由一個(gè)高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題引起的思考

1、(1)求函數(shù),的單調(diào)區(qū)間;由一個(gè)高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題引起的思考張麗隨著高中新課程改革的深入，大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入或者介 紹了很多，如選修4部分。而實(shí)際上在必修部分新增的內(nèi)容就已足夠 值得關(guān)注，這些內(nèi)容的變化很有可能是高考試卷今后命題的趨勢(shì)。導(dǎo) 數(shù)部分內(nèi)容就豐富了很多。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及分是函數(shù)的求導(dǎo) 就使得我們的研究范圍不僅僅局限在多項(xiàng)式函數(shù)主要是三次函數(shù)的 系列問(wèn)題。我們還要指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的手段利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單 調(diào)性、極值點(diǎn)，作出函數(shù)的示意圖，通過(guò)直觀化解決超越函數(shù)的有關(guān) 問(wèn)題。另外，隨著高考命題自主化的深入，越來(lái)越多的省和地區(qū)開(kāi)始 嘗試自己命題，而在命題組中高校教師占

2、很重要的地位。 他們?cè)诿} 時(shí)，會(huì)受到自身研究氛圍的影響，有關(guān)高等數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題會(huì)逐漸增 加豐富起來(lái)。函數(shù)圖像的凸凹性，導(dǎo)數(shù)中的拐點(diǎn)，拉格朗日中值定理, 李普希茨條件雖然高考考試沒(méi)有要求學(xué)生掌握但是可以利用已有 的知識(shí)和方法來(lái)解決有關(guān)背景的問(wèn)題。f面本人針對(duì)下面這道高考模擬題談?wù)勊母邤?shù)背景和四種解法。原題/ (x) = x3 + (矛0).已知函數(shù)工(2) 當(dāng)萬(wàn)時(shí)，若(為。(呵.(電)(?！癵是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)隔0，使得巧.工證明：&t氣1 高等數(shù)學(xué)背景本題的高數(shù)背景就是數(shù)學(xué)分析中著名的“ 拉格朗日中值 定理”：定理如果函數(shù)亢)在8上可導(dǎo)，以用上連續(xù)，則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)e 6 (

3、凡”使得。幾何意義：若連續(xù)曲線y=f(x)在a(a,f(a),b(b,f(b)兩點(diǎn)間的 每一點(diǎn)處都有不垂直于 x軸的切線，則曲線在a,b間至少存在一點(diǎn) p(f(4),使得該曲線在p點(diǎn)的切線與割線 ab平行.幾何意義2 初等數(shù)學(xué)解法本題給出一個(gè)具體的函數(shù)模型，而且將拉格朗日中值定理中的條件和結(jié)論進(jìn)行了調(diào)轉(zhuǎn)，一個(gè)從幾何直觀上看起來(lái)理所當(dāng)然 的問(wèn)題，證明起來(lái)卻相當(dāng)困難。很多數(shù)學(xué)優(yōu)等生在它面前束手無(wú)策！這道題可以走“正面”和“反面”兩種路線，直接做有三種方法，間 接做更為簡(jiǎn)單。(1)略;-1（2）解：當(dāng)口一畫(huà)時(shí),八騎二x（工0）工 ，此時(shí)十工）一信+）每-占）【&十玉）-二勺一網(wǎng)從而原等式為2蜘-4

4、=（電十天1）一修后.（m）解法反證法解：假設(shè)餐玉餐，則漢工2 m 玉+勺2用一士r十電_l+得j -這與（派）式矛盾，從而假設(shè)錯(cuò)同理可證綜上,解法二函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，證明在區(qū)間（小演）內(nèi)存在正實(shí)數(shù)%是函數(shù) 的零點(diǎn)。分析本題中涉及“存在”這個(gè)詞語(yǔ)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利2x- -l- (z2 + aj) + 二 0由題意可得不是方程 式 的根，g(x) = 2-4-( + 1) +令工工1% ,g(1)=2網(wǎng)一&十二-一七一/三(西一電)一區(qū)/ 演 齊丙修也1(1 1二(九一馬)1-7二012)11k一重g&)=？/ j一七二一 的)_u町11馬丁西= (/) 1+3 口

5、0 x工一單調(diào)遞增，1 ) ,1 )1(1 )2%2 k 2 =再+的2項(xiàng) 見(jiàn)j 1j公1 玉j)“小點(diǎn)卜。即根據(jù)單調(diào)性定義的逆用,同理，可證”小，因此02十.書(shū),0而 j同理可證士工/，因此四種解法，四個(gè)不同的切入點(diǎn)，對(duì)于訓(xùn)練思維很有幫助，初等數(shù)學(xué)攻破高等數(shù)學(xué)的難關(guān)，最大的難點(diǎn)是突破其抽象性。通過(guò)這個(gè)例題的分析思考，我們可以看出一些問(wèn)題，得出一些結(jié) 論。21世紀(jì)是以知識(shí)的創(chuàng)新和應(yīng)用為重要特征的知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，國(guó) 家發(fā)展越來(lái)越依賴高素質(zhì)的勞動(dòng)者和大量的創(chuàng)新人才。高考要為高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的人才，因此近年來(lái)全國(guó)各地高考試題中以高等數(shù) 學(xué)為背景的“高觀點(diǎn)”中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題“頻頻登場(chǎng)”。這些高考題、模

