概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章補充題及答案

1、統(tǒng)計學(xué)院 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 補充題概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二單元補充題 一、 填空題： 1、函數(shù)為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的充要條件是2、隨機變量的分布律為，則的分布律為_,2X+1的分布律為_3、設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則隨機變量的分布律為4、設(shè)離散型隨機變量X的分布律為 k=1, 2, 3,，則c= .5、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為，則P(0X3/4)= .6、隨機變量，則，7、隨機變量的分布律為，則，8、隨機變量服從上的均勻分布，且，則9、已知隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布，則，二、選擇題： 1、下列命題正確的是 。（ A ）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù) （ B ）連續(xù)型隨機變

2、量的密度函數(shù) （ C ）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù) （ D ）兩個概率密度函數(shù)的乘積仍是密度函數(shù)2、設(shè)與分別為隨機變量與的分布函數(shù)，則為使是某隨機變量的分布函數(shù)，下列結(jié)果正確的是_（ A ） （ B ） ( C ） （ D ） 三、計算題 1、已知隨機變量只能取-1,0,1,2四個值, 相應(yīng)概率依次為, 確定常數(shù)c并計算P1|0.2、已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).3、設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為:求：（1）、系數(shù)A; （2）、P(0.30.7);（3）、 概率密度(x).4、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)用Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，求（1）PY=2；（2）

3、PY1.5、已知離散型隨機變量的概率分布為，求隨機變量的分布律和分布函數(shù).6、（1）、已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為，求X的分布函數(shù)。（2）、已知隨機變量X的分布函數(shù)為另有隨機變量試求Y的分布律和分布函數(shù)。7、甲、乙二人輪流投籃，每人一次，甲先開始，直到有一人投中為止，假定各人投中與否互不影響，已知二人投籃的命中率分別為0.7和0.8。記Y表示二人投籃的總次數(shù)。（1）求Y的分布律；（2）問誰先投中的可能性大？8、假設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1，；在事件“|X|1”發(fā)生的條件下，X在（-1，1）內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù).9.一個人在一年中患感冒的次數(shù)服從

4、參數(shù)為的Poisson分布現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效顯著）；對37%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效一般）；而對于其余的人來講則是無效的現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概率有多大？四、問答題 1、隨機變量與普通函數(shù)有何不同？引入隨機變量有何意義？2、隨機變量的分布函數(shù)有什么意義？3、連續(xù)型隨機變量的與離散型隨機變量的在概率中的意義是否相同？4、為什么不能說明X=a是不可能事件？5、不同的隨機變量，它們的分布函數(shù)是否一定不同？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二單元補充題參考答案一、填空題： 1、函數(shù)為連續(xù)型隨機變量

5、的概率密度函數(shù)的充要條件是（1） （2）2、隨機變量的分布律為，則的分布律為,2X+1的分布律為3、設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則隨機變量的分布律為4、設(shè)離散型隨機變量X的分布律為 k=1, 2, 3,，則c= 0.5 .5、設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為，則P(0X3/4)= 1/2 6、隨機變量，則，7、隨機變量的分布律為，則，8、隨機變量服從上的均勻分布，且，則9、已知隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布，則，二、選擇題： 1、下列命題正確的是 C 。（ A ）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù) （ B ）連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù) （ C ）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù) （ D ）兩個概率

6、密度函數(shù)的乘積仍是密度函數(shù)2、設(shè)與分別為隨機變量與的分布函數(shù)，則為使是某隨機變量的分布函數(shù)，下列結(jié)果正確的是_A_（ A ） （ B ） ( C ） （ D ） 二、 計算題 1、已知隨機變量只能取-1,0,1,2四個值, 相應(yīng)概率依次為, 確定常數(shù)c并計算P1|0.解: 根據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)有即得設(shè)事件A為1, B為0, (注: 如果熟練也可以不這樣設(shè))則.2、已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).解: ；因為連續(xù)型隨機變量, 因此取任何點的概率均為零, 所以P=0.5=0；現(xiàn)在求F(x): 當(dāng)x0時, F(x)=0當(dāng)0x1時, 當(dāng)x1時, F(x)=1綜上所述, 最后得:3、設(shè)連續(xù)

