空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、基本概念：1、空間向量：2、相反向量:3、相等向量:4、共線向量：5、共面向量:6、方向向量：7、法向量8、空間向量基本定理：二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算:1向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算rr設(shè) a = fei ,a2 , 43)，b = (bl , b2, b3)則r r(1) a + b = fei bi, a2 b2, 83 b3 )r(3)入 a = ( ai, &2 , &3 )(入 gr)；rra -b =二(aibi , a2b2 , 83 b3 )；rra b =:aibia2b2a3bs ；2. 設(shè) A (xi, yi , zi) , B(X2 , y2 , Z2

2、 ),則uuur uuur uuurAB 0 B 0 A = (X2 xi , y2 yi , Z2 zi)rr3、設(shè) a. (xi,yi, zi)，b(X2, Y2 :,Z2 ),則r rrrrrrra Pbab(b0)；ab4.夾角公式rr設(shè) a = Gi 衛(wèi)2 , a3 ) , b = (bi , b2 , b3 )，貝9 cosa b 0XI X2 yi y2 Z1Z20 r raibi a2 b2a3b3a,bVai2 a22 Q3H bi2b22 b321 r5.異面直線所成角cosr ra b1=ra I |b Ixi2X1X2 yi Y2 Zi Z22 2 yi 1 zi2 2

3、 X2 Y2Z226.平面外一點(diǎn) P到平面 的距離已知AB為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法uuur r向量，A到平面的距離為：d lABMnI In空間向量與立體幾何練習(xí)題-、選擇題1.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDABC D在空間直角坐標(biāo)mi系中，若E,F分別是BCUUUIDDi中點(diǎn)，貝ij EF的坐標(biāo)為（A. (1,2,1) B.( 1,2, 1)D F】所成角的余弦值是（8c.D.17V32屮，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn),uuur ruuur ruuur ruuur若PAa ,PBbPC c ,，則BE()rrrrrr111111A.a-bcB.abc222222、rc rr.

4、rr3r13111C.a_bcD.abc2222223.在四棱錐P ABCD二、填空題4.若點(diǎn) A(1,2,3),B(3,2,7),且 ACBC0則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.5.在正方體ABCDAB C D屮，直線miAD與平面A BC夾角的余弦值為11uuuruuurrC.(l,2,1) D. (1, 2, 1)2.如圖，ABCDf BZ是正方體，B d4B.1517三、解答題1、在正四棱柱ABCDiBiC iDi + , AB 1與底面ABCD所成的角為-,4(1)求證BD 1面 AB iC(2) 求二面角Bi AC B的正切值P ABC AB AC 32.在三棱錐中，AP 4, PA 面 ABC ,

5、 BAC 90點(diǎn)E在BC上，且BE 2CE,(1) 求證：AC BD ；求直線DE與PC夾角 的余弦值；(3) 求點(diǎn)A到平面BDE的距離d的值.3. 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，ZBAD=90 , ADBC, AB=BC=a, AD=2a, 且PA丄底面ABCD, PD與底面成30角.(1)若AE丄PD, E為垂足，求證：BE丄PD；(2) 求異面直線AE與CD所成角的余弦值.4、已知棱長(zhǎng)為1的正方體ACi, E、F分別是BiCi. CiD的中點(diǎn).(1) 求證：E F、D、B共面；(2) 求點(diǎn)A】到平面的BDEF的距離；(3) 求直線AiD與平面BDEF所成的角.5

6、、已知正方體ABCD- AiBiC xD】的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，求:(I)DiE與平面BCiD所成角的大?。?II)二面角D BC 1 C的大小;一、考點(diǎn)概要:1、空間向量及其運(yùn)算(1) 空間向量的基本知識(shí): 定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向 量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長(zhǎng)度相等的有向線段表示相 同向量或相等的向量。 空間向量基本定理:i定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)?數(shù)組x、y、z,使。且把叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。ii正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底 叫正交

