《數(shù)字信號(hào)處理》課程設(shè)計(jì)基于切比雪夫I型的IIR數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)

1、數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)題目： 基于切比雪夫i型的iir數(shù)字高通 濾波器設(shè)計(jì)學(xué)院名稱 電氣工程學(xué)院指導(dǎo)老師 班 級(jí) 電子信息工程 學(xué) 號(hào) 學(xué)生姓名 二0一一年六月目錄（一）數(shù)字濾波器的概述-31.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法-31.2 數(shù)字濾波器的性能要求-31.3 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求-4（2） 基于切比雪夫i型無限脈沖響應(yīng)iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)依據(jù)和原理-52.1 課設(shè)任務(wù)-52.2 iir數(shù)字濾波器-52.3由模擬濾波器設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器-72.4 數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)（本設(shè)計(jì)采用雙線性變換法）-9（三）基于切比雪夫i型無限脈沖響應(yīng)iir數(shù)字高通濾波器的具體設(shè)計(jì)過程-123.1 計(jì)算過程-

2、123.2 源程序代碼-143.3結(jié)果分析-17（四）總結(jié)和心得體會(huì)-20（五）參考文獻(xiàn)-21基于切比雪夫i型的iir數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)（一）數(shù)字濾波器的概述1.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、插值逼近法和chebyshev逼近法等等。1.2 數(shù)字濾波器的性能要求我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。如圖1-1所示：在通帶內(nèi)：在阻帶中：其中 為通帶截止頻率,為阻帶截止頻率，為通帶最大衰減, 為阻帶最大衰減。 圖

3、1-1 低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖1.3 數(shù)字濾波器的技術(shù)要求濾波器技術(shù)要求主要包括4個(gè)方面。即：濾波器的截止頻率低通濾波器的截止頻率主要包括通帶截止頻率（又稱通帶上線頻率）和阻帶下限截止頻率；高通濾波器的截止頻率主要包括通帶截止頻率（下限頻率）和阻帶上限截止頻率；帶通濾波器的截止頻率主要包括通帶下限截止頻率，通帶上限截止頻率，下限通帶截止頻率，以及上阻帶截止頻率；帶阻濾波器的截止頻率與帶通濾波器一致，也主要包括通帶下限截止頻率，通帶上限截止頻率，下阻帶截止頻率，以及上阻帶截止頻率。帶通帶阻的容限濾波器中帶通帶阻的容限與的具體技術(shù)指標(biāo)，往往由允許的最大衰減及阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減給出。通帶及

4、阻帶的衰減，分別定義為： 式中均假定已被歸一化為1.例如當(dāng)在處下降為0.707時(shí)，在處降到0.01時(shí)，.（二）基于切比雪夫i型無限脈沖響應(yīng)iir數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)依據(jù)和原理2.1 課設(shè)任務(wù)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率fp=3000hz，通帶衰減不大于1db(rp=1db)；阻帶截止頻率fr=1500hz，阻帶衰減不小于50db(rs=50db)。采樣頻率fs=15000hz,采用切比雪夫i型iir濾波器。2.2 iir數(shù)字濾波器 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是：(a)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(b)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)

5、設(shè)計(jì)模擬低通濾波器；(c)在按一定規(guī)則將轉(zhuǎn)換為。若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束，若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：(d)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(b)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將轉(zhuǎn)換為所需的。s-z映射的方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。下面討論雙線性變換法。雙線性變換法是指首先把s 平面壓縮變換到某一中介平面s1 的一條橫帶(寬度為,即從到) ,然后再利用的關(guān)系把s1平面上的這條橫帶變換到整個(gè)z 平面。這樣s 平面與z 平面是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 消

6、除了多值變換性, 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。s 平面到z 平面的變換可采用 (2-5) (2-6)令 有： (2-7)從s1 平面到z 平面的變換,即 (2-8)代入上式，得到： (2-9) 一般來說，為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入代定常數(shù)c， (2-10) 則 (2-11) 這種s 平面與z 平面間的單值映射關(guān)系就是雙線性變換。有了雙線性變換，模擬濾波器的數(shù)字化只須用進(jìn)行置換。2.3由模擬濾波器設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器理想的濾波器是非因果的，即物理上不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。工程上常用的模擬濾波器都不是理想的濾波器。但按一定規(guī)則構(gòu)成的實(shí)際濾波器的幅頻特性可逼近理想濾波器的幅

