2203.妙用“隱函數(shù)的導數(shù)法”求圓錐曲線的切線方程

1、妙用“隱函數(shù)的導數(shù)法”求圓錐曲線的切線方程 【摘要】 本文通過隱函數(shù)相關理論解決中學數(shù)學教學中求圓錐曲線的切線方程問題，以一個小問題為出發(fā)點，引出隱函數(shù)的導數(shù)帶來便利之處，由此可以培養(yǎng)高中學生思維能力，學習數(shù)學運算技巧，并為高中數(shù)學教師研究數(shù)學課堂教學提供借鑒。【關鍵詞】 圓錐曲線 切線 隱函數(shù) 導數(shù)隨著新課程進一步的深入，高中數(shù)學課堂教學對教師的專業(yè)素質提出了更高的要求，對高中數(shù)學教師的數(shù)學專業(yè)知識容量提出了新的挑戰(zhàn)，為此筆者重新對高等數(shù)學內(nèi)容進行學習，尋找高中數(shù)學各模塊知識在高等數(shù)學中的淵源，以更好地有針對地進行課堂教學。圓錐曲線的切線問題是導數(shù)知識與解析幾何知識交匯點，也是最近幾年高考的

2、熱點問題。如何利用導數(shù)這一工具解決此類問題，筆者在此提幾點自己看法。1問題的提出數(shù)學問題是學生學習數(shù)學的核心，是學生提高數(shù)學素質的媒介，也是教師引導學生學習數(shù)學思想，領悟數(shù)學思想方法的一個平臺。對數(shù)學問題進行適當?shù)淖儞Q不僅能拓展學生的知識面，也有利于提高學生的能力，更能讓學生體會到新課程大環(huán)境下學科思想。例如在求拋物線的切線方程我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。例1已知拋物線c：及c上一點a（1，1），過a作c的切線，求切線方程。分析：此題若通過直線與拋物線的位置處理方法，很容易就能得出結果；若運用導數(shù)的幾何意義也不難得到結果：先求出關于的導數(shù)再將a點的橫坐標代入得到切線的斜率2，即所求的切線方程為。

3、變式1 將題中c的方程改成。分析：通過傳統(tǒng)求切線方程方法易得；如果運用導數(shù)去求呢？學生肯定會發(fā)現(xiàn)表示曲線c的方程不是函數(shù)所以也不能求導，怎么辦？筆者在教學中得到這樣幾種解題思路：在方程c中將互換也就是將看成關于的函數(shù)求導即得，再在寫切線程時也將互換可得即；將方程c改寫成兩個函數(shù)，則因為點a在軸上方，所以斜率為；研究將代入可得此時過a點的切線斜率為。在中不難得到也就是對方程c中的看成關于的函數(shù)，再用復合函數(shù)求導的法則對方程c兩邊同時進行求導，遇到關于的運算直接求導，遇到即寫成形式。能否把這一種想法推廣到更一般呢？回答是肯定的。2隱函數(shù)與圓錐曲線方程21圓錐曲線方程滿足隱函數(shù)的條件的驗證對于實系數(shù)

4、二元二次方程 在這里討論方程表示的是一般的圓錐曲線情況。記方程可以轉化為 下面分析方程所滿足的條件：（1）顯然式所表示的曲線上的任意一點在其鄰域內(nèi)連續(xù)；（2）存在；（3）顯然連續(xù)；（4）。所以方程所表示的曲線上的點在其鄰域內(nèi)，方程唯一地確定了一了定義在某區(qū)間內(nèi)的隱函數(shù)。把看作關于的復合函數(shù)，應用復合函數(shù)求導法得到隱函數(shù)的導數(shù)，則方程的導數(shù)為。22求圓錐曲線的切線方程對于方程作關于的導數(shù)得即設點是方程所表示曲線上的一點，則過此點切線斜率為，所以切線方程為即所以3用隱函數(shù)的導數(shù)求切線方程的優(yōu)勢31求橢圓的切線方程例2設是橢圓c：上一點，求過點的橢圓c的切線方程。分析：用傳統(tǒng)求切線方程的方法如下：設

5、過p點的切線方程為，由得整理得：設若則所以切線方程，整理得：若即斜率不存在，些時或，式仍然成立。所過點的橢圓c的切線方程為。此時式也是方程的切線方程形式。利用隱函數(shù)求導的方法：求導可得，則即斜率為所切線方程為整理得。32兩種方法比較比較這兩種方法顯然只要掌握了隱函數(shù)求導的方法，可以避免復雜的運算，高效準確地得到解答。在隱函數(shù)的這一理論指導下可以快速求出圓錐曲線的切線。例如標準狀態(tài)下的雙曲線的切線方程為，拋物線的切線方程為或。而且掌握這種方法在學生將來的發(fā)展中更重要，在今天的學習中學生更多要用到的是利用導數(shù)的幾何意義求各種曲線的切線方程。因而，在教學中接受和運用這種處理方式，使中學的學習內(nèi)容的大

6、學的學習內(nèi)容建立起自然的聯(lián)系。4隱函數(shù)理論在中學數(shù)學中應用舉例中學數(shù)學中很多問題或錯誤，站在初等數(shù)學的角度上是很難解決或發(fā)現(xiàn)的；倘若能站在高等數(shù)學的角度，溝通初、高等數(shù)學的聯(lián)系，居高臨下釋疑，將會更有利于學生深刻領悟數(shù)學知識的精髓及其后續(xù)發(fā)展。例3求函數(shù)的導數(shù).解析：兩邊取對數(shù)得（*）將（*）看成易知滿足隱函數(shù)的條件從而即.5研究隱函數(shù)在中學數(shù)學教學中應用帶來的啟示通過對此類問題的研究可以糾正人們常有的一種片面觀點，認為高等數(shù)學知識在中學數(shù)學教學中幾乎無用。在新一輪課程改革大潮中，新的數(shù)學教材中已經(jīng)出現(xiàn)并加強了一些高等數(shù)學的基礎知識，所以中學數(shù)學教師有必要對高等數(shù)學進行研究并應用到課堂教學中去，也有必要立足于更高觀點，用高等數(shù)學的方法去剖析中學數(shù)學教學，能有效地考查學生面對新問題、新情境及綜合運用所學知識解決問題的能力，對提高高中生的數(shù)學素養(yǎng)有著重要的意義。欲窮千里目，更上一層樓。站到高等數(shù)學的角度下看初等數(shù)學的某些問題會更深刻、更全面，因此應該掌握更多的高等數(shù)學知識，摸清高等數(shù)學與中學數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系，指導學生進行探究性學習，培養(yǎng)學習的探究精神和創(chuàng)新能力，將是新形勢下搞活中學數(shù)學教學的一條有效途徑?！緟⒖?/p>