常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定法 正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念 則稱其為則稱其為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，的通項(xiàng)的通項(xiàng)如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)0 1 n n n uu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若若 1n n u則其部分和數(shù)列則其部分和數(shù)列 單調(diào)增加單調(diào)增加 n s 如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列 有上界，有上界， n s收斂；收斂；則正項(xiàng)級(jí)數(shù)則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1n n u 如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列 沒(méi)有上界沒(méi)有上界 ， n s發(fā)散發(fā)散則正項(xiàng)級(jí)數(shù)則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1n n u 從而我們有從而我們有正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件 有上界有上界其部分和數(shù)列其部分和數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)

2、數(shù)收斂 n s 第1頁(yè)/共39頁(yè) 例例 1 討討論論 p- -級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 解解時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 p p n n n n u 1 limlim 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 p 由圖可知由圖可知 的收斂性的收斂性 pppp n p nn 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 ， 0 01 p p 發(fā)散發(fā)散 ， n sn 1 3 1 2 1 1 的圖形，的圖形，作函數(shù)作函數(shù) x y 1 1 1 n n x dx n x y 1 n sn 1 3 1 2 1 1 1 1 n x dx )1ln( n 所以所以 沒(méi)有上界，沒(méi)有上界， n s發(fā)散發(fā)散 第2頁(yè)/共39頁(yè) pppp n p nn 1 4 1 3 1 2 1

3、 1 1 1 p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 時(shí)，時(shí)，及及當(dāng)當(dāng)10 pp發(fā)散發(fā)散 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)10 p nn s ppn 1 2 1 1 1 2 1 1 )1ln( n 所以所以 沒(méi)有上界，沒(méi)有上界， n s發(fā)散發(fā)散 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 p o y x )1( 1 p x y p 1234 的圖形，的圖形，作函數(shù)作函數(shù) p x y 1 由圖可知由圖可知 n n pp x dx n 1 1 pppn n s 1 3 1 2 1 1 n n pp x dx x dx 1 2 1 1 n p x dx 1 1) 1 1( 1 1 1 1 p np1 1 1 p 所以所以 有上界，有上界， n s收斂收斂 ), 3 , 2

4、( n 第3頁(yè)/共39頁(yè) 綜上所述，我們有以下綜上所述，我們有以下重要結(jié)論重要結(jié)論： 1 1 n p n P級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 p 稱為稱為級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)， 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)是是發(fā)散發(fā)散的的 發(fā)散發(fā)散時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 收斂收斂時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 p p 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散當(dāng)當(dāng) 時(shí)，收斂于時(shí)，收斂于當(dāng)當(dāng) 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù) 1| 1 1| 0 q q a q aq n n 第4頁(yè)/共39頁(yè) 1. 比較判定法比較判定法 定理定理 ，其中，其中，設(shè)有級(jí)數(shù)設(shè)有級(jí)數(shù)), 2 , 1(0 11 nvuvu nn n n n n 也收斂；也收斂；收斂，則

5、收斂，則如果如果 11 )1( n n n n uv 也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則如果如果 11 )2( n n n n vu 證明證明 nn uuus 21 收斂，收斂， 1 )1( n n v，設(shè)為設(shè)為其部分和數(shù)列有上界其部分和數(shù)列有上界)( ， 收斂收斂 1n n u n vvv 21 ，又又 nn vu 即即 的部分和數(shù)列有上界的部分和數(shù)列有上界 ， 1n n u 由由(1)用反證法可證用反證法可證(2) 第5頁(yè)/共39頁(yè) 1. 比較判定法比較判定法 定理定理 ，其中，其中，設(shè)有級(jí)數(shù)設(shè)有級(jí)數(shù)), 2 , 1(0 11 nvuvu nn n n n n 也收斂；也收斂；收斂，則收斂，則如

