新課程背景下對幾何教學(xué)的案例研究

1、新課程背景下對幾何教學(xué)的案例研究 勾股定理是初中幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容.因為作為反映自然界基本規(guī)律的一條結(jié)論，它在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應(yīng)用. 同時，勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展史中亦占有重要的地位，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應(yīng)用都蘊涵著豐富的文化價值. 在數(shù)學(xué)課程改革中，基于對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念的理解，我從多個方面、不同的角度將課改前后勾股定理的教學(xué)進行了對比與研究，以求從中明晰在今后的教學(xué)中亟待解決的問題，更加靠近課程改革的具體目標(biāo). 一、課程改革前對勾股定理的教學(xué) （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生掌握勾股定理. 2. 使學(xué)生能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長. （二）教學(xué)內(nèi)

2、容 1. 關(guān)于勾股定理的數(shù)學(xué)史：周髀算經(jīng)中出現(xiàn)的“勾廣三，股修四，徑隅五”. 2. 給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2 + b2 = c2. 3. 用拼圖法推證勾股定理. 4. 勾股定理的應(yīng)用：解決幾何計算、作圖及實際生產(chǎn)、生活的問題. 二、課程改革后對勾股定理的教學(xué) （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 認(rèn)知目標(biāo)：掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會用符號表示.通過數(shù)格子及割補等辦法探索勾股定理的形成過程，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想，體驗從特殊到一般的邏輯推理過程. 2. 能力目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，主動合作、探究的學(xué)習(xí)精神，感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性，讓學(xué)生經(jīng)歷“

3、觀察猜想歸納驗證”的數(shù)學(xué)思想，并感受數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法. 3. 情感目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)史上對勾股定理的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的情感，使學(xué)生在經(jīng)歷定理探索的過程中，感受數(shù)學(xué)之美、探究之趣. （二）教學(xué)內(nèi)容 1. 在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理（或設(shè)計其他的探索情境）. 2. 由學(xué)生通過觀察、歸納、猜想確認(rèn)勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 3. 勾股世界：介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義及古代人民的聰明才智. 4. 探討利用拼圖法驗證勾股定理. 5. 勾股定理的實際應(yīng)

4、用. 三、兩種課堂教學(xué)的對比 （一）教學(xué)理念和教學(xué)內(nèi)容的不同 課改前傳統(tǒng)的勾股定理的教學(xué)，重在掌握定理和應(yīng)用定理.這種教學(xué)過分突出了勾股定理這一現(xiàn)成幾何知識結(jié)論的傳遞和接受，忽略了定理的發(fā)現(xiàn)過程、發(fā)現(xiàn)方法，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)過程被異化為被動接受和單純的記憶定理、被動認(rèn)知和機械訓(xùn)練變形及運算技能的過程.這種教學(xué)思想的弊病是“重結(jié)論而輕過程”，“厚知識運用而薄思想方法”. 課改后勾股定理的教學(xué)從以下幾方面進行： 1. 創(chuàng)設(shè)探索性的問題情境學(xué)生歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律. 2. 拼圖驗證定理用數(shù)形結(jié)合的方法支持定理的認(rèn)識. 3. 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型學(xué)生體驗由特例歸納猜想、由特例檢驗猜想. 4. 解決實

5、際問題熟練掌握定理，并形成運用定理的技能. 5. 勾股定理數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，點燃熱愛數(shù)學(xué)的熱情. 站在理論的角度，在這種設(shè)計中，使學(xué)生對知識的實際背景和對知識的直觀感知以及學(xué)生對收集、整理、分析數(shù)學(xué)信息的能力等方面得以加強.這充分反映了以未來社會對公民所需的數(shù)學(xué)思想方法為主線選擇和安排教學(xué)內(nèi)容，并以與學(xué)生年齡特征相適應(yīng)的大眾化、生活化的方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容.不過，通過實際教學(xué)，要想真正的做到“以學(xué)生為本”，在短短的兩課時內(nèi)既要重點突出，又能不留死角地圓滿完成以上五個層面的學(xué)習(xí)，也確屬不易. （二）教師備課內(nèi)容的不同 教改前對勾股定理的備課，在把握教材內(nèi)容的同時，可在勾股定理的數(shù)學(xué)史和定理