7、頻特性，例如巴特奧茲(butterworth)、切比雪夫(chebyshev)濾波等。切比雪夫?yàn)V波器的原理：特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望 。 切比雪夫?yàn)V波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量(波動(dòng)范圍)提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。 振幅平方函數(shù)為(3-7)式中 有效通帶截止頻率與通帶波紋有關(guān)的參量,大,波紋大,。n階切比

8、雪夫多項(xiàng)式，定義為(3-8)(3-9)如圖3-1,通帶內(nèi) ,，變化范圍，隨著，（迅速趨于零)當(dāng)時(shí)，(3-10)n為偶數(shù)，, (3-11)n為奇數(shù)，, (3-12)有關(guān)參數(shù)的確定：a. 通帶截止頻率 ，預(yù)先給定；b. 由通帶波紋表為 (3-13)(3-14)給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求。(3-15)c. 階數(shù)n由阻帶的邊界條件確定。(,a事先給定)(3-16)(3-17) (3-19)得 (3-20)2.4 數(shù)字高通濾波器的設(shè)計(jì)（本設(shè)計(jì)采用雙線性變換法）雙線性變換法的原理：雙線性變換法是采用非線性頻率壓縮的方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說，第一步先將整個(gè)s

9、平面壓縮映射到s1平面的一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。圖1-2 映射關(guān)系為了將s平面的整個(gè)虛軸壓縮到s1平面軸上的段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)當(dāng)由經(jīng)過0變化到時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)軸。將式（3-5）寫成將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令則得再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面從而得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為： （3-6） （3-7） 式（3-6）與式（3-7）是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩

10、個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（3-5）與式（3-6）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先,把，可得 （3-8）即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。其次，將代入式（3-8），得因此由此看出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。也就是說，s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的. 本設(shè)計(jì)總體設(shè)計(jì)步驟為：(1) 確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)、；(2) 將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成高通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為；(3)利用頻率變換將模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)

11、轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器g(p)的技術(shù)指標(biāo)；(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器g(p)，并去歸一化得：(5) 采用雙線性變換將模擬低通濾波器h(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器h(z): (6) 采用頻帶變換，將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字高通濾波器。 （三）基于切比雪夫i型無限脈沖響應(yīng)iir數(shù)字高通濾波器的具體設(shè)計(jì)過程3.1 計(jì)算過程（1） 數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： （2） 將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)(令t=2s)： （3）相應(yīng)低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： （4） 設(shè)置歸一化低通模擬濾波器g(p)各項(xiàng)指標(biāo)： （5） 將極點(diǎn),和代入，求低通模擬濾波器g(p):可得：歸一化：（6

12、） 利用雙線性變換將模擬低通傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)： （7）用頻帶變換法將數(shù)字低通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通：3.2 源程序代碼%chebfilter.m%high passfp = 3000;rp = 1;fr = 1500;rs = 50;fs = 15000;n ,wn = cheb1ord(2*fp/fs,2*fr/fs,rp,rs);b,a = cheby1(n,rp,wn,high);h,w = freqz(b,a,512,whole);n=1:1000;signal =8*sin(n*pi/6)+sin(n*pi/10)+sin(n*pi/2);y = filter(b,a,s

13、ignal);hpart = sin(n*pi/2);subplot(321);plot(w/max(w),20*log10(abs(h);xlabel(頻率(rad), ylabel(幅度(db);title(幅頻響應(yīng));grid on;subplot(322);plot(w/max(w),angle(h);xlabel(頻率(rad), ylabel(相位(rad) );title(相頻響應(yīng));grid on;subplot(323);zplane(b,a);title(零極點(diǎn)圖);grid on; subplot(324);plot(n,hpart);xlabel(時(shí)間), ylabel

14、(幅度);axis(0,30,-1,1);title(高頻成分);grid on; subplot(325);plot(n,signal);xlabel(時(shí)間), ylabel(幅度);axis(0,30,-10,10);title(濾波前混合信號(hào));grid on; subplot(326);plot(n,y);xlabel(時(shí)間), ylabel(幅度);axis(0,30,-1,1);title(濾波后信號(hào));grid on;運(yùn)行結(jié)果：n = 5wn = 0.4000b = 0.0566 -0.2830 0.5660 -0.5660 0.2830 -0.0566a = 1.0000 0.

