數(shù)學平面向量基本定理及坐標表示新人教A必修PPT學習教案

1、會計學1 數(shù)學平面向量基本定理及坐標表示新人數(shù)學平面向量基本定理及坐標表示新人 教教A必修必修 問題提出問題提出 t 5730 1 p 2 1. 1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運向量加法與減法有哪幾種幾何運 算法則？算法則？ 2. 2.怎樣理解向量的數(shù)乘運算怎樣理解向量的數(shù)乘運算a？ （1 1）|a a|=|=|a a| |； （2 2）0 0時，時，a與與a方向相同；方向相同； 0 0時，時，a與與a方向相反；方向相反； =0=0時，時，a=0.=0. 第1頁/共23頁 3.3.平面向量共線定理是什么？平面向量共線定理是什么？ 4.4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的如圖，光滑斜面上一個木塊

2、受到的 重力為重力為G G，下滑力為，下滑力為F F1 1，木塊對斜面的，木塊對斜面的 壓力為壓力為F F2 2，這三個力的方向分別如何？，這三個力的方向分別如何？ 三者有何相互關系？三者有何相互關系？ G G F F1 1 F F2 2 非零向量非零向量a與向量與向量b共線共線 存在唯存在唯 一實數(shù)一實數(shù)，使，使ba. . 第2頁/共23頁 5.5.在物理中，力是一個向量，力的合在物理中，力是一個向量，力的合 成就是向量的加法運算成就是向量的加法運算. .力也可以分解力也可以分解 ，任何一個大小不為零的力，都可以，任何一個大小不為零的力，都可以 分解成兩個不同方向的分力之和分解成兩個不同方向

3、的分力之和. .將這將這 種力的分解拓展到向量中來，就會形種力的分解拓展到向量中來，就會形 成一個新的數(shù)學理論成一個新的數(shù)學理論. . 第3頁/共23頁 第4頁/共23頁 探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：給定平面內(nèi)任意兩個向量給定平面內(nèi)任意兩個向量e1 1，e2 2 ，如何求作向量，如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1 e2 2 2 2e2 2 B B C C O O 3 3e1 1A Ae 1 1 D D 3 3e1 12 2e2 2 e1 1-2-2e2 2 第5頁/共23頁 思考思考2 2：如圖，設如圖，

4、設OAOA，OBOB，OCOC為三條共為三條共 點射線，點射線，P P為為OCOC上一點，能否在上一點，能否在OAOA、OBOB 上分別找一點上分別找一點M M、N N，使四邊形，使四邊形OMPNOMPN為平為平 行四邊形？行四邊形？ M M N N O OA A B B C C P P 第6頁/共23頁 思考思考3 3：在下列兩圖中，向量在下列兩圖中，向量 不共線，能否在直線不共線，能否在直線OAOA、OBOB上分別找一上分別找一 點點M M、N N，使，使 ？ OA,OB,OC O MO NO C+= uuuruuu ruuu r O O A A B B C C M M N N O O A

5、 A B B C C M M N N 第7頁/共23頁 思思 考考 4 4 ： 在在 上上 圖圖 中中 ， 設設 = = e 1 1 ， = = e 2 2 ， = = a ， 則則 向向 量量 分分 別別 與與 e 1 1 ， e 2 2 的的 關關 系系 如如 何何 ？ 從從 而而 向向 量量 a 與與 e 1 1 ， e 2 2 的的 關關 系系 如如 何何 ？ 1 12 2. aee O O A A B B C C M M N N O O A A B B C C M M N N 1 12 2 OM, ON.ee 第8頁/共23頁 O M= uuur O N= uuu r 1 1221

6、122 OMe ,ONe ,aee 思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都為定向都為定向 量，且量，且e1 1，e2 2不共線，則實數(shù)不共線，則實數(shù)1 1，2 2是否是否 存在？是否唯一？存在？是否唯一？ O O A A B B C C M M N N O O A A B B C C M M N N 第9頁/共23頁 思考思考6 6：若向量若向量a與與e1 1或或e2 2共線，共線，a還能用還能用 1 1e1 12 2e2 2表示嗎？表示嗎？ e1 1 a a=1 1e1 1+0+0e2 2 e2 2 a a=0 0e1 1+ +2 2e2 2 第10頁/共23頁 思考思

