RLC串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路諧振時的特性

1、12-3諧振電路含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡，在某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流波形相位 相同的情況時，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的 電路，稱為諧振電路。諧振電路在電子和通信工 程中得到廣泛應用。本節(jié)討論最基本的串聯(lián) 和并聯(lián)諧振電路諧振時的特性。一、RLC串聯(lián)諧振電路圖12 - 15(a)表示REC串聯(lián)諧振電路，圖12 - 15(b)是它的相量模型，由此求出驅(qū)動點阻抗為圖 12-15i RLo iiIO AR41+uC 二u1 Jjec-(a)(b)uZ(j* =1=R + j (譏)二 I Z (j )丨 Z e 佃)(12-24)coC其中I Z(j) 1= J/?2 + L 丄)

2、2(12 - 25)VcoC1co L 0co) - arctan( )(12 一 26)i RLo I1rrvs+uC 二I Ro a 11+2u二jeC(a)(b)1.諧振條件當 3 L 二 0，即 3 二-J 時，伏 0=0,3 CyJLC|Z(JQI=&電壓(/)與電流迫)相位相同,軋路發(fā)生諧振。也就是說，RLC串聯(lián)電路的諧振條件為1co = ) /(12 27 )Jlc式中w= TlF 稱為電路的固有諧振角頻率。當電路激勵信號的頻率與諧振頻率相同時，電路發(fā)生諧振。用頻率表示的諧振條件為f = f0=U-(12-28)2兀LCRLC串聯(lián)電路在諧振時的感抗和容抗在量值上相等,其值稱為諧振

3、電路的特性阻抗，用Q表示，即p = 0L = =-(12 - 29)coQC V c(a)2諧振時的電壓和電流RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時，阻抗的電抗分量1X =3 o L = 0(a) 0C導致Zg。)= R (12-30)即阻抗呈現(xiàn)純電阻，達到最小值。若在端口上外加電壓源，則電路諧振時的電流為以以/ = = (12 -31)Z R電流達到最大值，且與電壓源電壓同相。此時電阻. 電感和電容上的電壓分別為UR = RI = us(8-32) CD 丄叭=0LI = QUS (8 33)Ruc = i = -jUs=-QUs(8-34)jcoQCa)()RC其中co nL1p0=o=J(835)Rc

4、o qRCR0稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其數(shù)值等于諧振時感抗或容抗與電阻之比。(a)(b)Uc圖 12-16從以上各式和相量圖可見，諧振時電阻電壓與電壓源 電壓相等,UR= us o電感電壓與電容電壓之和為零， 即t/L +/c = 0 ,且電感電壓或電容電壓的幅度為電壓源 電壓幅度的0倍，即UL = UC = QU s = QU R (12-36)若則t7L=/ct/s=t/R,這種串聯(lián)電路的諧振稱為電壓諧振。RR(b)3諧振時的功率和能量 設(shè)電壓源電壓為Us(t)=UsnOS(D0t),貝U：Upi=Im cos(吋)=cos(如)RWL(O = QU Sm cos(0r + 90)g

5、=叫=QU Sm cos(0z + 90)乂)丿RL4-M=0半 C 丫()w=0(a)電感和電容吸收的功率分別為:Pl =QU Smm cosOo。cos( 67 + 90) = -QU SI sin( 2%) Pc =-Pl =QU SI sin( 2%)由于u(t)=uL(t)+uc(t)=0 (相當于虛短路)，任何時刻進 入電感和電容的總瞬時功率為零，即PL(/)tPc(/)=。電感和 電容與電壓源和電阻之間沒有能量交換。電壓源發(fā)出的功 率全部為電阻吸收，即Ps(OFrC)。GO(b)圖1H7串聯(lián)電路諧振時的能量交換電感和電容之間互相交換能量，其過程如下:當電流減 小時，電感中磁場能量

6、Wl=0.5Li2減小，所放出的能量全部 被電容吸收，并轉(zhuǎn)換為電場能量，如圖12-17(a)所示。當電 流增加時，電容電壓減小，電容中電場能量Wc=0.5Cw2減 小，所放出的能量全部被電感吸收，并轉(zhuǎn)換為磁場能量， 如圖12 - 17(b)所示。o7能量在電感和電容間的這種往復交換，形成電壓和電 流的正弦振蕩，這種情況與串聯(lián)電路由初始儲能引起 的等幅振蕩相同(見第九章二階電路分析)。其振蕩角頻率1產(chǎn)，完全由電路參數(shù)乙和c來確定。諧振時電感和電容中總能量保持常量，并等于電感中 的最大磁場能量，或等于電容中的最大電場能量，即 22 PsY= w, +Wr CU ： LI ： = L (12 - 3

