隨機(jī)過程課件：第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過程

1、1第六章：平穩(wěn)隨機(jī)過程第六章：平穩(wěn)隨機(jī)過程v嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義v寬平穩(wěn)過程的定義寬平穩(wěn)過程的定義v平穩(wěn)過程的數(shù)字特征平穩(wěn)過程的數(shù)字特征v平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)v時(shí)間平均和集合平均的概念時(shí)間平均和集合平均的概念v平穩(wěn)過程遍歷性定義平穩(wěn)過程遍歷性定義v遍歷性判定定理遍歷性判定定理v遍歷性應(yīng)用舉例遍歷性應(yīng)用舉例2嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義設(shè)設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，如果對(duì)任意常數(shù)是隨機(jī)過程，如果對(duì)任意常數(shù)和正整數(shù)和正整數(shù)n n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)與與(X(t1+),X(t2

2、+), ,X(tn+)有相有相同的聯(lián)合分布，則稱同的聯(lián)合分布，則稱X(t),tT為嚴(yán)平穩(wěn)過程或俠義平為嚴(yán)平穩(wěn)過程或俠義平穩(wěn)過程。穩(wěn)過程。嚴(yán)平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征是由有限維分布函數(shù)決定的，在實(shí)際應(yīng)用中難以確定。嚴(yán)平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征是由有限維分布函數(shù)決定的，在實(shí)際應(yīng)用中難以確定。3寬平穩(wěn)過程的定義寬平穩(wěn)過程的定義設(shè)設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，如果是隨機(jī)過程，如果1、X(t),tT是二階矩過程；是二階矩過程；2、對(duì)任意、對(duì)任意tT，mX(t)=EX(t)=常數(shù)；常數(shù)；3、對(duì)任意、對(duì)任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t) 。則稱則稱X(t),tT為廣義平穩(wěn)過程，簡(jiǎn)稱為寬平穩(wěn)為廣

3、義平穩(wěn)過程，簡(jiǎn)稱為寬平穩(wěn)過程過程4對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)（以實(shí)過程為例）的一維分布（以實(shí)過程為例）的一維分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令，若令=-t1，則，則F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，其在任何時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)規(guī)因此嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，其在任何時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)規(guī)律相等。律相等。1( )( )XXmtxfx dxm222( )( )XxX tE Xtm若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則其均值、均方值和方差均為常數(shù)。為嚴(yán)平穩(wěn)，則其均值、均方值和方差均為常數(shù)。5對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程

4、對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的二維分布的二維分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令若令=-t1，則，則F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令t2-t1= ，則，則F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; )();,(),;,()(),(),(21212212121221XXRdxdxxxfxxdxdxttxxfxxtXtXEttR嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程+二階矩過程二階矩過程=寬平穩(wěn)；反之不成立寬平穩(wěn)；反之不成立。6例題例題1：設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量，試分別考慮是隨機(jī)變量，試分別考慮X(t)=Y和和X(t)=tY的平穩(wěn)

5、性。的平穩(wěn)性。例題例題2：設(shè)設(shè)Xn，n=0, 1, 2, 是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且EXn=0,DXn=2。試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。試討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性。例題例題3：設(shè)設(shè)Xn，n= 1, 2, 是相互獨(dú)立且都服從是相互獨(dú)立且都服從N(0,1)的隨機(jī)變量序列，的隨機(jī)變量序列，Yn，n= 1, 2, 是相互獨(dú)立且都服從是相互獨(dú)立且都服從 上的均勻分布的隨機(jī)上的均勻分布的隨機(jī)變量序列，且變量序列，且Xn 與與Yn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， n= 1, 2, 。令。令(3, 3)nnnnnXZY，若 為奇數(shù)，若 為偶數(shù)證明證明Zn，n= 1, 2, 是寬平穩(wěn)過程，但不是

6、嚴(yán)平穩(wěn)過程。是寬平穩(wěn)過程，但不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。7聯(lián)合平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)過程)()(tYtXE設(shè)設(shè)X(t),tT和和Y(t),tT是兩個(gè)平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)是兩個(gè)平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù) 和和 僅與僅與有關(guān)，而與有關(guān)，而與t t無關(guān)，則稱無關(guān)，則稱X(tX(t) )和和Y(tY(t) )是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。 )()(tXtYE當(dāng)兩個(gè)平穩(wěn)過程當(dāng)兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)，Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，則它們的和也是平穩(wěn)過程。是聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，則它們的和也是平穩(wěn)過程。84、RX()是非負(fù)定的，即對(duì)任意實(shí)數(shù)是非負(fù)定的，即對(duì)任意實(shí)數(shù)t1,t2, ,tn及復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)a1,a2, ,an，有，有平