7、基底。iii單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單 位正交基底，通常用表示。iv空間四點(diǎn)共面：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn) P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使。 共線向量(平行向量)：i定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向 量叫做共線向量或平行向量，記作。ii規(guī)定：零向量與任意向量共線；iii共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù)入， 使。 共面向量：i定義：一般地，能平移到同平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。ii向量與平面平行:如果直線0A平行于平面或在a內(nèi)，則說(shuō)向量

8、平行于平面Q,記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。iii共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)X、y,使。iv空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí) 際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證明其 中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。v共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面M AB內(nèi)的充要條件是：存在有 序?qū)崝?shù)對(duì)x、y,使得,或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)0,有。 空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)0,作，（兩 個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。 兩個(gè)向量的數(shù)量積：i定義

9、：已知空間兩個(gè)非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作， 即：Oii規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0oiii注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量、的點(diǎn)積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個(gè) 實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。iv數(shù)量積的幾何意義:叫做向量在方向上的投影（其中9為向量和的夾角）。即：數(shù)量積 等于向量 的模與向量 在方向上的投影的乘積。v基本性質(zhì)：vi運(yùn)算律：空間向量的線性運(yùn)算： 定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下: 加法： 減法： 數(shù)乘向量： 運(yùn)算律：i加法交換律： ii加法結(jié)合律: iii數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量

10、則側(cè)重于定量研究?？臻g 向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效 的工具。2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問(wèn)題的向量法， 建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通 常遵循“三步”:一化向量問(wèn)題，二進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問(wèn)題。其實(shí)質(zhì)是數(shù) 形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和 分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過(guò)程中不可以隨意組合。 值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運(yùn)算在許多方面 和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍，尤其去括

11、號(hào)就顯得更為突出，下面兩個(gè)公式較為常 用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：o2、空間向量的坐標(biāo)表示：（1）空間直角坐標(biāo)系： 空間直角坐標(biāo)系0 nyz,在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)0為 原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo) 軸，點(diǎn)0叫做原點(diǎn)，向量叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面， 分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。 右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90。角度轉(zhuǎn) 向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向； 構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)）、線仗、y、z軸）、面仗0 y平面，yO z平面，zO x平 面）； 空間直角坐標(biāo)系的畫

12、法:作空間直角坐標(biāo)系Onyz時(shí)，一般使 ZxO y=135 （或45 ）, ZyO z=90 , z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長(zhǎng)度相 同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸（或z軸）的一半；（2）空間向量的坐標(biāo)表示: 已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量（如圖），由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。 在空間直角坐標(biāo)系Onyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若，則有序數(shù)組仗，y, z）叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A仗，y, z），其 中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫點(diǎn)的坐 標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。 空間任

13、一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過(guò) P分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面）,分別交坐標(biāo)軸于 A、B、C 三點(diǎn)，|x| 二 |0A|,| y | = | 0B | ,| z | = | 0C | ,當(dāng)與的方向相同時(shí)，x0,當(dāng)與的方向相反吋，x0,同理可確y、z（如圖）。 規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與 它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的 坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)，則：（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： 空間兩點(diǎn)間距離：； 空間線段的中點(diǎn)M仗，y, z）的坐標(biāo)：； 球面方程：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：4、過(guò)定點(diǎn)0,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們

14、都以0為原點(diǎn)且一般具有相同的 長(zhǎng)度單位。這三條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo) 軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合 右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原 點(diǎn)。5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn)(1) 點(diǎn)(原點(diǎn))的坐標(biāo)：(0,0,0);(2) 線(坐標(biāo)軸)上的點(diǎn)的坐標(biāo)：X軸上的坐標(biāo)為仗,0,0) , y軸上的坐標(biāo)為 (0,y,0) , z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z);(3) 面(xOy平面、yOz平面、z0 x平面)內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為 (x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為仗,0,z)6、要使向量與z軸垂直，只要z=0即可。事實(shí)上，要使向量 與哪一個(gè)坐 標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)