6、果如果 11 )1( n n n n uv 也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則如果如果 11 )2( n n n n vu 根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，定理中的條件根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，定理中的條件 ，), 2 , 1(0 nvu nn 可放寬為：可放寬為： ，及正數(shù)及正數(shù)存在正整數(shù)存在正整數(shù)kN ，使使)(0Nnkvu nn 利用利用比較判定法比較判定法判定判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，需要的斂散性，需要 找一個(gè)已知斂散性的找一個(gè)已知斂散性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù) 常用的比較級(jí)數(shù)是常用的比較級(jí)數(shù)是 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)，p- -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 第6頁(yè)/共39頁(yè) 例例2 解解， 1 1 )1( 1 )1( n

7、nn 1 1 1 n n 發(fā)散，發(fā)散，又級(jí)數(shù)又級(jí)數(shù) 1 )1( 1 n nn 發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ， n n ) 3 1 ( 31 1 )2( 另解另解 ， nnn 1 )1( 1 )1( 1 1 n n 發(fā)散，發(fā)散，又級(jí)數(shù)又級(jí)數(shù) 1 )1( 1 n nn 發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 ) 3 1 ( n n收斂， 收斂，又級(jí)數(shù)又級(jí)數(shù) 1 31 1 n n 收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11 31 1 )2( )1( 1 )1( n n n nn 的斂散性的斂散性，判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 第7頁(yè)/共39頁(yè) 利用利用比較判定法比較判定法判定判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，需要的斂散性，需要 找一個(gè)已知斂散性的找一個(gè)已知斂散性

8、的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù) 如果所需判定的如果所需判定的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂，則需找一個(gè)通項(xiàng)，則需找一個(gè)通項(xiàng) 較大的較大的收斂收斂的的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù) 如果所需判定的如果所需判定的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散，則需找一個(gè)通項(xiàng)，則需找一個(gè)通項(xiàng) 較小的較小的發(fā)散發(fā)散的的正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù) 從而在實(shí)際問(wèn)題中，直接應(yīng)用從而在實(shí)際問(wèn)題中，直接應(yīng)用比較判定法比較判定法有有 很大的盲目性，且也很不方便很大的盲目性，且也很不方便 為此我們給出方便實(shí)用的為此我們給出方便實(shí)用的比較判定法的極限形式比較判定法的極限形式 第8頁(yè)/共39頁(yè) 定理定理( (比

9、較判定法的極限形式比較判定法的極限形式) ) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) 11n n n n vu，如果如果0lim l v u n n n 有相同的斂散性有相同的斂散性與與則則 11n n n n vu 證明證明，0lim l v u n n n ，對(duì)于對(duì)于 2 0 l ，0 N 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn 2 | l l v u n n 有有， nnn v l uv l 2 3 2 由由比較判定法比較判定法知知 有相同的斂散性有相同的斂散性與與 11n n n n vu ，若若特特別別地地，0 l收斂收斂 1n n v收斂收斂 1n n u ，若若 l發(fā)散發(fā)散 1n n v發(fā)散發(fā)散 1n n u

10、第9頁(yè)/共39頁(yè) 例例3 解解 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 . 1 ln)2()0, 0( 1 sin)1( 1 2 2 1 nn q p n n qp n ； q p n n 1 sin lim)1( ，01 的斂散性知，的斂散性知，由由 1 1 n q p n 發(fā)散發(fā)散時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 sin n q p n qp ，01 1 ) 1 1ln( lim)2( 2 2 n n n 收斂，收斂，又又 1 2 1 n n 收斂收斂 1 2 2 1 ln n n n 收斂，收斂，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 sin n q p n qp q p n 1 第10頁(yè)/共39頁(yè) .) 12 (

11、)2( )12( )1( 11 3 3 n n n n n nn n ； 例例4 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 解解0 )12( lim)1( 3 3 l nn n n ？ ，0 2 1 1 )12( lim)1( 6 3 3 n nn n n 發(fā)散，發(fā)散，又又 1 6 1 n n 發(fā)散發(fā)散 1 3 3 )12( n nn n n n n n n ) 2 1 ( ) 12 ( lim)2( n n n n ) 12 2 (lim n n n ) 12 1 1(lim . 1 e 收斂，收斂，又又 1 ) 2 1 ( n n 收斂收斂 1 ) 12 ( n n n n 第11頁(yè)/共3