7、穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)0)0(XR)()(XXRR)0(| )(|XXRRnjijijiXaattR1,0),(XXXmmR)(lim|設(shè)設(shè)x(t),tT為平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì)：為平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì)：5、若、若X(t)是周期為是周期為T的周期函數(shù)，即的周期函數(shù)，即X(t)=X(t+T)，則，則RX()=RX( +T)；6、若、若X(t)是不含周期分量的非周期過程，當(dāng)是不含周期分量的非周期過程，當(dāng)| |時(shí)，時(shí)，X(t)與與X(t+ ) 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則1、2、3、9聯(lián)合平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2) ()(

8、), ( ), ( ),()( ),XYYXXYYXRRX t Y tRR當(dāng)為實(shí)聯(lián)合平穩(wěn)過程時(shí) 有 注意無對(duì)偶性.221) ( )(0)(0),( )(0)(0);XYXYYXXYRRRRRR10收斂性概念收斂性概念對(duì)于概率空間對(duì)于概率空間(,F,P)上的隨機(jī)序列上的隨機(jī)序列Xn每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果e都對(duì)應(yīng)一序列，如都對(duì)應(yīng)一序列，如果該序列對(duì)每個(gè)果該序列對(duì)每個(gè)e都收斂，則稱隨機(jī)序列都收斂，則稱隨機(jī)序列Xn處處收斂，即滿足處處收斂，即滿足XXnnlim稱二階矩隨機(jī)序列稱二階矩隨機(jī)序列Xn(e)以概率以概率1收斂于二階矩隨機(jī)變量收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e)，即，即1)()(lim:eXeXeP

9、nn或稱或稱Xn(e)幾乎處處收斂于幾乎處處收斂于X(e)，及作，及作XXean.稱二階矩隨機(jī)序列稱二階矩隨機(jī)序列Xn(e)依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e)，若對(duì)于任給，若對(duì)于任給0，有，有l(wèi)im|( ) |0nnPXeXe 記作記作XXPn11設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn和二階矩隨機(jī)變量和二階矩隨機(jī)變量X，若有，若有0|lim2XXEnn成立，則稱成立，則稱Xn均方收斂于均方收斂于X，記作，記作.n m snnXX XXl.i.m 稱二階矩隨機(jī)序列稱二階矩隨機(jī)序列Xn依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量X，若，若Xn相應(yīng)的分相應(yīng)的分布函

10、數(shù)列布函數(shù)列Fn(x)，在，在X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有)()(limxFxFnn記作記作XXdna.em.sPd不收斂不收斂26.2 :lim0nnmn,mXXE XX定理二階矩隨機(jī)序列收斂于二階矩隨機(jī)變量 的充要條件為12定理定理6.3設(shè)設(shè)Xn,Yn,Zn都是二階矩隨機(jī)序列，都是二階矩隨機(jī)序列，U為二階矩隨機(jī)變量，為二階矩隨機(jī)變量，Cn為常數(shù)序?yàn)槌?shù)序列，列，a,b,c為常數(shù)，令為常數(shù)，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 有有 ccnnlim1. .limnnnl i mccc、2. .l i m UU、3. ()nl

11、im c UcU、4. . ()nnl i m aXbYaXbY、5 lim . .nnnE XE XE l i mX、,6 lim( .)( .)n mnmn mE X YE XYE limXlimY、13定理定理6.4設(shè)設(shè)Xn為二階矩隨機(jī)序列，則為二階矩隨機(jī)序列，則Xn均方收斂的充要條件為下列極限存在：均方收斂的充要條件為下列極限存在：lim,mnmnXXE定義定義6.6設(shè)有二階矩過程設(shè)有二階矩過程X(t),tT，若對(duì)每一個(gè)，若對(duì)每一個(gè)tT，有，有0|)()(|lim20tXhtXEh則稱則稱X(t)在在t點(diǎn)均方連續(xù)，記作點(diǎn)均方連續(xù)，記作若若T中一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則稱中一切點(diǎn)都均方連續(xù)，則

12、稱Xt在在T上均方連續(xù)。上均方連續(xù)。)()(. .0tXhtXmilh定理定理6.5二階矩過程二階矩過程X(t)，tT在在t點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在點(diǎn)點(diǎn)(t,t)處連續(xù)。處連續(xù)。14均方導(dǎo)數(shù)均方導(dǎo)數(shù)定義定義6.7設(shè)設(shè)X(t),tT為二階矩過程，若存在另一個(gè)隨機(jī)過程為二階矩過程，若存在另一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，滿足，滿足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh則稱則稱X(t)在在t點(diǎn)均方可微，記作點(diǎn)均方可微，記作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(015二階矩過程的相關(guān)函數(shù)二階矩過程的相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)

