文稿分析工數(shù)chap12

1、1A 一般一般, , 任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。1. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念定義定義 對(duì)任意兩實(shí)數(shù)對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y 稱稱 z=x+iy為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。虛數(shù)單位。虛數(shù)單位。其中其中1 i復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實(shí)部的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模0)Im()Re(0)Im()Im()Re()Re(212121 zzzzzzzzz復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)2定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1

2、y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算3z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)相同）即，）即，42121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im(

3、)Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)52 2 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示& 1. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示& 2. 向量表示法向量表示法& 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法& 5. 復(fù)球面復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 61. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示),(yxiyxz一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)易易見見， ),(),(yxPiyxzyxP平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)系系，點(diǎn)點(diǎn)在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標(biāo)標(biāo) 此此時(shí)時(shí)，表表示

4、示的的點(diǎn)點(diǎn)，可可用用平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù).)(Pyxiyxz 平平面面復(fù)復(fù)平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實(shí)實(shí)軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上的點(diǎn) 點(diǎn)的表示：點(diǎn)的表示：A 數(shù)數(shù)z z與點(diǎn)與點(diǎn)z z同意同意7。表示表示可用向量可用向量，點(diǎn)點(diǎn)iyxzoPyxoPyxPiyxz ,)(2. 向量表示法向量表示法A ooPz 0 稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x + iy的的模?；蚧蚪^對(duì)值絕對(duì)值；oxy(z)Prz xy zArg:記作記作輻角輻角 ,|22yxropz 模：模：非零向量非零向量op 與與x軸正向的夾軸正向的夾角角 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x +

5、 iy的的輻角輻角.xyz/)Argtan( 此時(shí)，此時(shí)，8輻角無(wú)窮多：輻角無(wú)窮多：Arg z= = 0+2k ， kZ，把其中滿足把其中滿足 0 的的 0 稱為輻角稱為輻角Argz的的主值主值， 記作記作 0 =argz。A z =0=0時(shí)時(shí)，輻角無(wú)意義輻角無(wú)意義。 0, 00, 0arctan0, 020, 0arctanargyxyxxyyxyxxyz計(jì)算計(jì)算argz(z0) 的公式的公式9oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212:zzzzzzzz 由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點(diǎn)點(diǎn)2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)si

6、n(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 10引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程 （或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方 程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。例例1 用復(fù)數(shù)方程表示用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過兩點(diǎn)）過兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點(diǎn)）中心在點(diǎn)(0, 1), 半徑為半徑為2的圓。的圓。oxy(z)Lz1z2z解解

7、 （1） z=z1+t (z2 z1) （ t 0為半徑的為半徑的 圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0|0,對(duì)任意對(duì)任意z D,均有均有zG=z |z|R，則，則D為為有界區(qū)域有界區(qū)域；否則；否則無(wú)界無(wú)界。 閉區(qū)域閉區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域。 272. 簡(jiǎn)單曲線（或簡(jiǎn)單曲線（或Jardan曲線曲線),)()()()()(baCtytxbtatyytxx 、實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)其其中中表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) at b ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， at b .0)

8、( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線分段光滑曲線。 28定義定義 稱稱沒有重點(diǎn)沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線C為簡(jiǎn)單曲線或?yàn)楹?jiǎn)單曲線或 Jordan曲線曲線;若簡(jiǎn)單曲線若簡(jiǎn)單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱時(shí)，則稱 此曲線此曲線C是簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單閉閉曲線或曲線或Jordan閉閉曲線曲線 。 重點(diǎn)重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對(duì)于對(duì)于t1(a，b), t2 a, b,當(dāng)當(dāng)t1t2時(shí)，若時(shí)，若z(t1)=z(t2)， 稱稱z(t1)為曲線為曲線

9、C的的重點(diǎn)重點(diǎn)。 幾何上，簡(jiǎn)單曲線就是沒有自交的曲線。幾何上，簡(jiǎn)單曲線就是沒有自交的曲線。 z(a)=z(b)簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線 z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線不是簡(jiǎn)單閉曲線 293. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡(jiǎn)單閉曲線任一條簡(jiǎn)單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)，把復(fù) 平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有 界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的的內(nèi)部?jī)?nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為 C的的外部外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。；還有一個(gè)是它們的公共邊界。 z(a)=z(b)

