2021年人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊期末模塊檢測（提升卷）（解析版）

1、選擇性必修第二冊 期末模塊檢測試卷 能力提升B卷解析版學校:_姓名：_班級：_考號：_題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題 1已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，若，則（ ）A3BC-3D【答案】D【分析】設數(shù)列是公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式計算可得；【詳解】解：設數(shù)列是公差為，首項為，因為所以，所以，所以所以故選：D2在數(shù)列中，則（ ）ABCD3【答案】A【分析】根據(jù)已知分析數(shù)列的周期性，可得答案【詳解】解：，.該數(shù)列是周期數(shù)列，周期.又，故選：A.3意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)

2、：1，1，2，3，5，8，13，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（ ）.AB1CD2【答案】B【分析】由已知數(shù)列的特點依次求出，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進而可求出答案【詳解】由題設可知，斐波那契數(shù)列為：其特點為：前兩個數(shù)為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可知：，則.故選：B.4已知數(shù)列滿足，設，為數(shù)列的前n項和.若對任意恒成立，則實數(shù)t的最小值為（ ）A1B2CD【答案】C【分析】先求出的通項，再利用裂項相消法可求，結合不等式的性質可求實數(shù)t的最

3、小值.【詳解】時，因為，所以時，兩式相減得到，故時不適合此式，所以，當時，當時，所以；所以t的最小值；故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.5已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=AB7C6D【答案】A【解析】試題分析：由等比數(shù)列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6故答案為考點：等比數(shù)列的性質、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化

4、等知識，轉化與化歸的數(shù)學思想6定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【詳解】，函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，區(qū)間上存在 ，滿足 方程在區(qū)間有兩個不相等的解，令，則，解得 實數(shù)的取值范圍是.故選:A7若函數(shù)滿足，則的值為（ ）A1B2C0D【答案】C【分析】求導得到，取帶入計算得到答案.【詳解】，則，則，故.故選：C.【點睛】本題考查了求導數(shù)值，意在考查學生的計算能力和應用能力.8已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，（其中為的導函數(shù)），若，則的解集為（ ）ABCD【答案】A【分析】由，結合已知條件有偶函

5、數(shù)在上單調減，上單調增，再由 即可求解集.【詳解】由，而知：在上單調減，而，即，又知：，在上有，又是定義在上的偶函數(shù)，則在上為偶函數(shù)，在上單調增，即，可得，綜上，有，故選：A【點睛】思路點睛：由與組成的復合型函數(shù)式，一般可以將其作為某函數(shù)導函數(shù)的一部分，構造出原函數(shù)，再利用奇偶性、單調性求函數(shù)不等式的解集.二、多選題9設是等差數(shù)列，是其前項的和，且，則下列結論正確的是（ ）ABCD與均為的最大值【答案】BD【分析】設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，即，可得，又由且，則，必

6、有，顯然C選項是錯誤的.，與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質，需熟記公式，屬于基礎題.10已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，都有，則下列結論正確的是（ ）ABC若該數(shù)列的前三項依次為，則D數(shù)列為遞減的等差數(shù)列【答案】AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，所以，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點睛】解決數(shù)列的單調性問題的三種方法；1、作

7、差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關系，進行判定；3、數(shù)形結合法：結合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.11對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）A在處取得極大值B有兩個不同的零點CD若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調性和，且時， ，可判定B不正確；由函數(shù)的單調性，得到，再結合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單

8、調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當時，因為在上單調遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，當時，可得，所以函數(shù)在上沒有零點，綜上可得函數(shù)在只有一個零點，所以B不正確；由函數(shù)在上單調遞減，可得，由于，則，因為，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設，則，令，即，解得，所以當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，

9、求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題12已知等比數(shù)列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數(shù)，若，則（ ）A為單調遞增的等差數(shù)列BC為單調遞增的等比數(shù)列D使得成立的的最大值為6【答案】BCD【分析】令，利用可得，B正確；由可得A錯誤；由可得C正確；由，可推出，可得D正確.【詳解】令，則，因為是等比數(shù)列，所以，即，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯誤；，是首項為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，時，時，時，時，又，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：利用等比數(shù)列的性質、通項公式、求和公式、數(shù)列的單調性求解是解

10、題關鍵.三、填空題13求和：_ 【答案】【解析】易知該數(shù)列的通項，故該數(shù)列的前n項和為14朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作律學新說中制作了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍設第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則_【答案】【分析】將每個音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識可求得結果.【詳解】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，

