北京市東城區(qū)示范校高三上學(xué)期綜合能力測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、北京市東城區(qū)普通高中示范校2015屆上學(xué)期高三年級(jí)綜合能力測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷分第i卷和第ii卷兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。第i卷（選擇題 共40分）一、選擇題。（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。） 1. 設(shè)u=r，集合，則下列結(jié)論正確的是a. b. c. d. 2. 雙曲線的焦距為a. 6b. 12c. 36d. 3. 設(shè)二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為a，則a=a. -6b. -4c. 4d. 6 4. 如圖所示的程序框圖表示求算式“”之值，則判斷框內(nèi)不能填入a. ？b. c. ？d. ？ 5. 已知有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

2、的值為a. 0b. -1c. -2d. -3 6. 設(shè)為非零常數(shù)，則“與解集相同”是“”的a. 既不充分也不必要條件b. 充分必要條件c. 必要而不充分條件d. 充分而不必要條件 7. 設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 8. 已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 第ii卷（非選擇題 共110分）二、填空題。（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分） 9. 復(fù)數(shù)的虛部為_。 10. 已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖中的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：），可得這個(gè)幾何體的體積是_。 11. 如圖，abc內(nèi)接于o，點(diǎn)d在oc的延長(zhǎng)線上，a

3、d與o相切，割線dm與o相交于點(diǎn)m，n，若b=30，ac=1，則dmdn=_。 12. 某市電信寬帶私人用戶月收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：假定每月初可以和電信部門約定上網(wǎng)方案。方案類別基本費(fèi)用超時(shí)費(fèi)用甲包月制70元乙有限包月制（限60小時(shí)）50元0.05元/分鐘（無上限）丙有限包月制（限30小時(shí)）30元0.05元/分鐘（無上限）若某用戶每月上網(wǎng)時(shí)間為66小時(shí)，應(yīng)選擇_方案最合算。 13. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_。 14. 圓o的半徑為1，p為圓周上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖裝置的邊長(zhǎng)為1的正方形（實(shí)線所示，正方形的頂點(diǎn)a與點(diǎn)p重合）沿圓周順時(shí)針滾動(dòng)，經(jīng)過若干次滾動(dòng)，點(diǎn)a第一次回到點(diǎn)p的位置，則點(diǎn)a

4、走過的路徑的長(zhǎng)度為_。三、解答題。（本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明，證明過程和演算步驟） 15. （本小題滿分13分）在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為，滿足，且。（i）求c的大??；（ii）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角a，b的值。 16. （本小題滿分13分）如圖，四棱錐中，pa平面abcd，abc=bad=90，ad=2pa=2ab=2bc=2。（i）求三棱錐的外接球的體積；（ii）求二面角與二面角的正弦值之比。 17. （本小題滿分13分）設(shè)集合，從s的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)。（i）設(shè)，若，則，就稱子集a滿足性質(zhì)，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)的概率；（ii）所

5、取出的非空子集的最大元素為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 18. （本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為f（，0），過點(diǎn)m（-3，0）作一條斜率大于0的直線與橢圓w交于不同的兩點(diǎn)a、b，延長(zhǎng)bf交橢圓w于點(diǎn)c。（i）求橢圓w的離心率；（ii）若mac=60，求直線的斜率。 19. （本小題滿分13分）已知定義在上的函數(shù)，。（i）求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于（3，4）；（ii）若且對(duì)任意的恒成立，求的最大值。 20. （本小題滿分14分）給定正奇數(shù)，數(shù)列：是1，2，的一個(gè)排列，定義e（，）為數(shù)列：，的位差和。（i）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列：1，3，4，2，5的位差和；（ii）若位差和e（，）=4，求滿足

6、條件的數(shù)列：，的個(gè)數(shù)；（iii）若位差和，求滿足條件的數(shù)列：的個(gè)數(shù)。參考答案：一、選擇題。（共8小題，每小題5分，共40分） 1. a2. b3. b4. d5. b6. a7. c8. d 7. 提示：由圖可知，不等式組所表示的區(qū)域非空當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)（）位于直線的下方，即，由此解得。原題等價(jià)于函數(shù)的最大值小于2，即。 8. 提示：為r上的減函數(shù)，故，從而，所以，得。二、填空題。（共6小題，每小題5分，共30分） 9. -110. 11. 312. 乙 13. 14. 提示：a走過的路徑由9段圓心角均為的劣弧組成，其中6個(gè)劣弧所在圓的半徑為1，3個(gè)劣弧所在圓的半徑為，所以點(diǎn)a走過的路徑的長(zhǎng)度為。三

