河北省唐山市開灤二中2020-2021學年高二數(shù)學上學期期中試題【含解析】(1)

1、河北省唐山市開灤二中2020-2021學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 直線的傾斜角為（ ）A. 150B. 120C. 60D. 30【答案】C【解析】試題分析：由直線方程可知，斜率，故傾斜角為考點：直線的傾斜角2. 如圖，在長方體中，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求異面直線與所成角的正弦值，先要求出異面直線所成角，題中，故異面直線與所成角即為與的所成角，然后連接,在中求解【詳解】解：在長方體中，則，故異面直線與

2、所成角即為與的所成角，即與的所成角為或其補角在中，故選A【點睛】異面直線所成角問題，要借助平行關(guān)系，找出具體角，然后在三角形中，求出角的大小3. 已知圓圓心是直線與軸的交點，且圓與直線相切，則圓的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圓C的圓心是直線xy+1=0與x軸的交點，令xy+1=0中y=0，得到x=1，即圓心(1,0)，圓C與直線x+y+3=0相切，圓心C到直線x+y+3=0的距離d=r，即，則圓C方程(x+1)2+y2=2.本題選擇A選項.點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理如：圓心在過切點且與切線垂直的直線上

3、；圓心在任意弦的中垂線上；兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式4. 已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）A. B C. D. 【答案】D【解析】【詳解】若，m，m，則m，n可能平行也可能異面，故B錯誤；若m，mn，則n或n，故C錯誤；若m，n，m，n，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故A錯誤；若mn，n，根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得m，故D正確.5. 已知點，若點

4、是圓上的動點，則面積的最大值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，求得的直線方程為，取得圓心C到直線的距離為，得到點P到直線的最遠距離為，即可求得答案.【詳解】由題意知，點，則的直線方程為，又由圓的圓心坐標，半徑為，所以圓心C到直線的距離為，所以點P到直線的最遠距離為，所以的最大面積為，故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應用問題，其中解答中合理利用直線與圓的位置關(guān)系，求得圓上的點到直線的最遠距離是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 已知梯形，為中點，將沿折起，使點移至點，若平面平面，則（ ）A. B. C. D

5、. 【答案】D【解析】【分析】先利用題中條件得到， 為邊長均為1的全等的正三角形，再根據(jù)平面平面，得出為等腰直角三角形，即可求出.【詳解】解：由，可知：， 為邊長均為1的全等的正三角形，如圖所示：取中點，連， ，又平面平面，平面平面，平面，又平面，即為等腰直角三角形，.故選：D.7. 已知圓，從點觀察點，要使視線不被圓擋住，則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)過點與圓相切的直線為，則圓心到直線的距離解得，可得切線方程為，由點向圓引2條切線，只要點在切線之外，那么就不會被遮擋，即大于點在x 軸上方的縱坐標或者小于點在x 軸上方的縱坐標即可.【詳解】設(shè)過點與圓

6、相切的直線為，則圓心到直線的距離為，解得，切線方程為，由點向圓引2條切線，只要點在切線之外，那么就不會被遮擋，在的直線上，在中，取，得，從點觀察點，要使視線不被圓擋住，需或，的取值范圍是，故選：D. 【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點是求過A點且與圓相切時的直線方程，考查分析問題解決問題的能力.8. 在正方體中，下列幾種說法不正確的是A. B. B1C與BD所成的角為60C. 二面角的平面角為D. 與平面ABCD所成的角為【答案】D【解析】【分析】在正方體中，利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，連接AC，則ACBD，A1C1AC，A1C1BD，故A正確；對于B，B1CD，

7、即B1C與BD所成的角為DB，連接DB為等邊三角形，B1C與BD所成的角為60，故B正確；對于C，BC平面A1ABB1，A1B平面A1ABB1，BCA1B，ABBC，平面A1BC平面BCDBC，A1B平面A1BC，AB平面BCD，ABA1是二面角A1BCD的平面角，A1AB是等腰直角三角形，ABA145，故C正確；對于D，C1C平面ABCD，AC1平面ABCDA，C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，ACC1C，C1AC45，故D錯誤故選D【點睛】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.在每小題給