10、C z(a)=z(b) 內(nèi)部?jī)?nèi)部 外部外部 邊界邊界 定義定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B ， 如果屬于如果屬于B的任何簡(jiǎn)單閉曲線的的任何簡(jiǎn)單閉曲線的 內(nèi)部仍屬于內(nèi)部仍屬于B，就稱，就稱 B為為單連通單連通 域域; 非單連通域稱為非單連通域稱為多連通區(qū)域多連通區(qū)域。 30例如例如 |z|0）是單連通的；）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。是多連通的。 單連通域單連通域 單連通域單連通域 多連通域多連通域 多連通域多連通域 315 5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) & 1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射321. 復(fù)變函數(shù)的

11、定義復(fù)變函數(shù)的定義 與實(shí)變函數(shù)定義相類似與實(shí)變函數(shù)定義相類似 定義定義。）記記作作的的函函數(shù)數(shù)（簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)則則稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)法法則則的的集集合合，是是一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))(, zfwzwivuwzGzfiyxzGf A 是多值函數(shù)是多值函數(shù)值，稱值，稱多個(gè)多個(gè)是單值函數(shù);是單值函數(shù);值，稱值，稱一個(gè)一個(gè)若若)( )(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無(wú)特別聲明，所討今后無(wú)特別聲明，所討面面區(qū)區(qū)域域（定定義義域域）的的定定義義集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函數(shù)數(shù)值值集集合合)(*GzzfwwG 33),(),( )()(),(

12、);,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故ivu 相相當(dāng)當(dāng)于于二二個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)）(),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例如例如 xyvyxuzw2222 34oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作： ).() (*)(變換變換平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)(定義集合定義集合函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概

13、念映射的概念 復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義 zw=f(z)w35A 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。 A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量 u，v 與與 x，y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀. . 復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換） 36.所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例1 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解

14、關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射 見圖見圖1-11-2 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射) 即，即，)cossin()sincos( )(sin(cos a aa aa aa aa aa ayxiyxiyxiivuw 見圖見圖2 .( 實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射研究研究a aa azewi 例例2 )( a a a aa a iiiiirereezewrez設(shè)設(shè)解解 a aa aa aa acossinsincosyxvyxu37oxy(z)x、uy、v(z)、(w) ox、uy、v(z)、(w) oa a圖圖1-1 圖圖1-2 圖圖2 uv(w)o38例例3 oxy(z)

15、ouv(w)422 yx2zw ivuwiyxz 令令xyvyxu222 4 u函數(shù)函數(shù)w z2把雙曲線把雙曲線 x2 y2 4映成映成 w 平面平面上怎樣的曲線？上怎樣的曲線？所以映成所以映成 w 平面上的直線平面上的直線 u 439 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射 zw )1 , 0(22 kezzwki 為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支. 定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G* Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或幾個(gè)或幾個(gè)一個(gè)一個(gè)則稱則稱z =

16、 (w)為為w=f(z)的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）. GzzfzGwwfw )(,)(* 當(dāng)當(dāng)反反函函數(shù)數(shù)單單值值時(shí)時(shí)顯顯然然有有)(zfz 一般一般40是是一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的。與與集集合合是是一一一一的的。也也稱稱集集合合映映射射都都是是單單值值的的，則則稱稱函函數(shù)數(shù)逆逆映映射射和和其其反反函函數(shù)數(shù)映映射射當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) GGzfwwzzfw)()()()()()( 416 6 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 & 1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限& 2. 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)& 3.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性421. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzOz

17、zfwzz )()(lim)()(,0, 0),()( 000)000時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限，記記作作當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱有有）（，數(shù)數(shù)若若設(shè)設(shè)（ 定義定義 uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入一旦進(jìn)入 z0 的充分小去心鄰的充分小去心鄰 域時(shí)域時(shí),它的象點(diǎn)它的象點(diǎn)f(z) 就落入就落入A的一個(gè)預(yù)的一個(gè)預(yù) 先給定的先給定的 鄰域中鄰域中 43(2)A是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù). . 2. 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) 復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系： 0),(),(0),(),(00000),(lim),(lim)(li

