直線的對稱問題[共19頁]

1、1 邊城高級中學(xué)邊城高級中學(xué) 張秀洲張秀洲 1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱 2、直線關(guān)于點(diǎn)對稱、直線關(guān)于點(diǎn)對稱 3、點(diǎn)關(guān)于直線對稱、點(diǎn)關(guān)于直線對稱 4、直線關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱 對稱問題對稱問題 中心對稱問題中心對稱問題 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱 線關(guān)于點(diǎn)的對稱線關(guān)于點(diǎn)的對稱 軸對稱問題軸對稱問題 點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)關(guān)于線的對稱 線關(guān)于線的對稱線關(guān)于線的對稱 軸對稱軸對稱中心對稱中心對稱 有一條對稱軸有一條對稱軸 :直線直線 有一個對稱中心有一個對稱中心:點(diǎn)點(diǎn) 定定 義義 沿軸翻轉(zhuǎn)沿軸翻轉(zhuǎn)180繞中心旋轉(zhuǎn)繞中心旋轉(zhuǎn)180 翻轉(zhuǎn)后重合翻轉(zhuǎn)后重合 旋轉(zhuǎn)后重合旋轉(zhuǎn)后重合 性性 質(zhì)質(zhì) 1、

2、兩個圖形是全等形、兩個圖形是全等形 2、對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連、對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連 線的垂直平分線線的垂直平分線 3、對稱線段或延長線相、對稱線段或延長線相 交，交點(diǎn)在對稱軸上交，交點(diǎn)在對稱軸上 1、兩個圖形是全等形、兩個圖形是全等形 2、對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過、對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過 對稱中心，并且被對稱對稱中心，并且被對稱 中心平分。中心平分。 一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱 例例1. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(5,8) ，B(-4 ，1) ，試求，試求A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)點(diǎn) 的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)：中點(diǎn)公式的運(yùn)用中點(diǎn)公式的運(yùn)用 A C B x y OC(-13，-6) -4= 5+x 2

3、 1= 8+y 2 解解:設(shè)設(shè)C(x,y) 則則得得 x=-13 y=-6 二、點(diǎn)關(guān)于直線對稱二、點(diǎn)關(guān)于直線對稱 例例2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-4,4)，直線，直線l l 的方程為的方程為3x+y- 2=0,求點(diǎn)求點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l l 的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)： k kAA = -1 AA中點(diǎn)在中點(diǎn)在l l 上上 A A y x O (x，y) (2，6)-3 y-4 x-(-4) =-1 3 -4+x 2 + 4+y 2 -2=0 解：設(shè)解：設(shè) A （x,y) （l為對稱軸）為對稱軸） 例例3.求直線求直線l l 1 1 : : 3x-y-4=0

4、關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(2,-1)對稱的直線對稱的直線l l 2 2的方程。的方程。 三、直線關(guān)于點(diǎn)對稱三、直線關(guān)于點(diǎn)對稱 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)： 法一：法一： l l 2 2上的任意一點(diǎn)的上的任意一點(diǎn)的對稱點(diǎn)在對稱點(diǎn)在l l 1 1上上; 法二：法二： L1L2 點(diǎn)斜式或?qū)ΨQ兩點(diǎn)式點(diǎn)斜式或?qū)ΨQ兩點(diǎn)式 法三：法三： l l 1 1 / l / l 2 2且且P到兩直線等距。到兩直線等距。 解解 ：設(shè)：設(shè)A(x，y)為為l2上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) 則則A關(guān)于關(guān)于P的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)A在在l1上上 3(4-x)-(-2-y)-4=0 即直線即直線l 2的方程為的方程為3x-y-10=0 A l2 l1 y x O

5、 PA 四、直線關(guān)于直線對稱四、直線關(guān)于直線對稱 例例4. 試求直線試求直線l1:x-y+2=0關(guān)于直線關(guān)于直線 l2:x-y+1=0 對稱的直線對稱的直線l 的方程。的方程。 l2 l1 l 解：設(shè)解：設(shè)l方程為方程為x-y+m=0 則則 與與 距離等于距離等于 與與 距離距離l1l2 l2 l 建立等量關(guān)系，解方程求建立等量關(guān)系，解方程求m x o y ，上取一點(diǎn)：在直線) 02(042 1 Ayxl 1 l l 2 l E 解解法法一一： . A )( 00 yxBlA，的對稱點(diǎn)關(guān)于設(shè) 0143 042 yx yx 由 )23( 1 ，交點(diǎn)與得Ell 2 3 y x 上也在直線，則 2

6、)23(lE 01 2 0 4 2 2 3 3 4 2 0 00 0 0 yx x y 則 ) 5 8 5 4 (，B . B 5 4 3 3 ) 5 8 (2 )2( 2 x y l的方程為：故直線 .016112yx即 . 0143042 2 1 的方程對稱的直線 ：關(guān)于直線：求直線 l yxlyxl5例例 ： 10 . 0143042 2 1 的方程對稱的直線 ：關(guān)于直線：求直線 l yxlyxl5例例 ： 解解法法二二： 1 l l 2 l E )( )( 2 yxPlP lyxP ，的對稱點(diǎn)關(guān)于 上任一點(diǎn)，為直線，設(shè) . P . P 01 2 4 2 3 5 4 yy xx xx y