7、考7 7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向 量量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的 向量向量e1 1，e2 2表示出來，從而可形成一個表示出來，從而可形成一個 定理定理. .你能完整地描述這個定理的內(nèi)容你能完整地描述這個定理的內(nèi)容 嗎？嗎？ 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量， 則對于這一平面內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有 一對實數(shù)一對實數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2. 第11頁/共23頁 思考思考8 8：上述定理稱為上述定理稱為平面向量基本定平面向量基本定 理理

8、，不共線向量，不共線向量e1，e2叫做表示這一平叫做表示這一平 面內(nèi)所有向量的一組面內(nèi)所有向量的一組基底基底. . 那么同一平那么同一平 面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同 基底對應向量基底對應向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？ 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量， 則對于這一平面內(nèi)的任意向量則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有 一對實數(shù)一對實數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2. 第12頁/共23頁 探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示 00，1

9、80180 思考思考1 1：不共線的向量有不同的方向，不共線的向量有不同的方向， 對于兩個非零向量對于兩個非零向量a和和b，作，作 a， b ，如圖，如圖. .為了反映這兩個向量的位置關為了反映這兩個向量的位置關 系，稱系，稱AOBAOB為向量為向量a與與b的的夾角夾角. .你認為你認為 向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜 ？ OA OB b a a b A A B B O O 第13頁/共23頁 思考思考2 2：如果向量如果向量a與與b的夾角是的夾角是9090， 則稱則稱向量向量a與與b垂直垂直，記作，記作ab. . 互相垂互相垂 直的兩個向量能否作為平面內(nèi)

10、所有向量直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量 的一組基底？的一組基底？ b a 第14頁/共23頁 思考思考3 3：把一個向量分解為兩個互相垂把一個向量分解為兩個互相垂 直的向量，叫做把向量直的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如圖如圖 ，向量，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量是兩個互相垂直的單位向量 ，向量，向量a與與i的夾角是的夾角是3030，且，且| |a|=4|=4，以，以 向量向量i、j為基底，向量為基底，向量a如何表示？如何表示？ B B a i O O j A A P P 2 32aij 第15頁/共23頁 思考思考4 4：在平面直角坐標系中，分別取與在平面直角坐標系中，分別

11、取與x x軸軸 、y y軸方向相同的兩個單位向量軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底作為基底 ，對于平面內(nèi)的一個向量，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基，由平面向量基 本定理知，有且只有一對實數(shù)本定理知，有且只有一對實數(shù)x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我們把我們把有序數(shù)對（有序數(shù)對（x x，y y）叫做向）叫做向 量量a的坐標，記作的坐標，記作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x 軸上的坐標，軸上的坐標，y y叫做叫做a在在y y軸軸 上的坐標，上式叫做向量上的坐標，上式叫做向量 的的坐標表示坐標表示. .那么那么x x、y y的的 幾何意義如何？

12、幾何意義如何？ a ix x y y O O j x x y y 第16頁/共23頁 思考思考5 5：相等向量的坐標必然相等，作相等向量的坐標必然相等，作 向量向量 a，則，則 (x(x，y)y)，此時點，此時點A A是是 坐標是什么？坐標是什么？ OA OA A A a i x x y y O O j A(x,y)A(x,y) 第17頁/共23頁 理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，已知向量如圖，已知向量e1 1、e2 2，求作，求作 向量向量2.52.5e1 13 3e2 2. . e1e2 C C O OA A 2.52.5e1 1 B B 3 3e2 2 第18頁/共23頁 例例2 2

13、 如圖，寫出向量如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標的坐標 . . 24 5 2 ab c d 4 2 5 2 x y O a=(2,3)=(2,3) b=(-=(- 2,3)2,3) c=(-2,-=(-2,- 3)3) d=(2,-3)=(2,-3) 第19頁/共23頁 AB 例例3 3 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，中， =a， =b，E E、M M分別是分別是ADAD、DCDC的中的中 點，點點，點F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b為為 基底分別表示向量基底分別表示向量 和和 . . 2 ABAC 3 AD AM EF A A B B E ED D C CF F M M 1 2 AMab 1 6 EFab 第20頁/共23頁 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.平面向量基本定理是建立在向量平面向量基本定理是建立在向量 加法和數(shù)乘運算基礎上的向量分解原理加法和數(shù)乘運算基礎上的向量分解原理 ，同時又是向量坐標表示的理論依據(jù)，同時又是向量坐標表示的理論依據(jù)， 是一個承前起后的重要知識點是一個承前起后的重要知識點. . 2.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置向量的夾角是反映兩個向量相對位置 關系的一個幾何量，平行向量的夾角是關系的一個幾何量，平行向量的夾角是 0 0或或180180，垂直向量的夾角是，