淺談分類討論思想在中學數(shù)學教學中的應用

1、淺談分類討論思想在中學數(shù)學教學中的應用 摘要：數(shù)學分類討論思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。初中數(shù)學教材和學習輔導資料中常有這樣的問題，中考數(shù)學試題中也經(jīng)常會出現(xiàn)與分類有關(guān)的問題。在初中數(shù)學教學中使用分類討論的思想探究和解決問題，有助于學生更好地理解和解決問題，并能幫助學生把握解題的思路和技巧，做到舉一反三，從而有利于培養(yǎng)學生的學習興趣，使他們從數(shù)學學習中獲得樂趣。 關(guān)鍵詞：數(shù)學思想；分類討論；解題策略；數(shù)學策略 一、問題的提出 有關(guān)分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位

2、置。而這部分內(nèi)容對學生來講又是一個難點，很容易被學生忽略，所以教師有必要對這部分內(nèi)容進行深入的研究。解分類討論問題的關(guān)鍵在于：將整體問題化為若干個部分來解決，增加題設的條件，從而將問題解答等進行到底，這正是我們要分類討論的根本原因。 二、分析問題 根據(jù)研究對象的不同，將解決的問題進行分類，也就是說根據(jù)題目，將可能出現(xiàn)的結(jié)果一一列舉出來，再按照順序進行解答，關(guān)鍵是在列舉時要做到準確、全面，盡可能將所有的方面全部列舉出來，做到不漏不重。 三、解答分類討論問題的基本方法和步驟 第一步：確定討論對象，即題目所考察的知識點學生必須清楚；第二步：對討論的對象合理分類，即把所有可能的結(jié)果一個不漏地列舉出來；

3、第三步：按類討論問題的結(jié)論，即討論前一步中列舉出來的各種；第四步：對各類的結(jié)論進行歸納總結(jié)，總結(jié)出解這一類題目的解題方法，以后碰到這類題目時我們就會得心應手。 四、中學數(shù)學教材中分類討論的知識點 數(shù)學解題的準確性是建立在學生對基礎知識的掌握上的。學生應掌握的知識點有：反比例函數(shù)y=k/x的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)的比例系數(shù)k，一次函數(shù)的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；絕對值概念的定義；根式的性質(zhì)；一元二次方程根的判別式與根的情況；二次函數(shù)二次項系數(shù)正負與拋物線開口方向等。在這里就不具體將它們一一贅述了。 五、分類討論思想在中學數(shù)學中的應用 例1：解不等式（a+1）xa?-1 如果不加區(qū)分a+

4、10或a+1a-1，那就不對了，因為根據(jù)不等式性質(zhì)，給不等式兩邊同乘以不為零的式時，不等式要改變方向既可以a+10，或a+1=0，也可以a+10有不同的答案。 當a+10 即a-1時，則x（a?-1）/（a+1）= a -1； 當a+1=0即a=-1時，原不等式為0x0，故不等式無解； 當a+1 這里將a劃分成三類：a-1，a=-1，a 例2：已知在abc中，a=30，當b是多少度時，abc是等腰三角形？ 分析：本題沒有明確哪個角是頂角，故要分a、b、c分別為頂角三種情況討論。 即：a為頂角時，b=75；c為頂角時，b=30；b為頂角時，b=120 例3：函數(shù)y=ax?-ax+3x+1與x軸只

5、有一個交點，求a的值與交點坐標。 分析：本題中函數(shù)是什么函數(shù)沒有確定，故要根據(jù)初中學生已有的函數(shù)知識，根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況。 解：當a=0時，為一次函數(shù)y=3x+1，交點為（-1/3 ，0）； 當a不為0時，為二次函數(shù)y=ax?+（3-a）x+1，函數(shù)圖像與坐標軸有一個交點，所以=0即 b?-4ac（）=a?-10a+9=0， 解得a=1或a=9，交點為（-1，0）或（-1/3，0）。 六、幾何中常見的問題 例1：與線段有關(guān)的問題 1.線段ab=7cm，在直線上畫線段bc=3cm，則線段ac= 。 2.a，b兩點到直線l的距離分別為m，n（m 例2.三

6、角形高的位置 （1）等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1：2，則等腰三角形的頂角為 。 （2）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊長的一半，則其頂角度數(shù)為 。 例3：與圓有關(guān)的問題 知識點：一條弦所對的弧有兩條，所對圓周角有2個。 1.已知o半徑為6cm，o的弦ab=6cm，則弦ab所對的圓周角度數(shù)為 。 2.a，b是o上兩點，且aob=70，c是o上不與a，b重合的任一點，則acb= 。 3.弦長是半徑的倍的弦所對的圓周角為 。 4.如果圓中一條弦長與半徑相等，那么此弦所對的圓周角的度數(shù)為 。 5.o直徑ab=4，弦ac=2，ad=，則dac= 。 6.在o中，弦ab將其分成3：7兩部分，則該弦所對的圓周角度數(shù)為 。 七、小結(jié) 在初中數(shù)學教學過程中，我們應該充分利用初中學生已經(jīng)具有的關(guān)于分類問題的生活體驗的這一基礎，在遇到分類問題時，要不失時機地進行引導，使學生明確每一種意義下的分類都應該有明確的標準，同一種事物按不同的標準則有不同的分類，應該是無重復和無遺漏的。數(shù)學教學中，教師在進行數(shù)學思維訓練時，應多鼓勵學生用新方法、新思路，拓寬思維領(lǐng)域，以克服思維的呆板性，培養(yǎng)學生多角度、全方位思維的習慣，加快思維速度，以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維能力，從而達到分類思想在數(shù)學中的有效應用的目的。 參