概率統(tǒng)計(jì)及隨機(jī)過(guò)程：4-2方差

1、引例引例 甲、乙兩射手各打了10發(fā)子彈，每發(fā)子彈 擊中的環(huán)數(shù)分別為： 甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10 乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9 問(wèn)哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？ 解解 首先比較平均環(huán)數(shù) 甲 = 8.4,乙 = 8.4 4.2 方差方差 有 六 個(gè) 不 同 數(shù) 據(jù) 僅 有 四 個(gè) 不 同 數(shù) 據(jù) 再比較穩(wěn)定程度 4 .30 )4 . 85()4 . 86()4 . 87( )4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4 222 222 甲： 乙： 44. 6 )4 . 87(2)4 . 88(3 )4 . 89(4)4

2、. 810( 22 22 乙比甲技術(shù)穩(wěn)定 進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度 甲 )4 . 85()4 . 86()4 . 87( )4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4 10 1 222 222 乙 )4 . 87(2)4 . 88(3 )4 . 89(4)4 . 810( 10 1 22 22 04.3 644. 0 6 1 2 )( k kk pXEx 4 1 2 )( k kk pXEx 定義定義 若E (X - E(X)2) 存在，則稱其為隨機(jī)變 量 X 的方差方差, 記為D (X ) D (X ) = E (X - E(X)2) 稱)(XD為X 的均方差均方差. 方差的

3、概念方差的概念 (X - E(X)2 隨機(jī)變量X 的取值偏離平均值 的情況, 是X的函數(shù), 也是隨機(jī)變量 E(X - E(X)2 隨機(jī)變量X的取值偏離平均值 的平均偏離程度 數(shù) , 2 , 1,)(kpxXP kk 若 X 為離散型 r.v.，概率分布為 1 2 )()( k kk pXExXD 若 X 為連續(xù)型，概率密度為f (x) dxxfXExXD)()()( 2 常用的計(jì)算方差的公式： )()()( 22 XEXEXD q D (C) = 0 q D (aX ) = a2D(X) D (aX + b ) = a2D(X) q )()(2 )()()( YEYXEXE YDXDYXD 特

4、別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則 )()()(YDXDYXD 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) 若 n XXX, 21 相互獨(dú)立，baaa n, , 21 為常數(shù) 則 n i ii n i ii XDabXaD 1 2 1 )( 若X ,Y 相互獨(dú)立)()()(YDXDYXD )()()(YEXEXYE q 對(duì)任意常數(shù)C, D (X ) E(X C)2 , 當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時(shí)等號(hào)成立 q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 稱為X 依概率 1 等于常數(shù)E(X) 性質(zhì) 1 的證明： 0)()( 2 CECECD 性質(zhì) 2 的證明： 2 )()()(baXEbaXEbaXD 2 )()(

5、bEbXEXaE 22 )(XEXaE )( 2 XDa 2 )()()(YXEYXEYXD )()(2 )()( 22 YEYXEXE YEYEXEXE )()(2 )()( YEYXEXE YDXD 性質(zhì) 3 的證明： 當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)立時(shí)， )()()( )()( YEXEXYE YEYXEXE 注意到， )()()(YDXDYXD 22 )()(XECXEXECXE 性質(zhì) 4 的證明： 22 )()(XECXEXE 當(dāng)C = E(X )時(shí)，顯然等號(hào)成立； 當(dāng)C E(X )時(shí)，0)( 2 XEC )( 2 XDCXE 2 )()(XECXD 例例1 設(shè)X P (), 求D ( X )

6、. 解解 0 ! )( k k k e kXE 1 1 )!1( k k k e )()1()( 2 XEXXEXE ! ) 1()1( 0 k e kkXXE k k 2 2 2 2 )!2( k k k e 方差的計(jì)算方差的計(jì)算 22 )(XE )()()( 22 XEXEXD 例例2 設(shè)X B( n , p)，求D(X ). 解一解一 仿照上例求D (X ). 解二解二 引入隨機(jī)變量 n XXX, 21 發(fā)生次試驗(yàn)事件第 發(fā)生次試驗(yàn)事件第 Ai Ai X i , 0 , 1 n XXX, 21 相互獨(dú)立， ni, 2 , 1)1 ()(ppXD i n i i XX 1 故 )1 ()(

7、)( 1 pnpXDXD n i i 例例3 設(shè) X N ( , 2), 求 D( X ) 解 dxexXD x 2 2 2 )( 2 2 1 )()( dtet t t x 2 22 2 2 1 令 2 常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 分布 方差概率分布 參數(shù)為p 的 0-1分布pXP pXP 1)0( ) 1( p(1-p) B(n,p) nk ppCkXP knkk n , 2 , 1 , 0 )1 ()( np(1-p) P() , 2 , 1 , 0 ! )( k k e kXP k 分布 方差概率密度 區(qū)間(a,b)上的 均勻分布 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 12 )( 2