6、應(yīng)用兩方面加以調(diào)整.例如，增強民族自豪感：中國古代的大禹就是用勾股定理來確定兩地的地勢差，以治理洪水；激發(fā)學(xué)習(xí)興趣：勾股定理的證明方法已有400多種，給出這些證明方法的不但有數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，還不乏政界要人，像美國第20任總統(tǒng)加菲爾德、印度國王帕斯卡拉二世，都通過構(gòu)造圖形的方法給出了勾股定理的別致證法. 定理應(yīng)用這一課時，教材從純幾何問題、生活問題、生產(chǎn)問題等幾方面均有涉及，從提高學(xué)生興趣方面可靈活補充一道11世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家給出的一道趣味題：小溪邊長著兩棵樹，隔岸相望.一棵樹高30肘尺（古代長度單位），另一棵高20肘尺，兩樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥，兩只鳥同時看見

7、樹間水面上游出的一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到到目標(biāo).問：這條魚出現(xiàn)的地方離較高的樹的樹根有多遠(yuǎn)？ 在實際教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的理解情況及實際水平，在訓(xùn)練的形式、數(shù)量上與教材也有所區(qū)分：增加了一個隨堂檢測，以鞏固所學(xué). 由于當(dāng)時所教班級為數(shù)學(xué)班，學(xué)生整體接受能力較強，就設(shè)計了一個請學(xué)生自編有關(guān)勾股定理應(yīng)用的題目，效果不錯. 教改后的備課，除了在上述兩方面有所選擇之外，重點放在了探索情境的設(shè)置上：利用下面圖中的任何一個或幾個都可從3個正方形的面積關(guān)系中得出直角三角形三邊關(guān)系，不同的班級可由學(xué)生不同的認(rèn)知水平來設(shè)計認(rèn)識層次. 為了保證教學(xué)重點，把利用拼圖驗證勾股定理的主要探討放在專門的課題學(xué)習(xí)中進

8、行. （三）學(xué)生學(xué)習(xí)方式的不同 對于課改前勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生沿襲著“接受定理強化訓(xùn)練回味體會”的方式.這在一定程度上增強了學(xué)生對定理的熟悉程度，并在定理應(yīng)用上感到運用自如.但這種熟練僅僅是一種強化訓(xùn)練后的暫時現(xiàn)象，知識的本身及其遷移只保持在較短的時間內(nèi)，不會給學(xué)習(xí)者留下長久的甚至是終生的印象. 很明顯，課改后勾股定理的學(xué)習(xí)是從實際問題到數(shù)學(xué)問題，再回到實際問題的處理過程，學(xué)生眼中的勾股定理來源于熟悉的背景正方形面積，又用于指導(dǎo)生產(chǎn)、生活.經(jīng)常用數(shù)學(xué)的眼光來審視生活，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，學(xué)生才會逐步具有“數(shù)學(xué)建?！钡哪芰?，才能逐步感悟生活的數(shù)學(xué)性.這不僅是社會發(fā)展的需要，同時也是促進學(xué)生自身發(fā)展