18、m ),(),()(00000vyxvuyxuivuAzfiyxziyxzyxivyxuzfyxyxyxyxzz 則則設(shè)設(shè)定理定理1 A ( (1)定義中定義中 0zz 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高. . 44 )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim000000000000 zgzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz若若定理定理2 A 以上定理用極限定義證以上定理

19、用極限定義證! ! 453.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義 .)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續(xù)續(xù)上上點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線，則則稱稱且且、若若內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱若若在在區(qū)區(qū)域域處處連連續(xù)續(xù)在在，則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 處連續(xù)處連續(xù)在在設(shè)設(shè)定理定理3 46例例1 證明證明f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸

20、上不連續(xù)。 在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在負(fù)實(shí)軸上在負(fù)實(shí)軸上zzzfzzfxxPyzPzyzPzargarglim)(lim arglim)(lim)0)(0 ,()2(00Im00Im 故故不不連連續(xù)續(xù)。在在原原點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有定定義義， arg)()1(zzf 證明證明 xy(z)ozz)0 ,(xP 47 定理定理4 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為分母不為0) 仍為連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。.0)()()()(10點(diǎn)點(diǎn)外外處處處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除分分母母為為的的；在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)

21、平平面面內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn )()(0)(CzMzfMCzfC 上上連連續(xù)續(xù)在在若若內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線段段為為閉閉曲曲線線或或端端點(diǎn)點(diǎn)包包括括在在設(shè)設(shè)曲曲線線有界性：有界性： 481 1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念& 1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義& 2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念49 1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義如果如果w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。zzfzzfz )()(lim000定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且

22、z0、 z0 +zD，如果極限如果極限 存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，記作記作0)( 0zzdzdwzf zzfzzfz )()(lim00050注注: 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)辄c(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)閦0, 是指在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。是指在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。例例1 討論函數(shù)討論函數(shù)f(z)= z 在復(fù)平面上的可導(dǎo)性。在復(fù)平面上的可導(dǎo)性。zzzzzzzzfzzfCz )()(,有有

23、對(duì)對(duì)解：解：. 11 虛軸趨于零時(shí)，極限為虛軸趨于零時(shí)，極限為沿沿；如果讓；如果讓為為沿實(shí)軸趨于零時(shí)，極限沿實(shí)軸趨于零時(shí)，極限如果讓如果讓zz.)(0復(fù)平面上處處不可導(dǎo)復(fù)平面上處處不可導(dǎo)在在時(shí)上述極限不存在，故時(shí)上述極限不存在，故當(dāng)當(dāng)zzfz 51例例2 問：函數(shù)問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？是否可導(dǎo)？!0, 020, 012lim0 不不時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxxyyixyixzyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解故函數(shù)處處不可導(dǎo)故函數(shù)處處不可導(dǎo)52例例3 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導(dǎo)。處才可導(dǎo)。 時(shí)時(shí)不不時(shí)時(shí)0!)(

24、Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明！不不時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0, 000, 01lim0yxxyyixxz531) 函數(shù)函數(shù)w=f (z)點(diǎn)點(diǎn)z0處可導(dǎo)處可導(dǎo),則函數(shù)則函數(shù)w=f (z)點(diǎn)點(diǎn)z0處連續(xù)，即處連續(xù)，即)()(lim00zfzfzz 事實(shí)上：事實(shí)上：w=f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，即可導(dǎo)，即 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz )(),()()()(000zzzzfzzfzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z) f(z0)=f (z0)z+ (z)z, 兩邊取極限，兩邊取極限，