11、可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項，且，最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：構造等比數(shù)列求解是解題關鍵.15已知是，的等差中項，是，的等比中項，則_.【答案】【分析】由題意得，消去，可得，化簡得，得，則有【詳解】由題設可知：由是，的等差中項，則，是，的等比中項，則，則有可知：，則將式變形得：，即，則.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：此題考查等差中項、等比中項的應用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是由已知條件得，消去，可得，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡可得結果，考查轉化思想和計算能力，屬于中檔題16為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該

12、藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量設該藥物在人體血管中藥物濃度與時間的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如下圖所示給出下列四個結論： 在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同； 在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同； 在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同； 在,兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.其中所有正確結論的序號是_【答案】【分析】理解平均變化率和瞬時變換率的意義，結合圖象，判斷選項.【詳解】在時刻，為兩圖象的交點，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故正確；甲、乙兩人在時刻的切線的斜率不相等，即兩人的不相同，所以

13、甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，故不正確；根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是，故正確；在時間段，甲的平均變化率是，在時間段，甲的平均變化率是，顯然不相等，故正確.故答案為：【點睛】思路點睛：本題是一道識圖的實際應用問題，判斷的關鍵是理解兩個概念，瞬時變化率和平均變化率，結合導數(shù)的幾何意義可知瞬時變化率就是在此點處切線的斜率，平均變化率是.四、解答題17設數(shù)列的前n項和為，從條件，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，_.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）若選可得為常數(shù)

14、數(shù)列，即可求出；若選利用可得，即可得為常數(shù)數(shù)列，即可求出；若選利用可得，即可得到數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而得解；（2）利用錯位相減法求和；【詳解】選條件時，（1）時，整理得，所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時，（1）由于，所以，當時，得：，整理得，所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以 ， ，得：，故，所以.選條件時，由于， 時，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設，其前項和為，所以，得：，故，所以.【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性

15、相關聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和18已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，推導出：當為正奇數(shù)時，當為正偶數(shù)時，利用裂項相消法可求出，利用錯位相減法可求得，進而可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比

16、數(shù)列的公比為，由，則，可得，所以，因為，所以，整理得，解得，所以；（2）設數(shù)列的前項和中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，對任意的正整數(shù)，由得，得，化簡得.因此，數(shù)列的前項和為.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.19已知函數(shù)()（1）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；（2）證明：當時，【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由題意轉化為有兩個變號零點，再參變分離后

17、得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導數(shù)，分析函數(shù)的單調性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域為，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個變號零點，等同于，即水平直線與曲線有兩個交點(不是的切線)，令，的定義域為，則，令，解得，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，則為的極大值，也為最大值，當時，當時，當時，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時；（2）證明：令()，則只需證明當時恒成立即可，則，令，則，當時，則，則在時單調遞增，又，時，則在時單調遞增，當時，即當時，【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證

18、明或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的突破口.20已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，進一步求出的通項公式，所以，利用累加法求出數(shù)列的通項公式；（2）利用對數(shù)列進行放縮 ，化簡求出答案.【詳解】（1），所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，所以（2）證明： 【點睛】放縮法的注意事項：（1）放縮的方

19、向要一致。（2）放與縮要適度。（3）很多時候只對數(shù)列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當?shù)默F(xiàn)象。21設函數(shù) （1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.（2）討論在上的單調性；（3）若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】（1）（2）見解析（3），見解析【分析】（1）根據(jù)單調區(qū)間判斷出是極值點，由此根據(jù)極值點對應的導數(shù)值為求解出的值，并注意驗證是否滿足；（2）先求解出，然后結合所給區(qū)間對進行分類討論，分別求解出的單調性；（3）構造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉化為證明，由此構造新函數(shù)進行分析證明.【詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調性知是函數(shù)的極大值點，無極小值點，所以，故，此時滿足是極大值點，所以；（2），當時，在上單調遞增.當，即或時，在上單調遞減.當且時，由 得.令得；令得.在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上遞增；當或時，在上遞減；當且時，在上遞增，在上遞減. （3）令，當時，單調遞減；當時，單調遞增；故在處取得最小值為又當，由圖象知：不妨設，則有，令在上單調遞增，故即，【點睛】本題考查函數(shù)