15、0227 1.0572 0.3921 0.3410 0.1722仿真結(jié)果：圖一 幅頻和相頻仿真圖：圖二 零極點(diǎn)和高頻成分仿真圖：圖三 性能測(cè)試仿真圖：3.3結(jié)果分析（1）切比雪夫i型和巴特沃斯的幅頻響應(yīng)比較：用巴特沃斯實(shí)現(xiàn)的程序段：%巴特沃斯iir數(shù)字高通濾波器n ,wn =buttord(2*fp/fs,2*fr/fs,rp,rs);b,a = buttord(n,rp,high,z);仿真結(jié)果：如圖四圖四 用巴特沃斯實(shí)現(xiàn)的幅頻響應(yīng)圖：比較結(jié)果：巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線,無論在通帶還是阻帶都是頻率的單調(diào)增函數(shù).,因此,當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí),通帶內(nèi)肯定會(huì)有較大富余量.而切比雪夫的幅頻

16、特性具有這種等波紋特性,這樣可以是濾波器階數(shù)大大降低.而且比較兩種方法的幅頻特性,可以得出,切比雪夫?yàn)V波器比巴特沃斯濾波器有較窄的過渡帶.（2）濾波器結(jié)構(gòu)對(duì)性能指標(biāo)的影響分析:設(shè)源程序得到的是直接型，用函數(shù)s,g=tfsos(b,a)實(shí)現(xiàn)直接型到級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。s為級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣，g為增益常數(shù)。直接型到級(jí)聯(lián)型轉(zhuǎn)變的實(shí)現(xiàn)程序段： b =0.0566,-0.2830,0.5660,-0.5660,0.2830,-0.0566;a = 1.0000,0.0227,1.0572,0.3921,0.3410,0.1722;s,g=tf2sos(b,a);h,w = freqz(s,g,512

17、,whole)運(yùn)行結(jié)果：s = 1.0000 -0.9988 0 1.0000 0.4301 01.0000 -2.0020 1.0020 1.0000 0.1520 0.47551.0000 -1.9992 0.9992 1.0000 -0.5594 0.8420g = 0.0566仿真結(jié)果：如圖五結(jié)果分析：級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)零點(diǎn)和一對(duì)極點(diǎn)。因此調(diào)整零點(diǎn)，因此調(diào)整零極點(diǎn)位置比直接型方便。此外，級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會(huì)再流到前面，運(yùn)算誤差的積累相對(duì)直接型也小。但h(z)中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。分解的因子越多，需要的乘法器越

18、多。另外，當(dāng)h（z)的階次高時(shí)，也不易分解，普遍運(yùn)用的是直接型。圖五 級(jí)聯(lián)型幅頻響應(yīng)曲線圖：（3）濾波器參數(shù)字長(zhǎng)對(duì)其性能指標(biāo)的影響：（4）用matlab工具箱得到幅頻和相頻曲線如圖六：圖六：（四）總結(jié)和心得體會(huì)在課程設(shè)計(jì)剛剛開始的時(shí)候，覺得很無助，于是請(qǐng)教同學(xué)、上網(wǎng)搜資料、去圖書館查找等等，終于功夫不負(fù)有心人，在不斷的資料搜尋當(dāng)中我漸漸的明白了我們將要做的設(shè)計(jì)的基本原理和相關(guān)知識(shí)。本次課程設(shè)計(jì)，我選題為切比雪夫高通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，通過設(shè)計(jì)，我具體的了解了（無限脈沖響應(yīng)）數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì)的原理和其相關(guān)的知識(shí)。首先，我們要了解設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的原理方法，從模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器在工程上常用的有兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。其設(shè)計(jì)過程都是由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)去變換出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。然后，我們要知道需要用函數(shù)來編寫程序通過matlab來實(shí)現(xiàn)