12、9頁(yè) 推論推論 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) 1n n u，如果如果0lim lun n p n 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)則當(dāng)1 p時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng)1 p ，如果如果0lim n p n un，且且1 p級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)收斂； ，如果如果 n p n unlim，且且1 p.級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 例例5 收斂收斂存在，證明存在，證明設(shè)設(shè) 1 2 |lim n nn n uun ，設(shè)設(shè)sun n n 2 lim證證 ，則則|lim 2 sun n n 由上述推論知由上述推論知 收斂收斂 1 | n n u 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂此時(shí)我們也稱此時(shí)我們也稱 1n n u 第12頁(yè)/共39頁(yè)

13、2. 比值判定法比值判定法(達(dá)朗貝爾判定法達(dá)朗貝爾判定法) 定理定理 證明證明，0 N 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn | 1 n n u u 有有)( 1 Nn u u n n ， n n n u u 1 lim，0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 ，取取 1，使使1 r ， 1 1 N m mN uru ， 12 NN ruu， 1 2 23 NNN urruu， 從而有從而有 1 1 1 m N m ur收斂，收斂，又級(jí)數(shù)又級(jí)數(shù) 收斂收斂 11Nn n m mN uu 收斂收斂 1n n u ，或或是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果設(shè)設(shè))(lim 1 1 n n n n n u u u 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)則當(dāng)

14、1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散或或當(dāng)當(dāng) 1 第13頁(yè)/共39頁(yè) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn | 1 n n u u 有有)( 1 Nn u u n n 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 ，取取1 ，使使1 r 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn ， nnn uruu 1 0lim n n u發(fā)散發(fā)散 1n n u 時(shí)，時(shí)，同理可證同理可證 發(fā)散發(fā)散 1n n u 注意注意 發(fā)散，發(fā)散，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例如例如 1 1 n n 收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 2 1 n n )1( 比值判定法比值判定法的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn): 不必找比較級(jí)數(shù)不必找比較級(jí)數(shù) 時(shí)比值判定法失效時(shí)比值判定法失效當(dāng)當(dāng)1 第14頁(yè)/共39頁(yè) 解解)1( ! )1( ! limlim 1 n n

15、u u n n n n 0 1 1 lim n n 收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) 1 ! 1 n n ，1 例例6 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 )2( 1 1 )1( limlim n n n n n n n n u u ，10 1 1 ) 1 (lim nn n n n 收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) 1 1 n n n 1 ! )3( n n n n )3( n n n n n n n n n n u u! ! )1( )1( limlim 1 1 n n n n n)1( lim ，1 e 發(fā)散發(fā)散故故 1 ! n n n n ； 1 ! 1 )1( n n ； 1 1 )2( n n n

16、第15頁(yè)/共39頁(yè) 例例7 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 2 1 )1( n n n n n 解解 1 2 3 2 1 )1( )2( )1( limlim n n n n n n n n n n n n u u 13 ) 1 () 2 1 (lim nn n n n n n 13 ) 1 1() 2 1 1(lim nn n nn ，1 2 1 )1( lim n n n n n n又又 2 2 )1( lim n n n n n 2 2 )1()1( lim n n n n n n n ，0 1 e 所以原級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 所以比值判定法失效所以比值判定法失效 第16頁(yè)/共