25、 令令z00)()(lim)()(lim0000 zzzzfzfzfzzz)()(lim00zfzfzz (2) 可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù)54在實(shí)變函數(shù)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處在實(shí)變函數(shù)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處 不可導(dǎo)的例題是很困難的，但在復(fù)變函數(shù)中，不可導(dǎo)的例題是很困難的，但在復(fù)變函數(shù)中， 卻輕而易舉卻輕而易舉。這說明在復(fù)變函數(shù)中可導(dǎo)的要求這說明在復(fù)變函數(shù)中可導(dǎo)的要求 比實(shí)變函數(shù)中要強(qiáng)得多，因而得到的結(jié)論也強(qiáng)比實(shí)變函數(shù)中要強(qiáng)得多，因而得到的結(jié)論也強(qiáng) 得多。得多。2) 但反過來(lái)不成立，即若但反過來(lái)不成立，即若f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z0 處連續(xù)處連續(xù), 則則f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z0 處不一定可

26、導(dǎo)。處不一定可導(dǎo)。如函數(shù)如函數(shù)f(z)= z 在復(fù)平面上處處連續(xù)卻處處在復(fù)平面上處處連續(xù)卻處處 不可導(dǎo)。不可導(dǎo)。55(3)求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然數(shù)是自然數(shù)).證明證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzzw56 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z), ,g (z) 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z

27、)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10處處可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)外外）處處在在復(fù)復(fù)平平面面上上（除除分分母母為為導(dǎo)導(dǎo)；在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 57復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中，其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且(w) 0。)( 1)( wzf )( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例4解解22)1(1)52)(5(

28、2)( zzzzzf58(4) 微分的概念微分的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w = f(z)在在z0可導(dǎo)可導(dǎo), 則有則有, 0)(lim0 zz其中其中 w = f(z0+ z)f(z0) = f (z0) z + ( z) z，因此因此, | ( z) z|是是| z|的高階無(wú)窮小量的高階無(wú)窮小量, 而而 f (z0) z 是是 函數(shù)函數(shù)w=f(z)的改變量的改變量 w的線性部分的線性部分, 稱為函數(shù)稱為函數(shù)w=f(z) 在點(diǎn)在點(diǎn)z0的的微分微分, 記作記作 dw = f (z0) z如果函數(shù)在如果函數(shù)在z0的微分存在的微分存在, 則稱則稱函數(shù)函數(shù)f(z)在在z0可微可微. 特別特別, 當(dāng)當(dāng) f(z)=

29、z 時(shí)時(shí), 由由( )得得dz = z. 于是于是變?yōu)樽優(yōu)?dw=f (z0)dz，即，即|0dd)(0zzzwzf 59由此可見由此可見, 函數(shù)函數(shù)w = f(z) 在在 z0可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在 z0可微是等可微是等 價(jià)的價(jià)的.如果如果 f(z) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微, 則稱則稱 f(z) 在在 D 內(nèi)可微內(nèi)可微.602. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱可導(dǎo)，則稱f (z)在在z0解析解析； 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱f (z) 在在

30、D內(nèi)解析內(nèi)解析，或稱，或稱f (z)是是D內(nèi)的內(nèi)的解析函數(shù)解析函數(shù)(全純函全純函 數(shù)或正則函數(shù)數(shù)或正則函數(shù)）。）。如果如果f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0不解析，不解析， (但在但在z0的任一領(lǐng)域內(nèi)總的任一領(lǐng)域內(nèi)總 有有f (z)的解析點(diǎn)的解析點(diǎn)) 就稱就稱z0是是f (z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。 A (1)w=f(z)在在D內(nèi)解析內(nèi)解析 在在D內(nèi)可導(dǎo)。內(nèi)可導(dǎo)。 (2)函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。解析。 61例如例如 w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)；上的解析函數(shù)；定理定理 設(shè)設(shè)w=f (z)及及w=g(z)是區(qū)

31、域是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，內(nèi)的解析函數(shù)，則則f (z)g(z)，f (z)g(z)及及f (z) g(z) (g (z)0時(shí)時(shí))均是均是D內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。 w=zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例見例3)。 w=1/z，在除去，在除去z=0點(diǎn)外的復(fù)平面內(nèi)處處解析，點(diǎn)外的復(fù)平面內(nèi)處處解析， z=0為奇點(diǎn)為奇點(diǎn)62定理定理 設(shè)設(shè)w=f (h)在在h 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域G內(nèi)解析，內(nèi)解析， h=g(z)在在z平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值集合的函數(shù)值集合 G，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) w=f g(z)在在D內(nèi)處處解析。內(nèi)處處解析。

