數(shù)學(xué)分析(西北師范大學(xué))14

1、 S F 01（數(shù)） Ch 14 冪級(jí)數(shù)計(jì)劃課時(shí)： 1 0 時(shí) P 171 189 2002. 05.08 . Ch 14 冪級(jí)數(shù) （ 1 0 時(shí) ） 1 冪級(jí)數(shù)（ 4 時(shí) ）冪級(jí)數(shù)的一般概念. 型如 和 的冪級(jí)數(shù) . 冪級(jí)數(shù)由系數(shù)數(shù)列唯一確定. 冪級(jí)數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn). 以下只討論型如的冪級(jí)數(shù).冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之一.一. 冪級(jí)數(shù)的收斂域:1. 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域：Th 1 （ Abel ） 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂 ， 則對(duì)滿足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)收斂而且絕對(duì)收斂 ；若在點(diǎn)發(fā)散 ，則對(duì)滿足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)發(fā)散.證 收斂, 有界. 設(shè)|, 有 |, 其中 . .定理的第二部分系

2、第一部分的逆否命題.冪級(jí)數(shù)和的收斂域的結(jié)構(gòu).定義冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 R. 收斂半徑 R的求法.Th 2 對(duì)于冪級(jí)數(shù), 若, 則 時(shí), ; 時(shí); 時(shí). 證 , ( 強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與的次數(shù)是一致的). 由于, 因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間: .冪級(jí)數(shù)的收斂域: 一般來(lái)說(shuō) , 收斂區(qū)間收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是區(qū)間、或之一. 例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂域 . 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域 . 例3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域: ; . 2. 復(fù)合冪級(jí)數(shù): 令, 則化為冪級(jí)數(shù).設(shè)該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間由不等式 確定.可相應(yīng)考慮收斂域.特稱冪級(jí)數(shù)為正整數(shù))為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) .其中. 應(yīng)注意為第項(xiàng)的

3、系數(shù) . 并應(yīng)注意缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) 并不是復(fù)合冪級(jí)數(shù) , 該級(jí)數(shù)中, 為第項(xiàng)的系數(shù) . 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂域 . 解 是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) . 收斂區(qū)間為. 時(shí),通項(xiàng). 因此 , 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 例5 求級(jí)數(shù)的收斂域 . 解 令, 所論級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù).由幾何級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)果, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂. 因此當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)級(jí)數(shù)收斂. 所以所論級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 例6 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 解 . Ex 1P6465 1，7； 4P309312 1519， 39，40，41. 二 冪級(jí)數(shù)的一致收斂性：Th 3 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則該冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .證 , 設(shè), 則對(duì), 有, 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,

4、 由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法, 冪級(jí)數(shù)在上一致收斂. 因此 , 冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.Th 4 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,且在點(diǎn)( 或 )收斂,則冪級(jí)數(shù)在區(qū)間( 或 )上一致收斂 .證 . 收斂 , 函數(shù)列在區(qū)間上遞減且一致有界 , 由Abel判別法, 冪級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .易見(jiàn) , 當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?時(shí) , 該冪級(jí)數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì): 1. 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級(jí)數(shù):設(shè), *) 和 *)仍為冪級(jí)數(shù). 我們有命題1 *) 和 *)與有相同的收斂半徑 . ( 簡(jiǎn)證 )值得注意的是，*) 和 *)與雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級(jí)數(shù).

5、 2. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):定義 兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)相等是指：它們?cè)谠撪徲騼?nèi)收斂且有相同的和函數(shù).命題2 ,.(由以下命題4系2)命題3 設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為和, , 則 , Const ， . +, . ()(), , . 3. 和函數(shù)的性質(zhì):命題4 設(shè)在(內(nèi). 則 在內(nèi)連續(xù); 若級(jí)數(shù)或收斂, 則在點(diǎn)( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; 對(duì), 在點(diǎn)可微且有 ; 對(duì), 在區(qū)間 上可積, 且 .當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 無(wú)論級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂與否,均有. 這是因?yàn)? 由級(jí)數(shù)收斂, 得函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù), 因此有.系1 和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo), 且有 , .由系1可見(jiàn), 是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次

6、可導(dǎo).系2 若, 則有 例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程 .驗(yàn)證 所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? , 代入, . Ex 1P65 3 ( 提示 ) , 4 , 6 . 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（ 4 時(shí) ）一. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開:1. Taylor級(jí)數(shù): 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Taylor公式和Maclaurin公式 .Taylor公式： .余項(xiàng)的形式:Peano型余項(xiàng): , （ 只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù) ， 存在 ）Lagrange型余項(xiàng): 在與之間. 或 .積分型余項(xiàng): 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí), 有 .Cauchy余項(xiàng): 在上述積分型余項(xiàng)的條件下, 有Cauchy余項(xiàng) .特別地，時(shí)，Cau

7、chy余項(xiàng)為 在與之間.Taylor級(jí)數(shù): Taylor公式僅有有限項(xiàng), 是用多項(xiàng)式逼近函數(shù). 項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí), 得 ,稱此級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù). 只要函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo), 就可寫出其Taylor級(jí)數(shù). 稱=時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為Maclaurin級(jí)數(shù), 即級(jí)數(shù).自然會(huì)有以下問(wèn)題: 對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù), 在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi), 函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢 ?2 函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系： 例1 函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可微 . 求得 . 其Taylor級(jí)數(shù)為 .該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 僅在區(qū)間內(nèi)有=. 而在其他點(diǎn)并不相等, 因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散.那么, 在Taylor級(jí)數(shù)的