9、的需要.學(xué)生學(xué)習(xí)過程中對定理的探求、現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)現(xiàn)及驗證過程無時不表現(xiàn)著其學(xué)習(xí)的主動性，定理的歸納、結(jié)論的自我認(rèn)同又包含著合作與自由發(fā)展的和諧共鳴.利用課堂教學(xué)、利用教材培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方式，便塑造了其良好的思維方式，促進了學(xué)生和諧、自由、全面、充分的發(fā)展. （四）教學(xué)效果的不同（見下表） 四、兩種教學(xué)對比研究的結(jié)論 （一）新課程前后的教學(xué)各有優(yōu)勢與不足（見下表） （二）新課程中幾何教學(xué)需要注意的幾個方面 1. 探究學(xué)習(xí)不是簡單地布置學(xué)生去探究、去學(xué)習(xí)，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，要讓學(xué)生明確去探究什么，如何探究，要讓學(xué)生的探究活動是有效的、有意義的.新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式

10、：向?qū)W生提供探索情境，提出能提供必需信息的問題學(xué)生采用多種方式尋求問題的答案，獲取信息整理、歸納結(jié)論設(shè)法驗證或解釋. 2. 學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的主動參與要在教師指導(dǎo)督促中形成，不能過高估計學(xué)生的意志、興趣.例如，營造一種和諧、民主的課堂氣氛來提高全體學(xué)生的參與興趣；幫助學(xué)生制訂分段式的小目標(biāo)來增強其成就感，強化其參與意識. 3. 避免合作學(xué)習(xí)流于形式.（1）堅持“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的分組方式，以保證人人有所發(fā)展.（2）教師要加強合作技能的指導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生進行小組分工，要求明確各自在完成共同的任務(wù)中個人承擔(dān)的責(zé)任.（3）及時協(xié)調(diào)組內(nèi)成員間的關(guān)系，有效解決組內(nèi)出現(xiàn)的不利問題.（4）正確評價組內(nèi)成員的成

11、績，尋求個人和小集體共同提高的途徑. 4. 要注重教學(xué)活動目標(biāo)的整體實現(xiàn).新課程中注重對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、能力的提升，注重知識形成過程的教學(xué)，但對一些基本的訓(xùn)練有些淡化，導(dǎo)致整體教學(xué)目標(biāo)不夠均衡.為此，在勾股定理的教學(xué)中，不但要重過程、方法、能力，還要重視相關(guān)的計算和推理，并在計算和推理中學(xué)會數(shù)學(xué)思考，這樣才能把“知識技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”、“情感態(tài)度”多方面教學(xué)目標(biāo)有機結(jié)合，達(dá)到整體實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo). 5. 不能忽視雙基的教學(xué)，要注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握.基礎(chǔ)知識不但是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，還是落實數(shù)學(xué)思想、方法、能力目標(biāo)的載體.數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點

12、”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系. 6. 重視合情推理及演繹推理的教學(xué)和訓(xùn)練.推理教學(xué)要轉(zhuǎn)變并貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.教學(xué)中，教師要設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜想某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力.對于幾何的教學(xué)要加強演繹推理的教學(xué)訓(xùn)練，通過實例讓學(xué)生認(rèn)識到，結(jié)論的正確與否需要演繹推理的證明.當(dāng)然，不同年級可提出不同的要求，但要慢慢加強，訓(xùn)練不斷提高要求，最后形成較高的演繹推理能力. 7. 現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)的教學(xué)手段要強強聯(lián)合.課改中，對現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用得到了足夠的重視，但并不是說傳統(tǒng)的教學(xué)手段就落伍了，它們互有所長，相互補充.對現(xiàn)代信息技術(shù)的運用要合理，如計算器要用在繁瑣的計算上，不能讓簡單的計算也要用到，否則反而削弱了學(xué)生的計算能力，課改中學(xué)生的計算能力的下降與此有直接關(guān)系.對于計算機的應(yīng)用，好鋼要用在關(guān)鍵的地方，在幾何及函數(shù)中的數(shù)、形的變化關(guān)系中，計算機有其他教學(xué)手段無法比擬的優(yōu)勢，對于一節(jié)課的相關(guān)概念及重要法則、公式、定理等還是要發(fā)揮板書的優(yōu)勢，一節(jié)課都體現(xiàn)在黑板中，學(xué)生抬