所以用22+8810 限位數(shù)的加法，就得到了10 這個限位數(shù)，它表示的值是10，可見結(jié)果正確。3.3 溢出用限位數(shù)面值加法，不一定能夠完全代替十進制數(shù)的加減法運算。例如，十進制的40+20，用限位數(shù)面值加法運算表示，得到的值是-40。因為面值運算的結(jié)果雖然是60，但因為2 位十進制限位數(shù)表示正負數(shù)范圍是-5049，根據(jù)值的規(guī)定，限位數(shù)60 的值是-40，可見是錯誤的。限位數(shù)面值運算得到錯誤結(jié)果，這種

7、情況叫溢出，之所以叫溢出，是因為實際的運算結(jié)果，不在限位數(shù)表值的范圍之內(nèi)。3.4 消除溢出限位數(shù)面值加法運算的錯誤是由于結(jié)果值超出范圍造成的，因而用擴充位數(shù)的方法，一定能在更大的范圍內(nèi)得到正確的表示。要不要擴大限位數(shù)的位數(shù)，關(guān)鍵在于能夠知道是否溢出。如何判斷和消除溢出？可以證明：限位數(shù)加減運算結(jié)果的值符號與第一個數(shù)值符號不同，一定溢出，否則不溢出6。-3-例如，-41-10 用限位數(shù)表示為59+9049。由于49 表示的是正數(shù)，而59 表示的是負數(shù)，限位數(shù)49 與59 的符號不同，則一定溢出。實際上，-41-10 = -59，結(jié)果超出了2 位十進制數(shù)的表數(shù)范圍。擴大限位數(shù)的位數(shù)就可以消除溢出。

8、保值擴充限位數(shù)的位數(shù)，方法是：表示正數(shù)的限位數(shù)前面加數(shù)碼“0”，表示負數(shù)的限位數(shù)前面加最大數(shù)碼。例如，-41-10，用限位數(shù)表示為59+90，保值擴大成3 位是959990949 = -51，它的值為-51，可見不再溢出了?？偠灾?，用限位數(shù)加法運算可以在需要的范圍內(nèi)，替代十進制數(shù)的加減法運算。4 機器求補碼計算機用限位數(shù)加法，解決了數(shù)值的減法運算，其關(guān)鍵是將減法運算變成了減數(shù)的補碼表示。那么如何求一個數(shù)的補碼，就成了必須解決的問題。雖然根據(jù)定義，可以用總數(shù)與限位數(shù)作減法得到一個限位數(shù)的補碼，但這又回到了減法運算，故需另外尋求方法。4.1 反碼與反碼數(shù)用機器求補碼要用到反碼的概念。兩個數(shù)碼之和

9、為最大數(shù)碼，其中一個叫另一個的反碼。一個數(shù)的全部數(shù)碼換成其反碼所成的數(shù)，叫原數(shù)的反碼數(shù)，有時也稱反碼。4.2 用反碼求補碼顯然，兩個反碼數(shù)的和是最大數(shù)碼組成的面值最大的限位數(shù)。而最大數(shù)碼組成的限位數(shù)比總數(shù)小1。不妨設(shè)a，b 分別是限位數(shù)c 的反碼和補碼，那么有b+c = c+a+1；則b = a+1。這就是說，一個限位數(shù)的補碼等于其反碼加一。例如，45108 的反碼是54891，而它的補碼是54891+1=54892。4.3 機器求反碼的電路由于機器直接使用的是二進制數(shù)，二進制的反碼，用一個邏輯非門就可以求出。如果想控制一位數(shù)是否求反，用一個異或門就可以控制，稱之為反向控制器。反向控制器的真值

10、表如表1 所示。表1 反相控制器真值表a（輸入） k（控制） a與k 的異或 注釋0 0 01 0 1原碼0 1 11 1 0反碼由表1 可見，控制端k=0，輸出端得到的是輸入端的原碼；而當k=1 時，輸出端得到的是輸入端的反碼。5 用限位數(shù)設(shè)計運算器的例子二進制全加器的進位d 和本位和的邏輯表達式是：d = ab+bc+ac-4-s = abc+abc+abc+abc用二進制全加器可以解決兩個一位二進制數(shù)的帶下端進位的加法。如果用補碼，就可以完成這兩個數(shù)的減法運算。其中補碼使用“反碼加一”得到。圖1 是典型應(yīng)用限位數(shù)設(shè)計運算器的例子，其中在b 端接入一個反向控制器，并將下進位與控制線連在一起

11、，就得到了一個一位的加減法運算器。當k=1 時，b 端通過反向控制器進入全加器的是b 的反碼b，又由于c 與k 同值，故通過全加器實現(xiàn)了a+b+1，即a 與b的補碼相加。圖1 一位加減法運算器電路圖1 (a)是二進制電路，圖1(b)是十進制電路。其實任何進制的一位加減法運算器的電路都如圖1(b)所示，只是全加器和反相器的設(shè)計要比二進制復(fù)雜一些罷了。圖2 是四位十進制加減法運算器的構(gòu)造，為了監(jiān)控限位數(shù)所表示值的符號，在第一個數(shù)的最高位和輸出的最高位，引出了負數(shù)判斷的符號標志，并通過異或門得到溢出標志，通過溢出標志線來及時處理溢出。圖2 四位十進制加減法運算器十進制加減法器輸入輸出都是4 位二進制