8、收斂點(diǎn), 是否必有和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢 ? 回答也是否定的 . 例2 函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且有 ( 參閱Ch 5 習(xí)題課例6 ），因此其Taylor級(jí)數(shù)，在內(nèi)處處收斂 . 但除了點(diǎn)外, 函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等.另一方面, 由本章1命題4系2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有, 則在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).綜上 , 我們有如下結(jié)論: 對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù), 其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散,( 參閱 復(fù)旦大學(xué)編數(shù)學(xué)分析下冊(cè)P90第9題 ) ; 即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其Taylor級(jí)數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是. 由此可見(jiàn), 不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的

9、Taylor級(jí)數(shù). 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù), 則該冪級(jí)數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).于是 , 為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其Taylor級(jí)數(shù). 3 函數(shù)的Taylor展開式：若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)收斂且和恰為，則稱函數(shù)在點(diǎn)可展開成Taylor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間. 稱此時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor展開式或冪級(jí)數(shù)展開式. 簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級(jí)數(shù). 當(dāng)= 0 時(shí), 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaurin展開式.4. 可展條件:Th 1 ( 必要條件 ) 函數(shù)在點(diǎn)可展 , 在點(diǎn)有

10、任意階導(dǎo)數(shù) .Th 2 ( 充要條件 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) . 則在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)( 即可展 )的充要條件是: 對(duì), 有. 其中是Taylor公式中的余項(xiàng).證 把函數(shù)展開為階Taylor公式, 有 .Th 3 ( 充分條件 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界, 則函數(shù)可展.證 利用Lagrange型余項(xiàng) , 設(shè) , 則有.例3 展開函數(shù) 按冪; 按冪.解 , , .所以 , .可見(jiàn) , 的多項(xiàng)式的Maclaurin展開式就是其本身. . Ex 1P7374 1， 3.二. 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式:初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式.為得到

11、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 , 或直接展開, 或間接展開.1. . ( 驗(yàn)證對(duì)R ，在區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , .可展是因?yàn)樵趦?nèi)一致有界. 3. 二項(xiàng)式 的展開式: 為正整數(shù)時(shí), 為多項(xiàng)式, 展開式為其自身;為不是正整數(shù)時(shí), 可在區(qū)間內(nèi)展開為對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng). 具體討論參閱1P88.進(jìn)一步地討論可知 ( 參閱. 微積分學(xué)教程Vol 2第二分冊(cè).):時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?時(shí), 收斂域?yàn)?利用二項(xiàng)式 的展開式 , 可得到很多函數(shù)的展開式. 例如取,得 ， .時(shí), , . 間接展開: 利用已知展開式 , 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)

12、算以及微積運(yùn)算, 可得到一些函數(shù)的展開式. 利用微積運(yùn)算時(shí), 要求一致收斂. 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 ,總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻. 4. . .事實(shí)上 , 利用上述的展開式, 兩端積分 , 就有 , .驗(yàn)證知展開式在點(diǎn)收斂, 因此 , 在區(qū)間上該展開式成立. 5. .由. 兩端積分,有 驗(yàn)證知上述展開式在點(diǎn)收斂, 因此該展開式在區(qū)間上成立.(這里應(yīng)用了習(xí)題中第2題的結(jié)果, 參閱1P65 ) 例4 展開函數(shù).解 . 例5 展開函數(shù).解 . Ex 1P74 2 , 3(提示) P79 1 , 2 . 習(xí) 題 課 ( 2 時(shí) ) 一. 求收斂區(qū)間或收斂域:例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 .例2 求

13、冪級(jí)數(shù)的收斂域.解 設(shè), 注意到, 有. 時(shí), 收斂域?yàn)? 二. 函數(shù)展開: 例3 把函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù) .解 , , , ;, .與的展開式比較. 例4 展開函數(shù).解 , , . 因此, ， . 例5 展開函數(shù).解 , ;因此, , . 例6 把函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù). 解 , . 而 = , .三. 函數(shù)展開式應(yīng)用舉例:1. 做近似計(jì)算 : 例7 計(jì)算積分, 精確到.解 .因此, .上式最后是Leibniz型級(jí)數(shù) , 其余和的絕對(duì)值不超過(guò)余和首項(xiàng)的絕對(duì)值 . 為使,可取.故從第項(xiàng)到第項(xiàng)這前7 項(xiàng)之和達(dá)到要求的精度.于是 . 2. 利用展開式求高階導(dǎo)數(shù): 原理.例8 設(shè) 證明對(duì)存在并求其值. 3

14、P98 E26解 , .時(shí), ,直接驗(yàn)證可知上式當(dāng)時(shí)也成立 . 因此在內(nèi)有 , .函數(shù)作為 的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù), 對(duì)存在 , 且 即 四. 冪級(jí)數(shù)求和: 原理: 對(duì)某些冪級(jí)數(shù), 有可能利用初等運(yùn)算或微積運(yùn)算以及變量代換化為已知的函數(shù)展開式( 特別是化為函數(shù)和的展開式 ),借以求和. 例9 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)并求級(jí)數(shù)和Leibniz級(jí)數(shù)的和.解 冪級(jí)數(shù)的 收斂域?yàn)? 設(shè)和函數(shù)為,則在內(nèi)有 ,注意到, 則對(duì)有.又在點(diǎn)連續(xù) , 于是在區(qū)間內(nèi)上式成立. 即有 , .取, 有.取, 有. 例10 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 并利用該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 在內(nèi)設(shè) .現(xiàn)求. 對(duì),有