13、的廣義二階導(dǎo)數(shù)記作的廣義二階導(dǎo)數(shù)記作122121212121212(,)(,)(,)( ,)= lim( ,)XXXXhXhRttttRththRthtRt thh hRt th h 定理定理6.6二階矩過程二階矩過程X(t),tT在在t點(diǎn)均方可微的充要條件微相關(guān)函數(shù)點(diǎn)均方可微的充要條件微相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(diǎn)在點(diǎn)(t,t)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。推論：數(shù)學(xué)期望運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算可以交換順序。推論：數(shù)學(xué)期望運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算可以交換順序。16均方積分均方積分定義定義6.8設(shè)設(shè)X(t),tT為二階矩過程，為二階矩過程，f(t)為普通函數(shù)，其中為普通函數(shù)，其中T=a,b，設(shè)，設(shè)T的

14、任一的任一劃分為劃分為 a=t0t1tn=b，記，記 做和式做和式如果當(dāng)如果當(dāng)n n0時(shí)，時(shí)，Sn均方收斂于均方收斂于S，即，即0|lim20SSEnn則稱則稱f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積，記作上均方可積，記作badttXtfS)()(11max(iini ntt 111( )( )(), nniiiiiiiiSf t X tttttt定理定理6.7f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積的充要條件為上均方可積的充要條件為 babaXdtdtttRtftf212121),()()(存在。二階矩過程存在。二階矩過程X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積的充要條件為上均方可積的充

15、要條件為RX(t1,t2)在在a,ba,b上可積。上可積。18定理定理6.8設(shè)設(shè)f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可積，則有上均方可積，則有 1( )( )( ) ( )bbaaEf t X t dtf t E X t dt、babadttXEdttXE)()(1112221212122( )( )( )( )( )( )( ,)bbbbXaaaaEf tX t dtf tX tdtf tf tRt tdt dt 、 babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(|定理定理6.9設(shè)設(shè)X(t),tT為二階矩過程在區(qū)間為二階矩過程在區(qū)間a,b上均方連續(xù)，則上均方連續(xù)，則在均方意

16、義下存在，且隨機(jī)過程在均方意義下存在，且隨機(jī)過程Y(t), tT在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可微，且有上均方可微，且有Y(t)=X(t)。( )( )taY tXd19( )( ) ( )( )( ).( )( )( ).tabaX tX tX tX aX t dtX bX aX t dt推論：設(shè)均方可微，且均方連續(xù)，則及 ( ),( ),( , )XX t tTX t tTBs t例6.7：設(shè)是實(shí)均方可微過程，求其導(dǎo)數(shù)過程的協(xié)方差函數(shù)20時(shí)間平均和集合平均概念時(shí)間平均和集合平均概念)(tXEmX1( )lim( )2TTTX tX t dtT集合平均集合平均mX是隨機(jī)過程的均值，即任意時(shí)刻的過程

17、取值的統(tǒng)計(jì)平均。是隨機(jī)過程的均值，即任意時(shí)刻的過程取值的統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均時(shí)間平均是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)按不同時(shí)刻取平均，它隨樣本不同而不同，是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)按不同時(shí)刻取平均，它隨樣本不同而不同，是個(gè)隨機(jī)變量。是個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于一個(gè)確定的樣本對(duì)于一個(gè)確定的樣本1( )lim( )2TTTX tX t dtT常數(shù)時(shí)間平均時(shí)間平均集合平均集合平均21定義定義6.10設(shè)設(shè)X(t),-t是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若以概率以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若以概率以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。成立，

18、則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。1( )( )2TXTTXtlimXtd tmT 1( )()( )()( )2TXTTXtXtlimXtXtdtRT 定義定義6.11如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t),tT的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。22定理定理6.10設(shè)設(shè)X(t),-t是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為充要條件為0|)()2|1 (21. .222TTXXTdmRTTmil例題例題6.9：隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)=acos(wt+),a,w為常數(shù)，為常數(shù)，為為(0,2(0,2) )上均勻分布的隨機(jī)上均勻分布的隨機(jī)變量，試分析變量，試分析X(tX(t) )遍歷性遍歷性。 1,0XXX tPX tmEX tmDX tX t 思路的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的定義為： 后面只要計(jì)算的均值與:方差就可以