7、7)(b)可以從能量的角度來說明電路參數(shù)E L、C變化對電感和電容電壓t/L=t/c的影響。若電阻R減小一半，或電感RRRR增加一倍）,L增加到4倍（則總能量w -LU”曾RR而電壓t/L=t/c增加到4倍，這將造成電壓t/L=t/c增加一倍。若電容C減少到1/4（0增加一倍），w = cu I能量不變, 加一倍?？傊?，R、E和C的改變造成 數(shù)與t/L=變化的倍數(shù)相同。12-7電路如圖1218所示。已知us (?) = 10 2 cos 3 方 V求：(1)頻率0為何值時，電路發(fā)生諧振。電路諧振時，現(xiàn)和&為何值。O.lmH0.1MFisO圖 12-#O.lmH解：(1)電壓源的角頻率應為(2)

8、電路的品質(zhì)因數(shù)為100yL=Uc =QU s= 100 xlOV = 1000 V二.RLC并聯(lián)諧振電路圖1249(a)所示RLC并聯(lián)電路，其相量模型如圖1219(b)所示。(a)(b)圖 12-19(a)(b)驅(qū)動點導納為U1二 G + j(/C )二1 Y(jQ)IZ&)(12-38)coL其中(12 39)(12 40)I宓)1=+ QC-丄)coC0 (co) = arctan( ) GVcoL1諧振條件當0C - 丄 =0時，YQ如G=l/R,電壓和電流/()coL同相，電路發(fā)生諧振。因此，RLC并聯(lián)電路諧振的條件是1co =0()= j(12 41)y/LCi式中w = 7ZF稱為

9、電路的諧振角頻率。與RLC串聯(lián) 電路相同。(a)(b)2諧振時的電壓和電流用LC并聯(lián)電路諧振時，導納Y(ia)=G=llR,具有最小 值。若端口外加電流源is ,電路諧振時的電壓為(12 -42)電路諧振時電壓達到最大值，此時電阻.電感和電容中電流為(見下頁)h/ch/c/r =gu = is(12 - 43)R= -j/s = -je/s(12 -44)h/ch/c(12 - 45)(12 - 46)I c = SoCU = co0RCIs = QIS其中RC-=Rg)qC = J cdqLV L稱為RLC并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，其量值等于諧振時感納或容納與電導之比。電路諧振時的相量圖如圖1

10、2 20(b)所示。h/ch/cRL1LY 鼻 ct/j譏A=/s(b)h/c圖 12-20由以上各式和相量圖可見，諧振時電阻電流與電流源 電流相等I R = IS。電感電流與電容電流之和為零， 即iL + zc = o。電感電流或電容電流的幅度為電流源電 流或電阻電流的0倍，即Ic = QI s = QI R (8 - 47 )并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。(a)(b)3諧振時的功率和能量 設(shè)電流源電 is(Z)=/smcos(d)00，則：W(O = Ug cos(%/) = RISm cos(%/) 鼻二-Q/sm cos3o+ 90) L(f)二 Q/Sm cos(6?0r + 90o)電感

11、和電容吸收的瞬時功率分別為:pL(O = -QU In/Sm cos cos( a)Qt + 90) = QUI s sin( 2)Pc(0 = PL(0 = QUI $ sin( 2叫)圖12-21并聯(lián)電路諧振時的能量交換由于i（z）=rL（r）+ic（O=O （相當于虛開路），任何時刻進入電感和電容的總瞬時功率為零，PL（OtPc（z）=0電感和電 容與電流源和電阻之間沒有能量交換。電流源發(fā)出的功率 全部被電阻吸收，即Ps（XPrC）。能量在電感和電容間往復交換（圖12-21）,形成了電壓和電流的正弦振蕩。其情況和LC并聯(lián)電路由初始儲能 引起的等幅振蕩相同，因此振蕩角頻率也是叫=尋=ylL

12、C 串聯(lián)諧振電路相同。/ = 0 / = 0(a)(b)圖12 - 21并聯(lián)電路諧振時的能量交換諧振時電感和電容的總能量保持常量，即w = Wl + Wc = Lll=CU 1 = CR 工 (12 -48)；=o；=o(b)圖12-21并聯(lián)電路諧振時的能量交換由于并聯(lián)電路的電壓相同，即ul=uc=ris.當電阻增加到2倍，或電容C增加到4倍（0 = /?增加一倍）時,總儲能增加到4倍，將導致電yJL=lc增加一倍。若電感減 小到原值的1/4（0增加一倍），總能量ZJ不變，而諧振時的 電JL=ZC增加一倍?？傊??、L和C的改變引起0值 變化的倍數(shù)與ZL=/C變化的倍數(shù)相同。例128圖12-22(a)是電感線圈和電容器并聯(lián)的電路模型。已知L=O.lmH, C=0.01|liFo試求電路的諧振 角頻率和諧振時的阻抗。圖12 - 22解：根據(jù)其相量模型圖1222(b)寫出驅(qū)動點導納RR2 + (L)2+ j CD C coLR2 + (L)2令上式虛部為零求得其中Q =是RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)。R C1當Q1時，o = I yJLC代入數(shù)值得到11 10 _8 6 J1rad/s = 10 rad/s(Ci =； TIo-xlO-8