7、、解答題。（共6小題，共80分） 15. （本小題滿分13分）解：（i）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，（4分）因?yàn)?，所?，從而，即。（6分）（ii）由余弦定理，得，又，所以，于是，（11分）當(dāng)時(shí)，取到最大值。（13分） 16. （本小題滿分13分）解：（i）連接ac，則accd，又pa平面abcd，pacd，cd平面pac，又pc平面pac，pcd=90，（2分）而pad=90，從而三棱錐p-acd外接球的球心為pd中點(diǎn)e。（4分）直徑，所以三棱錐p-acd外接球的體積。（6分）（ii）建立坐標(biāo)系，以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向，則b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0

8、），p（0，0，1）。設(shè)平面pbc的法向量，則即=（1，0，1）由（i）知cd平面pac，故平面pac的一個(gè)法向量為=（-1，1，0），（8分）所以。二面角b-pc-a的大小為，其正弦值為，（10分）由cd平面pac，得平面pcd平面pac，二面角a-pc-d為直二面角，其正弦值為1，（12分）綜上，二面角bpca與二面角apcd的正弦值之比為。（13分） 17. （本小題滿分13分）解：可列舉出集合s的非空子集的個(gè)數(shù)為：個(gè)。（2分）（i）滿足性質(zhì)的非空子集為：，共7個(gè)，所以所取出的非空子集滿足性質(zhì)的概率為：。（6分）（ii）的可能值為1，2，3，4，5。12345p（11分）。（13分） 1

9、8. （本小題滿分14分）解：（i）由題設(shè)，解得，（3分）所以橢圓w：，離心率。（5分）（ii）設(shè)直線的方程為。聯(lián)立得，由直線與橢圓w交于a、b兩點(diǎn)，可知，解得，設(shè)點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為，則，（8分）因?yàn)閒（-2，0），設(shè)點(diǎn)a關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為c，則c（），所以，又因?yàn)?，所以b，f，c共線，從而c與c重合，連接mc，則，（12分）則mac為等邊三角形，所以直線的斜率，符合，綜上，直線的斜率為。（14分） 19. （本小題滿分13分）解：（i），則，故在上單調(diào)遞增，（3分）而，所以存在唯一的零點(diǎn)。（6分）（ii）由（i）存在唯一的零點(diǎn)顯然滿足：，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，設(shè)。則，故與同號(hào)，因此當(dāng)

10、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（10分）故，由題意有，又，而，故的最大值是3。（13分） 20. （本小題滿分14分）解：（i）e（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（ii）若數(shù)列：，的位差和e（，）=4，有如下兩種情況：情況一：當(dāng)，且，其他項(xiàng)（其中）時(shí)，有種可能；（5分）情況二：當(dāng)分別等于，或，或，其他項(xiàng)（其中）時(shí)，有種可能；（7分）綜上，滿足條件的數(shù)列：的個(gè)數(shù)為。（8分）例如：時(shí)， 情況一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3種：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情況二：形如3，2，1，

11、4，5，共有5-2=3種：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3種：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3種：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（iii）將去絕對(duì)值符號(hào)后，所得結(jié)果為112233的形式，其中恰好有個(gè)數(shù)前面為減號(hào)，這表明，（10分）此不等式成立是因?yàn)榍懊鏋闇p號(hào)的個(gè)數(shù)最小為：2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)和1個(gè)。（11分）上面的討論表明，題中所求的數(shù)列是使得e（）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在時(shí)，要求從1，2，中任選一個(gè)數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的個(gè)數(shù)的

12、排列作為，的對(duì)應(yīng)值，較小的個(gè)數(shù)的排列作為，的對(duì)應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個(gè)數(shù)為。綜上，滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為（14分）例如：時(shí)，e（）。此不等式成立是因?yàn)榍懊鏋闇p號(hào)的5個(gè)數(shù)最小為：2個(gè)1，2個(gè)2和1個(gè)3。若e（）=12，此時(shí)時(shí)，要求從1，2，3，4，5中任選一個(gè)數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的2個(gè)數(shù)的排列作為，的對(duì)應(yīng)值，較小的2個(gè)數(shù)的排列作為的對(duì)應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個(gè)數(shù)為。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。題目背景：假設(shè)現(xiàn)在有種物品，已經(jīng)按照某種標(biāo)準(zhǔn)排列，并依次確定編號(hào)為1，2，鑒別師事先不知道物品的標(biāo)準(zhǔn)排列編號(hào)，