12、數(shù)表示的十進制數(shù)，進位線、控制線和標志線都是一位的二進制變量。設(shè)計中要注意，不論多少進制的加法運算，單位1 都是相同的，進位不會超過1。十進制數(shù)的符號邏輯是“最高位小于5 是正數(shù)或零，否則是負數(shù)”。而十進制反相器是依據(jù)（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）的互反關(guān)系設(shè)計的。十進制全加器的進位“1”是在a 端、b 端和下進位端相加，結(jié)果為10 至19 的情況下得出的。十進制加減法運算器的各器件，也是通過邏輯電路搭建起來的，雖然與二進制相比，復(fù)雜度較高，但作為運算器的部件，體現(xiàn)限位數(shù)的方法是完全一致的。6 計算機的精確計算計算機運算器的位數(shù)是固定的，因而它能夠進行的算術(shù)運算，一

13、般都是限位數(shù)面值運算。-5-由于限位數(shù)表達數(shù)值的范圍有限，似乎一定位數(shù)的計算機不可能進行精確計算。其實，用限位數(shù)運算的方法，可以借助存儲器實現(xiàn)任何精確的計算。6.1 超長數(shù)的加減運算借助于存儲器的運算問題，多半都是軟件的設(shè)計問題。對于加減法運算的超長數(shù)，我們可以用運算器的位長來分段存儲，然后用加減法運算器分段計算。限位數(shù)運算將數(shù)值的減法運算變成了加法。因而，超長數(shù)值計算的問題，都變成了加法運算的問題。限位數(shù)的分段加法，主要是要考慮“帶進位加法”和“不帶進位加法”。為此，要在圖2 的“c”端連入進位控制電路，還要將每次運算的進位，用一個一位寄存器保存起來，以便供帶進位的加法使用。圖3 是帶進位控

14、制的十進制加減法運算器，可以設(shè)計相應(yīng)指令，完成超長數(shù)加減法運算。圖中，k 是取反控制端，yi 是“1”控制端，jw 是帶進位運算控制端，L 是寄存器REG 的前次運算輸入控制端。各控制端變化的真值表如表2 所示。表2 帶進位運算控制真值表說明 運算類型 k（取反控制） yi jw（進位）不帶進位加法 0 0 0超長數(shù)加法帶進位加法 0 0 1不帶進位減法 1 1 0超長數(shù)減法帶進位減法 1 0 1圖3 帶進位控制的加減法運算器超長數(shù)碼記錄的數(shù)，可以按著限位數(shù)分段存儲，最高段位數(shù)不夠，可以按值是正負數(shù)擴充的方法，得到更長的限位數(shù)。超長數(shù)分段運算，最右面一段不帶進位，接下來的各段都需要帶進位進行計

15、算。6.2 小數(shù)的處理用數(shù)碼表示的帶小數(shù)，在一個具體的問題中總能找到最長的小數(shù)位數(shù)，例如n 位小數(shù)。這時可以將所有數(shù)的小數(shù)點右移n 位，將參與運算的數(shù)都變成整數(shù)。這種小數(shù)點右移的結(jié)果，使每個數(shù)都擴大了進制基數(shù)的n 次方倍。使用超長數(shù)的運算方法進行整數(shù)計算，最終將結(jié)果的小數(shù)點再左移n 位，就是帶小數(shù)運算的結(jié)果。例如，3452 - 4.876，右移小數(shù)點3 位，得3452000 - 4876，用4 位限位數(shù)表示，得0345_2000+ 9999_5124，可分成兩次，用4 位限位數(shù)加法運算器計算。不帶進位加法是：-6-20005124 7124運算產(chǎn)生的進位是0（帶著進位，不用考慮溢出）；帶進位的

16、加法運算是：0345+9999+0 0344最終結(jié)果是 3447.124。通過驗證，可以說明結(jié)果的正確性。注意，分段做限位數(shù)加法運算，最高段運算結(jié)束，要判斷是否溢出，如果溢出，可再增加一段限位數(shù)處理。有了圖3 的基本硬件結(jié)構(gòu)，就可以設(shè)計相應(yīng)的指令，然后通過程序設(shè)計，最終完成復(fù)雜的超長限位數(shù)的運算。7 結(jié)論限位數(shù)的概念和方法，不僅為計算機的運算器設(shè)計提供了切實可行的理論支持，而且也充分地體現(xiàn)了，數(shù)學(xué)認識的有限向無限轉(zhuǎn)化的過程。限位數(shù)理論是計算機賴以產(chǎn)生的基礎(chǔ)理論之一。參考文獻1 David Money Harris,Sarah L.Harris數(shù)字設(shè)計和計算機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（英文版）北京，機械工業(yè)出版

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