6、擬題的命制選取有著高等數(shù)學(xué)背景的定理。這些看起來(lái)抽象、高深的 定理下放到中學(xué)試卷中，用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解答，往往蘊(yùn)含著豐富 的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于訓(xùn)練思維非常有益處。一、中學(xué)數(shù)學(xué)老師學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀：隨著基礎(chǔ)教育課程改革的深入展開(kāi)，中學(xué)教師在實(shí)施層面遇到的 問(wèn)題或困惑會(huì)越來(lái)越多.在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們往往只重視對(duì)教 學(xué)方法和解題思路的研究，而不注重高等數(shù)學(xué)知識(shí)的再學(xué)習(xí)和積累.有些老師對(duì)新課程理解不到位，對(duì)教材的重難點(diǎn)缺少把握或理解錯(cuò) 誤；這些都取決與大多數(shù)中學(xué)老師不注重對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，想要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能 力，就必須用更高深的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)武裝自己， 把自身

7、掌握的高數(shù)知識(shí) 融入到中學(xué)數(shù)學(xué)教育中.這就使得“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”不僅是高 師數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)改革的一個(gè)迫切任務(wù)，而且是新課改形勢(shì)下中學(xué)數(shù) 學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)主流方向.高等數(shù)學(xué)不僅是中學(xué)的延拓，也是現(xiàn)代 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于中學(xué)是有意義的.二、新課程實(shí)施初期高觀點(diǎn)下試題的命制存在的主要問(wèn)題高觀點(diǎn)下試題的命制是以“高觀點(diǎn)”下的現(xiàn)代數(shù)學(xué)來(lái)命制中學(xué)數(shù) 學(xué)的一種新的命制模式.而一般人認(rèn)為，所謂命題就是找一些專家， 拿一些題目，組合一下就成了試卷，而目我省的高觀點(diǎn)下試題的編制 題基本上也還停留在尋找與高等中數(shù)中的舊題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼铣?一份卷子的水平，還缺乏進(jìn)一步的研究與探索。三、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義1

8、 .學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有利于加深對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)和體系的理 解中學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)是根據(jù)中學(xué)生的年齡特征 ，遵循量力性、可 接受性和循序漸進(jìn)等原則來(lái)編寫(xiě).因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教材在某些方面就 必須忽略邏輯嚴(yán)密性和系統(tǒng)性.但是對(duì)于老師而言，就不能也只按教 材安排的理解，老師應(yīng)該有更高層次的學(xué)習(xí).而 “高等數(shù)學(xué)”能夠 使我們準(zhǔn)確把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵，從而高屋建甑地處理中學(xué) 教材.2 .學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有利于提升對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)從概念的發(fā)生、命題的形成到公理、定理的獲得 ，無(wú) 不折射出數(shù)學(xué)思想的靈光.中學(xué)數(shù)學(xué)的問(wèn)題基于基礎(chǔ)知識(shí)之上，問(wèn) 題的提出和問(wèn)題本身都隱藏著深遽的思想和方法.解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題

9、最重要的不在于問(wèn)題的結(jié)果，而在于一種思想或方法的挖掘.數(shù)學(xué) 思想方法是數(shù)學(xué)的核心.數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶是暫時(shí)的，數(shù)學(xué)思想方法的 掌握是長(zhǎng)遠(yuǎn)的.初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的思想、方法存在著直與曲、常 與變、有限與無(wú)限、問(wèn)斷與連續(xù)等統(tǒng)一的一面.準(zhǔn)確的說(shuō)，初等數(shù)學(xué) 思想方法是高等數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)單體現(xiàn)，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).假如沒(méi)有高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對(duì)于很多數(shù)學(xué)思想或方法應(yīng)該是模棱兩可，只能是在套題型解題，而不能從本質(zhì)上領(lǐng)會(huì)某種數(shù)學(xué)思想 .3 .學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)有利于把課堂上活初等數(shù)學(xué)經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：0為什么作為第一個(gè)自然數(shù)？三角形內(nèi)角和為什么為什么不存在？自然對(duì)數(shù)為什么以e為底 等等.這些對(duì)于中學(xué)生未必須搞清