32、 .0)()()()(10解解析析函函數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)外外）的的是是復(fù)復(fù)平平面面上上（除除分分母母為為函函數(shù)數(shù)；是是整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上的的解解析析由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 632 2 函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件& 1.函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件& 2. 舉例舉例64 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù)w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定義在定義域域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f (z)在在D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù)u (x , y)及及v (x , y)的可微性，探求的可微性，探求 函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可微性

33、，從而導(dǎo)出判別函數(shù)解析的的可微性，從而導(dǎo)出判別函數(shù)解析的 一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。 問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？ 651. 函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)iyxzyxivyxuzfw ),(),()( zzfzzf)()(又又66xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(

34、0000)0(/ yzzz實(shí)實(shí)軸軸的的方方式式若若沿沿xvixu 67yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0(/ xzzz虛軸的方式虛軸的方式若沿若沿yuiyvyvyui 1 68yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( A 記憶記憶 uuxyvvxy 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱C-R方程方程).uvuvxyyx 69定理定理1 設(shè)設(shè)f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)有定

35、義，則內(nèi)有定義，則 f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y)和和v(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y )可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程上述條件滿足時(shí)上述條件滿足時(shí),有有yyxxiuvivuzf )( uvuvxyyx 70證明證明（由由f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函數(shù)函數(shù) w =f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z可導(dǎo)，即可導(dǎo)，即 )( )()()(zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z) f(z)

36、=f (z)z+ (z)z (1), 且且 zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 71u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy) =(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可寫為）式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 72所以所以u(píng)(x, y)，v(x, y

37、)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)處可微處可微. （由函數(shù)（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）處可導(dǎo)）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)點(diǎn)可微，即：點(diǎn)可微，即： yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4.,1( ,0lim00，其其中中 kkyx 73yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyiz

38、xixvixuzzfzzf )()()()(423174推論推論 設(shè)設(shè)f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)有定義，則內(nèi)有定義，則 f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy D處可導(dǎo)的充分條件是處可導(dǎo)的充分條件是u(x, y) 和和v(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y )的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足C-R 方程。方程。 75定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要條件內(nèi)解析充要條件 是是u(x, y)和和v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程uvuvxyyx A 定理提供了判別函數(shù)解析性的方法及如何

39、定理提供了判別函數(shù)解析性的方法及如何求求f (z)的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值. .使用時(shí)使用時(shí): i)判別判別u(x, y)，v (x, y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R條件條件.iii)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)： yvyuixvixuzf 1)( 762. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析： 解解 (1) 設(shè)設(shè)z =x+iy w =x-iy u=x, v = -y 則則 析析。在在全全平平面面不不可可導(dǎo)導(dǎo)，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 100177解解

40、 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsiny 在全平面可導(dǎo)，解析。在全平面可導(dǎo)，解析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfxvyuyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 78僅在點(diǎn)僅在點(diǎn)z = 0處滿足處滿足C-R條件，故條件，故 。點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02zw 解解 (3) 設(shè)設(shè)z =x+iy w =x2+y2 u= x2+y2 , v =0 則則 0022 yvxvyyuxxu79DzCzfDzzf )(0)( 若若例

41、例2 復(fù)常數(shù)）復(fù)常數(shù)）()(00)( 2121CiCCzfCvCuvuvuiuvivuzfyyxxyyxx 證明證明 80例例3 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)，是一解析函數(shù)， 且且f (z)0，那么曲線族，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里必互相正交，這里C1 、 C2常數(shù)常數(shù). 01)( yvyuizf0不不全全為為與與yvyu 那么在曲線的交點(diǎn)處，那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、 vy 均不為零時(shí)，均不為零時(shí)， 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的中