8、ab E() 其它, 0 , 0, )( xe xf x 2 1 N(, 2) 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 2 例例4 已知X ,Y 相互獨(dú)立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ). 解解 )5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX 1)(, 0)(YXDYXE 故 ) 1 , 0( NYX dzezYXE z 2 2 2 1 |)(| 2 2 2 2 0 2 dzez z 例例5 設(shè)X 表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo) n 次為止 所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概 率為 p ，求E(X ), D(X ). 解解 令 X i 表示擊中目標(biāo) i -

9、 1 次后到第 i 次擊中 目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i = 1,2, n 1 , 2 , 1,)( 1 qp kpqkXP k i 1 1 1 1 )( k k k k i kqpkpqXE pq p 1 )1 ( 1 2 n XXX, 21 相互獨(dú)立，且 n i i XX 1 1 1 1 12 ) 1()( k k k k i kpqpqkkXE p qkkpq k k 1 ) 1( 2 2 p x dx d pq qx k k 1 0 2 2 px pq qx 1 )1 ( 2 3 2 2 p p 222 112 )( p p pp p XD i p n XEXE n i i 1 )()( 故

10、 2 1 )1 ( )()( p pn XDXD n i i 例例6 設(shè) 0, 0 , 0,ln )(, 2 1 , 2 1 X XX XgYUX 求 E (Y ), D(Y ). 解解 dxxfxgYE X )()()( 2 1 2 1 1)(dxxg 2 1 0 1lndxx 2 1 2 1 ln 2 1 2 1 2ln 2 1 dxxfxgYE X )()()( 22 2 1 0 2 1lndxx 2ln12ln 2 1 2 1 ln1 2 1 ln 2 1 22 )()()( 22 YEYEYD 2 2 2 1 2ln 2 1 2ln12ln 2 1 4 3 2ln 2 1 2ln 4

11、 1 2 例例7 在 0, 1 中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) X , Y , 求 D (min X ,Y ) 解解 其它, 0 10 , 10, 1 ),( yx yxf 1 1 0 10 10 ,min ),(min y x dxdyyx YXE 3 1 dydxydxdyx yx 1 0 11 0 1 dydxydxdyx YXE yx 1 0 1 2 1 0 1 2 2 ),(min 6 1 ,min,min ),(min 22 YXEYXE YXD 18 1 例例8 將 編號(hào)分別為 1 n 的n 個(gè)球隨機(jī)地放入 編號(hào)分別為 1 n 的n 只盒子中，每盒一 球. 若球的號(hào)碼與盒子的號(hào)碼一致，則稱 為

12、一個(gè)配對(duì). 求配對(duì)個(gè)數(shù) X 的期望與方差. 解解 ni ii X i , 2 , 1 , 0 , 1 其它 號(hào)盒號(hào)球放入 則 n i i XX 1 n XXX, 21 不相互獨(dú)立，但 1 1 )()( 1 n nXEXE n i i 2 1 2 )( n i i XEXE i X P 1 0 n 1 n 1 1 ni, 2 , 1 n nji ji n i i XXXE 11 2 2 n nji ji n i i XXEXE 11 2 )(2)( 2 i X P 1 0 n 1 n 1 1 ni, 2 , 1 nji, 2 , 1, ji XX P 1 0 ) 1( 1 nn ) 1( 1 1

13、 nn n XE i 1 )( 2 ) 1( 1 )( nn XXE ji n nji ji n i i XXEXEXE 11 22 )(2)()( n nji n i nnn 11 ) 1( 1 2 1 ) 1( 1 2 1 2 nn C n n n 2 1)()()( 22 XEXEXD 標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 則稱 )( )( XD XEX X 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然， 1)(, 0)( XDXE 僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布, 例如：例如：

14、X P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 Y P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 與 2 . 0)(, 0)(XDXE 2 . 0)(, 0)(YDYE 它們有相 同的期望、 方差 但是分布 卻不同 但若已知分布的類(lèi)型，及期望和方差，常能但若已知分布的類(lèi)型，及期望和方差，常能 確定分布確定分布. 例例9 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函數(shù). 解解 1234)( , 4 . 27 . 121)( YD YE y eyf y Y , 62 1 )( 24 )4 . 2( 2 例例10 已知 X 的密度函數(shù)為 其它, 0 , 10, )( 2 xBxAx xf 其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5. (1) 求 A ,B. (2) 設(shè) Y = X