淺談分類(lèi)思想在幾何中的應(yīng)用

1、淺談分類(lèi)思想在幾何中的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以考查。這種分類(lèi)思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略。 分類(lèi)是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法，掌握分類(lèi)的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是十分重要的。正確的分類(lèi)必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏。 分類(lèi)的原則：（1）分類(lèi)中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類(lèi)按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類(lèi)討論應(yīng)逐級(jí)有序進(jìn)行；（4）以性質(zhì)、公式、定理的使用條件為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)的題型。 題型1.考查數(shù)學(xué)概念及定義的分類(lèi)。 例1已知直線ab上一點(diǎn)c，且

2、有ca=3ab，則線段ca與線段cb之比為32或34。 練習(xí)：已知a、b、c三點(diǎn)在同一條直線上，且線段ab=7cm，點(diǎn)m為線段ab的中點(diǎn)，線段bc=3cm，點(diǎn)n為線段bc的中點(diǎn)，求線段mn的長(zhǎng)。 解析：（1）點(diǎn)c在線段ab上；（2）點(diǎn)c在線段ab的延長(zhǎng)線上。 例2.下列說(shuō)法正確的是（ ）。 a.兩條線段相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 b.如果線段ab=ac那么點(diǎn)a是bc的中點(diǎn)。 c兩條射線不平行就相交。 d.不在同一直線上的三條線段兩兩相交必有三個(gè)交點(diǎn)。 題型2：考查字母的取值情況或范圍的分類(lèi)。 規(guī)律提示：此類(lèi)問(wèn)題通常在函數(shù)中體現(xiàn)頗多，考查自變量的取值范圍的分類(lèi)，解題中應(yīng)十分注意性質(zhì)、定理的使用條件及

3、范圍。 例題1.如圖1邊長(zhǎng)為2的正方形abcd中，頂點(diǎn)a的坐標(biāo)是（0，2）一次函數(shù)y=x+t的圖像l隨t的不同取值變化時(shí)，位于l的右下方由l和正方形的邊圍成的圖形面積為s（陰影部分）。 （1）當(dāng)t取何值時(shí)，s=3？ （2）在平面直角坐標(biāo)系下（圖2），畫(huà)出s與t的函數(shù)圖像。 點(diǎn)拔：設(shè)l與正方形abcd的交點(diǎn)為m，n，易知dmn是等腰rt，只有當(dāng)md= 2時(shí)，smdn=1，那么s=sabcd-smdn=3，此時(shí)求得t=4- 2，第（2）問(wèn)中，隨著t的變化，s的表達(dá)式發(fā)生變化，因而須分類(lèi)討論t在不同取值時(shí)s的表達(dá)式，進(jìn)而作出圖像。 解：（1）設(shè)l與正方形abcd的交點(diǎn)為m，n， l的解析式y(tǒng)=x+t

4、，在x軸，y軸上所截線段相等。 dmn為等腰rtdmn s=3，sdmn=sabcd-s=22-3=1 又sdmn= mdnd= nd2 md=nd= 2，on=od-dm=4- 2， 即d點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4- 2） t=4- 2，即當(dāng)t=4- 2時(shí)，s=3。 （2）直線l與y軸的交點(diǎn)m的坐標(biāo)為（0，t） 當(dāng)0t 當(dāng)2t 當(dāng)t4時(shí)，s=4 。 根據(jù)以上解析式，作圖如圖（2）。 變式思考：如圖所示，在平行四邊形abcd中，ad=4cm，a=60，bdad，一動(dòng)點(diǎn)p從a出發(fā)，以每秒1cm的速度沿abc的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)p作直線pm，使pmad。 （1）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線pm與ad相交于點(diǎn)e

5、，求ape的面積。 （2）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)q也從a出發(fā)沿abc的路線運(yùn)動(dòng)，且在ab上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在bc上以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)q作直線qn，使qn/pm。設(shè)點(diǎn)q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t10），直線pm與qn截平行四邊形abcd所得圖形的面積為scm2。 求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。 （附加題）求s的最大值。 易誤：討論變量t的取值范圍，是解本題的關(guān)鍵，解此類(lèi)題應(yīng)十分注意變量的取值須符合題意，逐層分析。 題型3：與角有關(guān)的分類(lèi)討論思想的應(yīng)用角的一邊不確定性引發(fā)討論。 例3.在同一平面上，aob=70，boc=30，射線om平分aob，on平分boc，求mon的大小。（

6、20或50） 練習(xí)：已知aob=60，過(guò)o作一條射線oc，射線oe平分aoc，射線od平分boc，求doe的大小。 （1）射線oc在aob內(nèi)；（2）射線oc在aob外。 這兩種情況下，都有doe= = =30。 小結(jié)：（對(duì)分類(lèi)討論結(jié)論的反思）為什么結(jié)論相同？雖然aoc的大小不確定，但是所求的doe與aoc的大小無(wú)關(guān)。我們雖然分了兩類(lèi)，但是結(jié)果是相同的！這也體現(xiàn)了分類(lèi)討論的最后一個(gè)環(huán)節(jié)總結(jié)的重要性。 由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類(lèi)討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得異常簡(jiǎn)單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類(lèi)的思想方法