17、39頁(yè) 例例8 )1997()1()2(lim)1( 11 nn n n n a a a收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)存在；存在；證明證明 證證 (1) 1 ( 2 1 1 n nn a aa ) 1 ( 2 1 1n n nn a a aa 又又，0 從而它收斂從而它收斂 ，易知，易知對(duì)題設(shè)條件兩邊取極限對(duì)題設(shè)條件兩邊取極限1lim n n a ，設(shè)設(shè)), 2 , 1() 1 ( 2 1 2 11 n a aaa n nn n n a a 1 ，1 有下界，有下界，數(shù)列數(shù)列 n a n n a a 2 1 2 1 單調(diào)減少，單調(diào)減少，數(shù)列數(shù)列 n a 第17頁(yè)/共39頁(yè) 例例8 )1997()1()2(l

18、im)1( 11 nn n n n a a a收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)存在；存在；證明證明 證證 (2)1 1 n n n a a b令令 1 1 1 1 limlim 2 2 2 1 2 11 n n n n n n n n a a a a b b 又又 從而由比值判定法知，從而由比值判定法知， 10 ，設(shè)設(shè)), 2 , 1() 1 ( 2 1 2 11 n a aaa n nn ，0 1 1 2 2 n n a a 222 4 4)1( 1 lim nn n n aa a 11 )1( nn n a a 收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 第18頁(yè)/共39頁(yè) 例例9 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 2 )1

19、(2 n n n 解解 )1(22 )1(2 limlim 1 1 n n n n n n u u 不存在不存在 n n n u u 1 lim ，又又 nnn n n vu 2 3 2 )1(2 收斂，收斂，而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 11 2 3 n n n n v 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)收斂收斂 11 2 )1(2 n n n n n u 故比值判定法失效故比值判定法失效 為奇數(shù)，為奇數(shù)， 為偶數(shù)，為偶數(shù)， n n 2 3 6 1 第19頁(yè)/共39頁(yè) 3. 根值判定法根值判定法(柯西判定法柯西判定法) 定理定理 時(shí)不能判定時(shí)不能判定當(dāng)當(dāng)1 例例10 均為正數(shù)均為正數(shù)，且，且其中其中baaaa nn n li

20、m 解解， a b a b u n n n n n limlim 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，不能判定時(shí)，不能判定當(dāng)當(dāng)ba ，或或是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果設(shè)設(shè))(lim 1 n n n n n uu 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)則當(dāng)1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；或或當(dāng)當(dāng) 1 的斂散性的斂散性判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) n nn a b )( 1 第20頁(yè)/共39頁(yè) 4. 柯西積分判定法柯西積分判定法 定理定理 例例11 解解 收斂收斂則正項(xiàng)級(jí)數(shù)則正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1 )( n nf 時(shí)非負(fù)且單調(diào)減少，時(shí)非負(fù)且單調(diào)減少，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1)( xxf 收斂

21、收斂廣義積分廣義積分 1 )(dxxf 的斂散性的斂散性判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 2 )(ln 1 n p nn 2 )(ln p xx dx 2 )(ln ln p x xd 2ln ， p u du 2 )(ln 1收斂，收斂，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) p xx dx p 2 )(ln 1發(fā)散發(fā)散時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) p xx dx p 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)從而原級(jí)數(shù)當(dāng)從而原級(jí)數(shù)當(dāng)11 pp 第21頁(yè)/共39頁(yè) 例例12 論正確的是論正確的是為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則下列結(jié)設(shè)設(shè))( 1 n n a (A) 收斂收斂，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)若若 1 0lim n nn n ana (B) (C) (D) 發(fā)

22、散發(fā)散則則，使得使得，若存在非零常數(shù)若存在非零常數(shù) 1 lim n nn n ana 收斂，則收斂，則若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)0lim 2 1 n n n n ana ，使得，使得發(fā)散，則存在非零常數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)若若 n n n n naalim 1 解解 正確的選項(xiàng)應(yīng)是正確的選項(xiàng)應(yīng)是 B B )2004( ，若取若取 nn an ln 1 ，則則0lim n n na發(fā)散，發(fā)散，且且 22 ln 1 nn n nn a故故 A、D 錯(cuò)錯(cuò) ，若取若取 nn an 1 收斂，收斂，則則 2 1 n nn ，且且 n n an2lim故故 C 錯(cuò)錯(cuò) 第22頁(yè)/共39頁(yè) 1. 交錯(cuò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概