7、y 則 25 8724 25 6247 yx y yx x 上：在直線，042)( 1 yxlyxP 04 2 8724 25 6247 2 yxyx .016112 2 的方程為所求直線即lyx 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn)：(先判斷兩直線位置關(guān)系先判斷兩直線位置關(guān)系) （1）若兩直線相交，先求交點(diǎn)）若兩直線相交，先求交點(diǎn)P, 再在再在 上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)Q求其對稱點(diǎn)得另一點(diǎn)求其對稱點(diǎn)得另一點(diǎn)Q 兩點(diǎn)式求兩點(diǎn)式求L方程方程 L1 求求 關(guān)于關(guān)于 的對稱直線的對稱直線L的方程的方法的方程的方法L1 L2 則則 與與 距離等于距離等于 與與 距離距離L1L2 L2 L 建立等量關(guān)系，解方程求建立等量關(guān)系，解方

8、程求m (2)若若 ，設(shè)，設(shè)L方程為方程為x-y+m=0 L1L2 （一）常見的對稱點(diǎn)結(jié)論（一）常見的對稱點(diǎn)結(jié)論 1. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 ; 2. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為 ; 3. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為軸的對稱點(diǎn)為 ; 4. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為軸的對稱點(diǎn)為 ; 5. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為 ; 6. 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于y= -x的對稱點(diǎn)為的對稱點(diǎn)為 ; ),(ba(-a,-b) ),(ba ),(nm (2m-a,2n-b) ),(ba ),(ba ),(ba ),(ba (a,-b) (b,a) (-b,-a) (-

9、a,b) 三、規(guī)律方法：三、規(guī)律方法： ()0AxByC ()0AxByC 0BxAyC 1. 直線關(guān)于原點(diǎn)的對稱直線的方程為直線關(guān)于原點(diǎn)的對稱直線的方程為: 2.直線關(guān)于直線關(guān)于x軸的對稱直線的方程為軸的對稱直線的方程為: 3.直線關(guān)于直線關(guān)于y軸的對稱直線的方程為軸的對稱直線的方程為: 4.直線關(guān)于直線直線關(guān)于直線y=x的對稱直線的方程為的對稱直線的方程為: 5.直線關(guān)于直線直線關(guān)于直線y= -x的對稱直線的的對稱直線的 方程為方程為 ()()0AyBxC ()()0AxByC （二）常用的對稱直線結(jié)論（二）常用的對稱直線結(jié)論: 0CByAxl的方程為設(shè)直線 .02:)2( )3 , 5(

10、) 1 ( , 33:1 21 llyxl lA xyl 對稱的直線方程關(guān)于直線求直線 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于直線點(diǎn) 求、已知直線練習(xí) P / P ),(1 / yxA）設(shè)解（ lAA / 3 1 3 5 x y 距離相等到直線與又lAA / 上中點(diǎn)在直線即lAA/ 3 2 5 3 2 3 xy 6, 4yx解得 )6 , 4( / A P / P 一點(diǎn)任意上是直線設(shè) ),()2( 2 lyxP 點(diǎn)的對稱關(guān)于直線是點(diǎn) 33),( / xyPyxP lPP / 3 1 / PP k所以 3 1 / / xx yy 即 上的中點(diǎn)在直線又33 / xyPP 3 2 3 2 / xxyy .02:)2(

11、 )3 , 5() 1 ( , 33:1 21 llyxl lA xyl 對稱的直線方程關(guān)于直線求直線 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于直線點(diǎn) 求、已知直線練習(xí) P / P 3 1 / / xx yy 即3 2 3 2 / xxyy 5 343 5 934 / / yx y yx x 上在直線02),( / yxyxP 02 5 343 5 934 yxyx 0227 yx整理得： .02:)2( )3 , 5() 1 ( , 33:1 21 llyxl lA xyl 對稱的直線方程關(guān)于直線求直線 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于直線點(diǎn) 求、已知直線練習(xí) P / P ）方法二：解（2 的角相等到的角與直線到直線直線 21 llll 2 2 31 3 131 13 k k 7 2 k ) 2 9 , 2 5 ( 1 的交點(diǎn)坐標(biāo)為與又直線ll 0227 2 yxl 方程為 .02:)2( )3 , 5() 1 ( , 33:1 21 llyxl lA xyl 對稱的直線方程關(guān)于直線求直線 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；關(guān)于直線點(diǎn) 求、已知直線練習(xí) 線所在直線方程。，求入射光線和反射光光線通過點(diǎn) 反射，若反射經(jīng)直線光線通過練習(xí) )8 , 5( 072:)4 , 2(:2 B yxlA x0 y B A / B ),( / yxBlB