8、出的四個選項中，有兩項及以上是符合題目要求的.把答案填涂在答題卡上）9. 已知直角三角形的頂點，且，點在直線上，則點的坐標可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意可知，即，由斜率公式，解得或，可得答案.【詳解】點在直線上，可設(shè)，根據(jù)題意可知，且直線的斜率都存在，故有，即，解得或，故點的坐標為或.故選：AC.10. 如圖，在三棱錐中，且是斜邊的等腰直角三角形，給出下列結(jié)論中，正確的是（ ）A. B. 平面C. 平面平面D. 點到平面的距離為【答案】ABC【解析】【分析】證明平面，所以，故選項正確；由于平面，所以平面平面，所以選項正確；證明平面，故選項正確；取的

9、中點，連接，則的長度即為點到平面的距離，而，故選項錯誤.【詳解】由于，平面,，所以平面，所以，故選項正確；前面已經(jīng)證明平面，平面，所以平面平面，所以選項正確；因為，平面，所以平面，故選項正確；取的中點，連接，則，因為平面,故平面，則的長度即為點到平面的距離，而，故選項錯誤.故選：ABC【點睛】方法點睛：求點到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）等體積法（利用體積相等求解）；（3）向量法.要根據(jù)已知條件靈活選擇.11. 圓與圓的公共弦長為，則的值可能為（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】由兩圓方程作差，得到兩圓公共弦所在的直線方程，再根據(jù)兩圓的公共弦長

10、為，由圓心到公共弦的距離建立方程求解.【詳解】由與作差，得兩圓公共弦所在的直線方程為，兩圓的公共弦長為，而圓的半徑為2，則其圓心到直線的距離為，所以，解得或，故選：CD.12. 如圖，在直角三棱柱中，分別是的中點，則下列說法正確的是（ ）A. 直線平面B. 的面積為C. 四棱錐的表面積為D. 四棱錐的表面積為【答案】AD【解析】【分析】利用面面平行的判定定理證出平面平面；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷A；連接，由條件，知，利用三角形的面積公式可判斷B；根據(jù)幾何體的表面積的求法即可求解.【詳解】如圖，取中點，連結(jié)，因為在直三棱柱中，分別是的中點，所以，又，平面，平面，所以平面，平面， 又所以平面平

11、面，因為平面，所以平面，故A正確；連接，由條件，知，所以，所以，故B不正確；四棱錐的表面積，故C不正確，D正確.故選：AD三、填空題（每小題5分，共4小題20分，將答案填在答題紙上）13. 已知 的頂點 ，斜邊 所在直線的方程為 ，則邊上的高所在直線的方程為_【答案】【解析】由題意可得，直線的斜率，則所求直線方程的斜率，直線的點斜式方程為：，整理為一般式即：.14. 如圖，分別是三棱錐的棱的中點，是三角形的周長為_，異面直線與所成的角為_.【答案】 (1). 15 (2). 60【解析】【分析】（1）利用三角形中位形中位線定理進行求解即可；（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合余弦定理進行求解即

12、可.【詳解】（1）連接，由中位線定理可得：且，則三角形的周長為15；（2）是異面直線所成的角的補角，在 中由余弦定理可得：，即異面直線所成的角為60.故答案為：15；6015. 已知點，點，點為直線上一動點，則的最小值為_.【答案】3【解析】【分析】先求出點P關(guān)于直線的對稱點P,在連接PQ,交直線于點M，即為所求位置，可求的最小值【詳解】設(shè)點P（1，3）關(guān)于直線得對稱點P(a,b),則，解的：a=2,b=2. 則的最小值為|PQ|=2+1=3故答案為：3【點睛】考查點關(guān)于線的對稱點求法及學生計算能力16. 已知三棱錐中，面，且，則該三棱錐的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，證

13、出BC平面SAC，可得BCSC，得RtBSC的中線OCSB，同理得到OASB，因此O是三棱錐SABC的外接球心利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出SC，得外接球半徑R，從而得到所求外接球的表面積【詳解】取SB的中點O，連結(jié)OA、OCSA平面ABC，AB平面ABC，SAAB，可得RtASB中，中線OASB由，可知：ACBC，又SABC， SA、AB是平面SAB內(nèi)的相交直線BC平面SAC，可得BCSC因此RtBSC中，中線OCSBO是三棱錐SABC的外接球心，RtSBA中，AB，SA6SB2，可得外接球半徑RSB因此，外接球的體積Sr2故答案為【點睛】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直