23、念 )1()1( 11 1 n n n n n n uu 或或級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ，其中其中)0( n u 稱為稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)它是正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)它是正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù) 2. 交錯(cuò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)斂散性斂散性的的判定法判定法 萊布尼茨定理萊布尼茨定理 滿足：滿足：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) n n n u 1 1 )1( ，), 2 , 1()1( 1 nuu nn ，0lim)2( n n u ，則級(jí)數(shù)收斂，且其和則級(jí)數(shù)收斂，且其和 1 us 的絕對(duì)值的絕對(duì)值其余項(xiàng)其余項(xiàng) 1 | nnn urr 第23頁(yè)/共39頁(yè) 萊布尼茨定理萊布尼茨定理 滿足：滿足：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) n n n u 1 1

24、)1( ，), 2 , 1()1( 1 nuu nn ，0lim)2( n n u 證明證明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又又 )()()( 21243212nnn uuuuuus 又又 1 u ，0 1 nn uu .lim 12 uss n n 設(shè)設(shè)，0lim 12 n n u 單調(diào)增加，單調(diào)增加，數(shù)列數(shù)列 n s2 有上界，有上界，數(shù)列數(shù)列 n s2 )(limlim 12212 nn n n n uss，s .)1( 1 1 1 ussu n n n 且且， .limssn n 故故 ，且其和且其和則級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂， 1 us 的絕對(duì)值的絕對(duì)值其余項(xiàng)其

25、余項(xiàng) 1 | nnn urr 第24頁(yè)/共39頁(yè) ，又余項(xiàng)又余項(xiàng))( 21 nnn uur ， 21 | nnn uur 且滿足收斂的兩個(gè)條件，且滿足收斂的兩個(gè)條件， .| 1 nn ur定理證畢定理證畢 也是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，也是交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 例例13 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 11 )1( n n n 解解， 1 11 1 n u n u nn ，且且0 1 limlim n u n n n 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 收斂收斂 1 11 )1( n n n 以后可以證明：以后可以證明： .2ln 1 )1( 1 1 n n n 由定理可知，若以由定理可知，若以 n k k k 1 11 )1(

26、 ，2ln . 1 1 | n rn其誤差其誤差 第25頁(yè)/共39頁(yè) 例例14 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 1ln )1( n n n n 解解的單調(diào)性，的單調(diào)性，首先討論首先討論 n n un ln ，令令 x x xf ln )( 2 ln1 )( x x xf 則則. )(0ex ， 單調(diào)減少，單調(diào)減少，時(shí)，時(shí)，故當(dāng)故當(dāng) n un3 x x xf xx ln lim)(lim 又又 ，0 ln limlim n n u n n n 故故 ，0 1 lim x x 收斂收斂 1 1ln )1( n n n n 第26頁(yè)/共39頁(yè) 前面我們討論了前面我們討論了正正( (負(fù)負(fù)) )

27、項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與與交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的斂散性的 判定法，判定法， 定義定義 下面我們討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)如何判定其斂散性下面我們討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)如何判定其斂散性 如級(jí)數(shù)如級(jí)數(shù) 收斂，收斂， 1 11 )1( n n n 發(fā)散發(fā)散但但 1 1 n n 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 條件收斂條件收斂 1 11 )1( n n n 收斂，收斂，若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1 | n n u為絕對(duì)收斂；為絕對(duì)收斂；則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1n n u 收斂，收斂，發(fā)散，而發(fā)散，而若若 11 | n n n n uu為條件收斂為條件收斂則稱則稱 1n n u 第27頁(yè)/共39頁(yè) 證明證明，|2|0 nnn uuu 收斂，收斂， 1 ) |(

