微分學基本定理

1、實驗二 微分學基本定理實驗的目的1、掌握用matlab驗證微分基本定理的正確性；2、掌握利用matlab對函數的Taylor展開；3、利用函數的Taylor展開式做近似計算。實驗的基本理論與方法1、羅爾(Rolle)定理：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，且在區(qū)間端點的函數值相等，即，那么在內至少有一點，使得函數在該點的導數等于0：。2、拉格朗日(Lagrange)中值定理：如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導，那么在內至少有一點，使等式成立。3、柯西(Cauchy)中值定理：如果函數及在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且在內每一點處均不為零，那么在內至少有一點，使等式成立。4、泰勒(Tay

2、lor)中值定理：若函數在含的某個區(qū)間內具有直到階導數，則對任意，有，其中，(Lagrange余項)，或（Peano余項）。5、常用函數的麥克勞林（Maclaurin）展開式：實驗使用的函數與命令1、求導指令diff；2、繪圖指令plot；3、用符號運算求解一般方程指令： solve(f)：解方程f；solve(f，x )：對變量x解方程f。4、泰勒(Taylor) 展式指令：taylor(f,n)：返回函數f的n-1階麥克勞林（Maclaurin）展開式，其中f為自變量v的符號函數；taylor(f,n,v,a) ：返回函數f在a點的n-1階泰勒(Taylor)展開式，其中f為自變量v的符號

3、函數，n, v,與 a 可以省略即taylor(f)指令， 此時a=0、n默認為6、v為f中所確定的符號變量。 5、符號替換指令：subs(S,old,new) 用新的符號變量或數值變量替換表達式S中舊的符號變量或表示一個變量名的字符串。詳細的應用可見Matlab help。實驗指導例1 驗證拉格朗日(Lagrange)中值定理對函數在區(qū)間上的正確性。解：為解題方便，首先求出函數的導數：syms x;y=4*x3-5*x2+x-2;dy=diff(y)輸出結果：dy=12*x2-10*x+1下面利用dy驗證拉格朗日(Lagrange)中值定理，現取a=0，b=2進行驗證。a=0;ya=4*a3

4、-5*a2+a-2; %求出a=0時函數值b=2;yb=4*b3-5*b2+b-2; %求出b=2時函數值eq=12*x2-10*x+1-(yb-ya)/(b-a)=0;eq=dy-(yb-ya)/(b-a)=0;mm=solve(eq,x);%求符號解mm=subs(mm,a,b,yb,ya,-1,1,yb,ya)%代值,求數值解輸出結果：mm =-0.40411.2374從實驗結果中可以觀察到mm =1.2374，從而驗證拉格朗日(Lagrange)中值定理。例2 設函數，說明有幾個實根，指出他們所在的區(qū)間，并求出所有根。解：由羅爾(Rolle)定理易知有三個根，且分別在區(qū)間內，函數與的圖

5、形如圖2.3所示。M文件程序設計如下x=0.5:0.1:4.5;y1=(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4); hold on圖2.3 函數曲線plot(x,y1);%繪出原函數圖形syms x;y=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4);dy=diff(y);x=0.5:0.1:4.5;y2=subs(dy,x,x);plot(x,y2,-r); %繪出導函數圖形從圖中可以直觀地觀察出函數曲線與y軸相交情形，即可得到方程根的個數。下面求解方程的三個根。由上面的程序可知的導數為 dy dy = (x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-

6、1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)利用已求導數，則求的根M文件程序為eq=(x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)=0;solve(eq,x)%求符號解輸出結果ans = 5/2 5/2+1/2*5(1/2) 5/2-1/2*5(1/2)例3 求下列函數的麥克勞林（Maclaurin）展開式。1) ,；2) ,；3）,。解：利用指令taylor(f,n,v)可以迅速求解：syms xf=Log(1+x);T1=taylor(f,7)f=tan(x);T2=tayl

7、or(f,8)f=1/(5+4*cos(x);T3=taylor(f,8)輸出結果：T1 = x-1/2*x2+1/3*x3-1/4*x4+1/5*x5-1/6*x6 T2 = x+1/3*x3+2/15*x5+17/315*x7 T3 = 1/9+2/81*x2+5/1458*x4+49/131220*x6例4 求下列函數在指定點的泰勒(Taylor)展開式。1),；2) ,；解：syms xf=x4-5*x3+x2-3*x+4;T1=taylor(f,5,1.5)f=x2*Log(x);T2=taylor(f,4,1)輸出結果：T1 = 325/16-81/4*x-8*(x-3/2)2+(

8、x-3/2)3+(x-3/2)4 T2 = x-1+3/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3例5 繪出正弦函數的階麥克勞林（Maclaurin）展開式的圖形，并觀察展開式圖形逼近正弦函數的變化。解：為更好觀察，我們把階麥克勞林（Maclaurin）展開式的圖形與正弦函數的圖形繪到同一窗口。如圖2.4所示，M文件程序如下圖2.4hold onx=0:0.1:3/2*pi;y=sin(x);plot(x,y,-r); %sin(x)圖形for n=1:10 syms x f=sin(x); T=taylor(f,n); x=0:0.1:(2*n)/(n+5)*pi; %系數(2*n)/(n+5)

9、為了控制圖形的顯示區(qū)域 y=subs(T,x,x); %繪出n=1.10的展開式函數圖形 plot(x,y);end從圖2.4中可以看到，當的值逐漸增大，函數的展開式圖形越逼近原函數圖形。實際上，matlab提供了一個圖形用戶界面，用戶可以方便處理Taylor展開式圖形。圖2.5例6 Taylor級數計算器的使用。函數 taylortool格式 taylortool %該命令生成圖形用戶界面，顯示缺省函數f=x*cos(x)在區(qū)間-2*pi，2*pi內的圖形，同時顯示函數f的前N=7項的Taylor多項式級數和(在a=0附近的)圖形通過更改f(x)項可得不同的函數圖形。taylortool(f) %對指定的函數f，用圖形用戶界面顯示出Taylor展開式。（圖2.5）例 taylortool( cos(x)再通過改變相關的參量，可得如圖2.6。圖2.6 函數cos(x)的taylortool界面實驗內容與練習1、驗證柯西(Cauc