10、楚的問(wèn)題 ，中學(xué)數(shù)學(xué)教師則必須 利用數(shù)學(xué)史和高等數(shù)學(xué)知識(shí)，弄清楚其中道理，并給予學(xué)生科學(xué)、 通俗、有趣的回答.可以避免在課堂上出現(xiàn)被學(xué)生難倒的情況，可以 用科學(xué)的方式來(lái)解釋學(xué)生提出的問(wèn)題，而不是搪塞學(xué)生或因?yàn)樽约翰?知道而輕易否定學(xué)生的結(jié)論，抹殺學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。4 .學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有利于編出一些好題縱觀琳瑯滿目的中學(xué)數(shù)學(xué)教輔類用書(shū)，有相當(dāng)一部分例題與習(xí)題 是輾轉(zhuǎn)的.很多老師乃至命題者只是簡(jiǎn)單的把一個(gè)題目從一處搬往另 一處或者只是做簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)變型.事實(shí)上，我們完全可以根據(jù)高校中 所學(xué)的專業(yè)知識(shí)編一些不脫離中學(xué)實(shí)際且富有新意的習(xí)題.五.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有利于糾正一些常規(guī)錯(cuò)誤很多老師由于缺乏高數(shù)知識(shí)，傳

11、授很多錯(cuò)誤的思想給學(xué)生 .他們 只憑自己理所當(dāng)然的想法就輕易的下結(jié)論或否定一個(gè)結(jié)論，這樣的負(fù)面影響是很大的.但假如老師能掌握一些高數(shù)知識(shí)，就可以避免很多 錯(cuò)誤。四、對(duì)中學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)想法1 .對(duì)學(xué)生而言，要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣要改變學(xué)生過(guò)去對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)死記硬背、生搬硬套的學(xué)習(xí)方式，轉(zhuǎn) 化為對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和公式能有深刻的理解和牢固掌握且具備運(yùn)用 數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.過(guò)去的題海戰(zhàn)術(shù)已經(jīng)是不可能 在高考上取勝.純粹的接受性學(xué)習(xí)在面對(duì)“高觀點(diǎn)題”時(shí)，是無(wú)能為 力的！只有將研究性學(xué)習(xí)內(nèi)化成一種潛意識(shí)的行為， 探究精神與創(chuàng)新 能力成為學(xué)習(xí)的一種至高境界，在遇到“高觀點(diǎn)題，時(shí)，才能冷靜 分析

12、、準(zhǔn)確解答.2 .對(duì)于從事中學(xué)數(shù)學(xué)的教育者，掌握高等數(shù)學(xué)的知識(shí)是不容置疑 的對(duì)老師而言，用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)去統(tǒng)一初等數(shù)學(xué)的松散體系， 用 高等數(shù)學(xué)的思想方法去總結(jié)初等數(shù)學(xué)的解題規(guī)律， 用高等數(shù)學(xué)的理論 對(duì)初等數(shù)學(xué)做新推廣和深發(fā)展.用較高的觀點(diǎn)研究初等數(shù)學(xué)，分析研 究初等數(shù)學(xué)的重要概念、思想和方法、多運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法解釋一 些初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題.研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，結(jié)合現(xiàn)代數(shù) 學(xué)的思想，加強(qiáng)挖掘中學(xué)教材中背后隱藏的知識(shí)， 盡可能避免在課堂 出現(xiàn)被學(xué)生問(wèn)倒的情況.只有這樣才能做好教書(shū)育人工作.而且應(yīng)該 盡可能地站在較高的觀點(diǎn)上俯視中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容， 并在日常教學(xué)中注 意編擬以高等數(shù)學(xué)為背景的

13、題目，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、開(kāi)闊學(xué) 生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)以及適應(yīng)以后的大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常 有益的.3 .對(duì)于教育部門而言，應(yīng)該重視對(duì)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)教育部門應(yīng)組織一線教師對(duì)于高等數(shù)學(xué)的再學(xué)習(xí)，為一線教師的再學(xué)習(xí)提供條件很營(yíng)造學(xué)習(xí)氛圍.可以組織培訓(xùn)和深造學(xué)習(xí).也應(yīng)該 加大力度考察老師掌握高等代數(shù)的情況.4 .對(duì)于高校選拔人才而言是一個(gè)很好的平臺(tái)高校招考制度是基礎(chǔ)教育的“指揮棒”，對(duì)于基礎(chǔ)教育具有根本 的導(dǎo)向作用.增設(shè)這個(gè)專題，可以為高校選拔人才的有了新的方式.這個(gè)專題可以擺脫“知識(shí)單一化”高考模式，擺脫忽略實(shí)踐能力的培 養(yǎng)的教學(xué)模式，以及降低高分低能的現(xiàn)象.可以為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)提 供具體的知識(shí)固著點(diǎn)和思維的搭載體，為他們將來(lái)在大學(xué)系統(tǒng)學(xué)習(xí)