7、型隨機變量的分布函數(shù)為:求：（1）、系數(shù)A; （2）、P(0.30.7);（3）、 概率密度(x).解: （1）因是連續(xù)型隨機變量, 因此F(x)必是連續(xù)曲線, 則因此A12=1, 即A=1. （2）則分布函數(shù)為P(0.30.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4（3）概率密度(x)為4、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)用Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，求（1）PY=2；（2）PY1解：首先可計算得到 由題意知Yb（3，）所以（1） （2）5、已知離散型隨機變量的概率分布為，求隨機變量的分布律和分布函數(shù)解：由于因此，Y的分布律為：，易計算，它的分布

8、函數(shù)為。6、（1）、已知隨機變量X的概率密度函數(shù)為，求X的分布函數(shù)。（2）、已知隨機變量X的分布函數(shù)為另有隨機變量試求Y的分布律和分布函數(shù)。解： （1）由于 所以 所以（2）易知于是Y的分布律為-11分布函數(shù)為7、甲、乙二人輪流投籃，每人一次，甲先開始，直到有一人投中為止，假定各人投中與否互不影響，已知二人投籃的命中率分別為0.7和0.8。記Y表示二人投籃的總次數(shù)。（1）求Y的分布律；（2）問誰先投中的可能性大？解：易知PY=1=0.7 PY=2=0.30.8 PY=3=0.30.20.7 PY=4=0.320.20.8所以：（1）分布律：（2）甲先投中的可能性大8、假設(shè)隨機變量X的絕對值不大

9、于1，；在事件“|X|1”發(fā)生的條件下，X在（-1，1）內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比，求X的分布函數(shù)解：當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)由于當(dāng)時， 有 即當(dāng) 9.一個人在一年中患感冒的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效顯著）；對37%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效一般）；而對于其余的人來講則是無效的現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概率有多大？解：設(shè)， ，則 四、問答題 1、隨機變量與普通函數(shù)有何不同？引入隨機變量有何意義？答：隨機變量是在隨機試驗的樣本空間S上，對每一個，

10、給予一個實數(shù)X（e）與之對應(yīng)而得到的一個實值單值函數(shù)。從定義可以認識到：普通函數(shù)的取值是按一定法則給定的，而隨機變量的取值是由統(tǒng)計規(guī)律性給出的，具有隨機性；又普通函數(shù)的定義域是一個區(qū)間，而隨機變量的定義域是樣本空間。這兩點是二者的主要區(qū)別。引入隨機變量是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的需要。為了便于數(shù)學(xué)推理和計算，有必要將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論與方法來研究隨機試驗，研究和分析其結(jié)果的規(guī)律性，因此，隨機變量是研究隨機試驗的重要而有效的工具。2、隨機變量的分布函數(shù)有什么意義？答：分布函數(shù)給出了隨機變量X的取值不大于實數(shù)x的概率，而X在任意區(qū)間上的概率也可用分布函數(shù)表出，即。因

11、此分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。 另一方面，分布函數(shù)是一個普通函數(shù)，因此可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論和方法加以研究和分析，認識問題。概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是通過隨機變量和分布函數(shù)兩個工具來全面研究認識隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的。3、連續(xù)型隨機變量的與離散型隨機變量的在概率中的意義是否相同？答：相同。在離散型隨機變量X中，隨機變量X的取值點是離散的點，是X取某一時的概率。而在連續(xù)型隨機變量X時，X取某一x時的概率為零；在小區(qū)間上的概率為，由定積分中值定理有。當(dāng)對連續(xù)型隨機變量離散化時，與的意義是相同的，同樣描述了隨機變量的分布情況。4、為什么不能說明X=a是不可能事件？答：因為，若，則有兩種可能。對離散型隨機變量，時，X=a必然