14、的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，共6小題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17. 知兩條直線l1：（3+m）x+4y53m，l2：2x+（5+m）y8，求當m為何值時，l1與l2：（1）垂直；（2）平行，并求出兩平行線間的距離【答案】(1) m (2) m7，距離為【解析】【分析】（1）由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求出m的值（2）由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求出m的值，再利用兩平行線間的距離公式，求出結(jié)果【詳解】（1）兩條直線l1：（3+m）

15、x+4y53m，l2：2x+（5+m）y8，當（3+m ）2+4（5+m）0時，即6m+260時，l1與l2垂直，即m時，l1與l2垂直（2）當 時，l1與l2平行，即 m7時，l1與l2平行，此時，兩條直線l1：2x+2y13，l2：2x+2y8，此時，兩平行線間的距離為 【點睛】本題主要考查兩條直線垂直、平行的性質(zhì)，兩條平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題18. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面.（1）求證：；（2）若_，求點到平面的距離.在；二面角的大小為60；，這三個條件中，任選一個，補充在問題中，并加以解答.【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面

16、垂直的性質(zhì)定理，可得線線垂直，再根據(jù)勾股定理逆定理又可知線線垂直，最后結(jié)合線面垂直的判定定理可得出平面，則可證明.（2）要求點到平面的距離，可通過等體積法求出該距離通過二面角確定平面角，再解三角形，算出的長，再用求出點到平面的距離.通過體積大小，可求出的長，且，則可根據(jù)三棱錐的體積公式求出點到平面.【詳解】（1）證明：底面為平行四邊形，在中，為直角三角形，又平面，平面，平面，（2）由（1）可得，平面，平面，平面，選條件，設(shè)點到平面的距離為，則由可得，解得，即點到平面的距離為.選條件二面角的大小為60，為二面角的平面角，設(shè)點到平面的距離為，則由可得，解得：，點到平面的距離為.選條件，則，設(shè)點到平

17、面的距離為，解得，點到平面的距離為.【點睛】（1）求證異面直線垂直，主要是應用線面垂直的性質(zhì)定理.（2）通過等體積法來求點到面的距離，可減少直接方法的作圖、求證的步驟，但要注意等體積法一般應用于三棱錐.19. 已知圓經(jīng)過點，和直線相切，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先設(shè)圓心的坐標為，根據(jù)題中條件列出等量關(guān)系求解，得出，求出半徑，進而可求出結(jié)果；（2）討論直線的斜率不存在，和直線的斜率存在兩種情況，根據(jù)弦長，列出等式求解，即可得出直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓心的坐標為，因為圓經(jīng)過點，

18、和直線相切，則，化簡得，解得，半徑，圓的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為，滿足條件；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由題意得，解得，直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或.【點睛】思路點睛：根據(jù)圓的弦長求弦所在直線方程的方法有：（1）幾何法：根據(jù)圓的性質(zhì)（圓心到直線距離的平方與弦長一半的平方和等于半徑的平方）列出等式，即可求解；（2）代數(shù)法：設(shè)出所求直線方程，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)弦長公式列出等式求解，即可得出結(jié)果.20. 在三棱柱中，側(cè)面底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證

19、明見解析；（3）.【解析】【詳解】【分析】分析：（1）連接，設(shè)，利用三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）由勾股定理可得，利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可得，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）因為平面，平面，所以，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.詳解：（1）連接，設(shè)，則為的中點.因為為的中點，所以.又平面， ，所以平面.（2）證明：在中，由，得，即；在中，同理可得.因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以平面.又平面，所以，又，所以平面.（3）因為平面，平面，所以.在直角中，由及，得.所以 .點睛：本題主要考查線面平行判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法證明的.21. 已知的頂點，直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為（1）求頂點和的坐標；（2）求外接圓的一般方程.【答案】（1）和；（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與直線的方程可得點的坐標，由，進而設(shè)出直線的方