課標(biāo)通用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布11.5古典概型學(xué)案理

1、11.5古典概型考綱展示1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式2會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件及事件發(fā)生的概率考點(diǎn)1古典概型的簡單問題1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是_的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_的和答案：(1)互斥(2)基本事件2古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件_(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性_答案：(1)只有有限個(gè)(2)相等3如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是_；如果某個(gè)事件a包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件a的概率p(a)_.答案：4古典概型的

2、概率計(jì)算公式p(a)_.答案：(1)教材習(xí)題改編從字母a，b，c，d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，基本事件共有_個(gè)答案：6解析：基本事件有a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，共6個(gè)(2)教材習(xí)題改編拋擲質(zhì)地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)正面朝上的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5的概率為_答案：解析：拋擲質(zhì)地均勻的一枚骰子一次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6，共6個(gè)基本事件，其中正面朝上的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5的有3,4，共2個(gè)基本事件，所以p.古典概型：關(guān)鍵在于基本事件的計(jì)數(shù)從1,3,5,7中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值大于3的概率是_答案：解析：由題意知，“從1,3,5,7中任取2個(gè)不

3、同的數(shù)”所包含的基本事件為(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6個(gè)，滿足條件的事件包含的基本事件為(1,5)，(1,7)，(3,7)，共3個(gè)，所以所求的概率p.典題1(1)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球、5個(gè)紅球從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率為()a. b. c. d1答案b解析從15個(gè)球中任取2個(gè)球共有c種取法，其中有1個(gè)紅球、1個(gè)白球的情況有cc50(種)，所以p.(2)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參

4、加演講社團(tuán)230從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)a1，a2，a3，a4，a5,3名女同學(xué)b1，b2，b3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求a1被選中且b1未被選中的概率解由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有453015(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為p.從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a3，b1，a

5、3，b2，a3，b3，a4，b1，a4，b2，a4，b3，a5，b1，a5，b2，a5，b3，共15個(gè)根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的事件“a1被選中且b1未被選中”所包含的基本事件有：a1，b2，a1，b3，共2個(gè)因此a1被選中且b1未被選中的概率為p.點(diǎn)石成金古典概型中基本事件的兩種探求方法(1)列舉法適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的情況(2)樹狀圖法適合較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時(shí)也可以看成是無序的，如(1,2)和(2,1)相同考點(diǎn)2較復(fù)雜古典概型的概率古典概型：基本事件的個(gè)數(shù)；古典概

6、型概率公式(1)2015云南昆明模擬拋擲兩顆相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各個(gè)面上依次標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)一次，則兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)之積等于12的概率為_答案：解析：拋擲兩顆相同的正方體骰子，共有36種等可能的結(jié)果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)點(diǎn)數(shù)之積等于12的結(jié)果有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4種，故所求事件的概率為.(2)小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數(shù)碼由4個(gè)數(shù)字2,4,6,8按一定順序構(gòu)成，小明不小心忘記了密碼中4個(gè)數(shù)字的順序，隨機(jī)地輸入由2,4,6,8組成的一個(gè)四位數(shù)，不能打開鎖的概率是_答案：解析：由2,4,6,8可以組

7、成24個(gè)四位數(shù)(每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都不相同)，其中只有一個(gè)能打開鎖，能打開鎖的概率為，所以不能打開鎖的概率為1.典題2某市a，b兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，a中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，b中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求a中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名參賽學(xué)生全從b中學(xué)抽取(等價(jià)于a中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為，因此，a中學(xué)至少有1名學(xué)生入

8、選代表隊(duì)的概率為1.(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件a，記“參賽女生有2人”為事件b，“參賽女生有3人”為事件c.則p(b)，p(c).由互斥事件的概率加法，得p(a)p(b)p(c)，故所求事件的概率為.點(diǎn)石成金1.求較復(fù)雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?注意區(qū)別排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.為振興旅游業(yè)，四川省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是

9、熊貓銀卡(簡稱銀卡)某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝景區(qū)旅游，其中 是省外游客，其余是省內(nèi)游客在省外游客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡(1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；(2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率解：(1)由題意，得省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡設(shè)事件a為“采訪該團(tuán)2人，恰有1人持銀卡”，則p(a)，所以采訪該團(tuán)2人，恰有1人持銀卡的概率是.(2)設(shè)事件b為“采訪該團(tuán)2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等”，可以分為事件b1為“采訪該團(tuán)2人，持金卡0人，持銀卡0人”，或事件b2為“采訪該

10、團(tuán)2人，持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況則p(b)p(b1)p(b2)，所以采訪該團(tuán)2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是.考點(diǎn)3古典概型的交匯命題考情聚焦古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題的角度新穎，考查知識(shí)全面，能力要求較高主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一古典概型與平面向量相結(jié)合典題3已知向量a(x，1)，b(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合1,1,3，y隨機(jī)選自集合1,3,9(1)求ab的概率；(2)求ab的概率解由題意，得(x，y)所有的基本事件為(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)