42、任一條曲線的(切線切線)斜率分別為斜率分別為 yxuuk/1 yxvvk/2 解解 利用利用C-R方程方程 ux= vy, uy= vx 有有k1k2=( ux/uy)( vx/vy)= 1，即：兩族曲線互相正交，即：兩族曲線互相正交. 81ii) uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，則，則k1=， k2=0（由（由C R方程）方程）即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另 一條是鉛直的一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾弧Ｋ鼈內(nèi)曰ハ嗾弧?23 3 初等函數(shù)初等函數(shù)& 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)& 2. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)& 3. 乘冪

43、與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù)& 4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)831. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) kyeeeezzxz2ArgRe它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：0)1( zez)0,( xzee事實(shí)上事實(shí)上xzeezfxz )(,)2(時(shí)時(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))0( yzzzeeezf )()()3(在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析且且)2( 1 . 2 . 22(的例的例見見)1()sin(cos)(:,yiyeeezfziyxzxiyxz 的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)如如下下定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)定義定義84右邊右邊左邊左邊設(shè)設(shè)事實(shí)上事實(shí)上 2121212121)sin(

44、)cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos )2 , 1(,2121212121212211zzxxxxxxzzjjjeyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyeeejiyxz2121:)4(zzzzeee 加法定理加法定理zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 85:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22整整數(shù)數(shù)為為事事實(shí)實(shí)上上 kikTzfekikeeeeikzfzzikzi

45、kz A (1)這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。, 1, 02)2(2121 kikzzeezz862. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即， Lnzwzfwzzew 記作記作稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)把滿足把滿足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義對(duì)數(shù)函數(shù)的定義87.2,)0(的的一一個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)倍倍差差兩

46、兩個(gè)個(gè)相相異異值值相相其其中中即即虛虛部部無(wú)無(wú)窮窮多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虛虛部部是是的的模模的的實(shí)實(shí)自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)；它它實(shí)實(shí)部部是是它它的的的的對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)仍仍為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這說說明明一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) zzzz的的無(wú)無(wú)窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值稱稱為為的的一一單單值值函函數(shù)數(shù)為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)記記作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故88ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù).負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù).值,值,正實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)正實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)在復(fù)數(shù)域中,在復(fù)數(shù)域中,Zki

47、kaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值當(dāng)當(dāng)例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值當(dāng)當(dāng)特別特別A (2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（見對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（見P41) 89(3) 解析性解析性 ,arglnln:zizz 主主值值;ln續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上都都不不而而z.ln,在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外z0)( wwweeezzedwdzzdzdww111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點(diǎn)點(diǎn)及及負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外

48、外是是解解zw 90zLnzLnz1)( 且且負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個(gè)個(gè)分分支支除除了了原原點(diǎn)點(diǎn)和和3. 乘冪與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù))(ba)(bzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪., 0,為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)實(shí)變數(shù)情形實(shí)變數(shù)情形ba A kiaLna2ln 多值多值一般為多值一般為多值)2(ln kiabbLnabeea 91.,它是單值的它是單值的為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 為整數(shù)為整數(shù)當(dāng)當(dāng)b)0,( qqpqpb且且

49、為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)當(dāng)當(dāng))2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp ab 具有具有q 個(gè)值個(gè)值 具有具有一般而論一般而論ba,.無(wú)窮多的值無(wú)窮多的值92 (2)當(dāng)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù)正整數(shù))時(shí)時(shí)，乘冪乘冪ab與與a 的的 n次根意義一致。次根意義一致。A (1)當(dāng)當(dāng)b=n(正整數(shù)正整數(shù))時(shí)時(shí)，乘冪乘冪ab與與a 的的n次冪次冪 意義一致。意義一致。LnaLnaLnaeee LnaLnaLnanLnaneea 個(gè)個(gè)naaaa nkannnniaikaiaLnaeeeea 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkainkaan )12 , 1 , 0( nkna 93ikikLneee22)21(ln21221 )2()2(ln22 kikiiiiLniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k)22sin()22cos( kik)2,1,0( k解解 .1322的的值值和和、求求iii例例1 94q 冪函數(shù)冪函數(shù)zb 當(dāng)當(dāng)b = n (整數(shù)整數(shù)) w=z n 在整個(gè)復(fù)平面上