28、 n nn uu收斂，收斂，又又| 1 n n u 定理定理 收斂收斂故故 11 ) |( n nnn n n uuuu 即即 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)本身一定收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)本身一定收斂 定理的作用：定理的作用： 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，收斂，若若 1 | n n u收斂收斂則則 1n n u 第28頁(yè)/共39頁(yè) 例例15 問(wèn)級(jí)數(shù)問(wèn)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，還是條件收斂絕對(duì)收斂，還是條件收斂 ？ 1 1ln )1( n n n n 解解，)3( 1ln n nn n 發(fā)散，發(fā)散，又又 1 1 n n 發(fā)散發(fā)散 1 ln n n n 收斂，收斂，知知又由前面例又由前面例 1 1ln )1(1

29、1 n n n n 1 1ln )1( n n n n 從而級(jí)數(shù)從而級(jí)數(shù)條件收斂條件收斂 第29頁(yè)/共39頁(yè) 例例16 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 1 1 )1( n p n n 解解 1 1 1 n p n p收收斂斂，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 1 )1( n p n n 1 1 10 n p n p發(fā)發(fā)散散，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) ppn nn u )1( 11 但但， 1 n u ，且且0 1 limlim p n n n n u 1 1 1 )1( n p n n ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 1 lim0 p n n p 1 1 1 )1( n p n n 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂； 條件收斂條件收斂； 發(fā)散發(fā)

30、散 第30頁(yè)/共39頁(yè) 例例17 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 1 2 3 cos n n n n 解解| 2 3 cos | nn n n u ，令令 nn n v 2 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 又又 n n n 2 1 lim ，1 2 1 收斂，收斂， 12n n n 根據(jù)比較判定法，根據(jù)比較判定法， 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ， n n 2 第31頁(yè)/共39頁(yè) 例例18 解解，令令) 11 ()1( 1 1 nn n n uu a，1lim n n u n n an n1 | lim ，2 發(fā)散，發(fā)散，又級(jí)數(shù)又級(jí)數(shù) 1 1 n

31、n (A) 發(fā)散發(fā)散(B) (C) (D) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂條件收斂條件收斂不能確定不能確定 ，且，且設(shè)設(shè)1lim0 n n n u n u ) 1 1 (lim 1 n n u n u n nn n 所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 )2002() 11 ()1( 11 1 nnn n uu 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 第32頁(yè)/共39頁(yè) 例例18 解解 n kkk k n uu S 11 1 ) 11 ()1( ，又又1limlim 1 1 n u u n n n n n (A) 發(fā)散發(fā)散(B) (C) (D) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂條件收斂條件收斂不能確定不能確定 ，且，且設(shè)設(shè)1lim0 n n n

32、 u n u ，0 1 lim n n u ) 11 ()1() 11 () 11 ( 1 1 3221 nn n uuuuuu ， 1 1 1 1 )1( 1 n n uu ，故故 1 1 lim u Sn n 故應(yīng)選故應(yīng)選 C C )2002() 11 ()1( 11 1 nnn n uu 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 第33頁(yè)/共39頁(yè) 例例19 )2003(則下列命題正確的是則下列命題正確的是 解解 (A) 都收斂都收斂與與條件收斂，則條件收斂，則若若 111n n n n n n qpa (B) (C) (D) ，設(shè)設(shè)), 2 , 1( 2 | 2 | n aa q aa p nn n nn n 錯(cuò)錯(cuò)、故故CA 都收斂都收斂與與絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則若若 111n n n n n n qpa 的斂散性都不定的斂散性都不定與與條件收斂，則條件收斂，則若若 111n n n n n n qpa 的斂散性都不定的斂散性都不定與與絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則若若 111n n n n n n qpa 條件收斂，條件收斂，若若 1n n a 11 | n n n n aa發(fā)散，發(fā)散，收斂，而收斂，而則則 都發(fā)散都發(fā)散及及從而從而 11n n n n qp 第34頁(yè)/共39頁(yè) 例例19 )2003(