11、，共9個(gè)(1)設(shè)“ab”為事件a，則xy3.事件a包含的基本事件有(1,3)，共1個(gè)故ab的概率為p(a).(2)設(shè)“ab”為事件b，則y3x.事件b包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2個(gè)故ab的概率為p(b).角度二古典概型與直線、圓相結(jié)合典題42017河南洛陽統(tǒng)考將一顆骰子先后拋擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線axby0與圓(x2)2y22有公共點(diǎn)的概率為_答案解析依題意，將一顆骰子先后拋擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共36種，其中滿足直線axby0與圓(x2)2y22有公共點(diǎn)，即滿足 ，即a2b2的數(shù)組(a，b)有(1,1

12、)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共65432121(種)，因此所求的概率為.角度三古典概型與函數(shù)相結(jié)合典題5已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)設(shè)集合p1,2,3和q1,1,2,3,4，分別從集合p和q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率解(1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對(duì)稱軸為x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且1，即2ba.若a1，則b1；若a2，則b1,1；若a3，則b1,1.事件包含基本事件的

13、個(gè)數(shù)是1225，所求事件的概率為.(2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，依條件可知，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，所求事件的概率為p.角度四古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合典題6某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；(3)從評(píng)分在40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在4

14、0,50)的概率解(1)因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.(3)受訪職工中評(píng)分在50,60)的有500.006103(人)，記為a1，a2，a3；受訪職工中評(píng)分在40,50)的有500.004102(人)，記為b1，b2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，

15、b1，b2又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在40,50)的結(jié)果有1種，即b1，b2，故所求的概率為.點(diǎn)石成金解決與古典概型交匯命題的關(guān)注點(diǎn)解決與古典概型交匯命題的問題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算. 方法技巧1.確定基本事件的方法(1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí)，可用列舉法計(jì)算；(2)當(dāng)基本事件總數(shù)較多時(shí)，可用列表法、樹狀圖法2較復(fù)雜事件的概率可靈活運(yùn)用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式簡化運(yùn)算3概率的一般加法公式：p(ab)p(a)p(b)p(ab)公式使用中要注意：(1)公式的作用是求ab的概率，當(dāng)ab時(shí)，a，b互斥

16、，此時(shí)p(ab)0，所以p(ab)p(a)p(b)；(2)要計(jì)算p(ab)，需要求p(a)、p(b)，更重要的是把握事件ab，并求其概率；(3)該公式可以看作一個(gè)方程，知三可求一易錯(cuò)防范古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，它們是不是等可能的 真題演練集訓(xùn) 12016江蘇卷將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是_答案：解析：解法一：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為.解法二：將

17、一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1.22015新課標(biāo)全國卷某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從a，b兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到a地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表a地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90，100頻數(shù)2814106(1)在圖中作出b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方

18、圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說明理由解：(1)如圖所示通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于a地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；b地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而a地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散(2)a地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大記ca表示事件：“a地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；cb表示事件：“b地

19、區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”由直方圖，得p(ca)的估計(jì)值為(0.010.020.03)100.6，p(cb)的估計(jì)值為(0.0050.02)100.25.所以a地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大32016天津卷某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)(1)設(shè)a為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件a發(fā)生的概率；(2)設(shè)x為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望解：(1)由已知，有p(a).所以事件a發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量x的所有可能取值為0

20、,1,2.p(x0)，p(x1)，p(x2).所以，隨機(jī)變量x的分布列為x012p隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)0121. 課外拓展閱讀 古典概型與平面向量、幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)的綜合 古典概型的考查可以和平面向量、幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)相互交匯，在解題中要重視古典概型的計(jì)算，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后正確使用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算典例1甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條，則這2條棱互相垂直的概率為()a. b. c. d.思路分析解析由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條，乙從這9條棱中任選一條

21、，共有99 81(種)結(jié)果，滿足條件的事件是這兩條棱互相垂直，所有可能情況是：當(dāng)甲選底面上的一條直角邊時(shí)，乙有5種選法，共有4條直角邊，則共有20種結(jié)果；當(dāng)甲選底面上的一條斜邊時(shí)，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊，則共有6種結(jié)果；當(dāng)甲選一條側(cè)棱時(shí)，乙有6種選法，共有3條側(cè)棱，則共有18種結(jié)果，綜上所述，共有2061844(種)結(jié)果，故2條棱互相垂直的概率是.答案c溫馨提示以棱柱、棱錐及異面直線、距離等立體幾何知識(shí)為載體的古典概型求解是高考中的重要題型，題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是要考慮所有的位置關(guān)系典例2設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1,3)(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”發(fā)生的概率解(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6故(m，n)所有可能的取法共3