必修三教學(xué)設(shè)計：古典概型

1、3.2 古典概型3.2.1 古典概型一、教材分析 本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時,是在隨機事件的概率之后,幾何概型之前,尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的.古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型,也是一種最基本的概率模型,在概率論中占有相當(dāng)重要的地位. 學(xué)好古典概型可以為其他概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),同時有利于理解概率的概念,有利于計算一些事件的概率,有利于解釋生活中的一些問題.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平,通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性,觀察類比各個試驗,歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式,體現(xiàn)了化歸的重要思想,掌握列舉法,

2、學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題. 概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義,加強與實際生活的聯(lián)系,以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象.適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機會,盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例.使得學(xué)生在體會概率意義的同時,感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：（1）正確理解古典概型的兩大特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率計算公式：P（A）=2、過程與方法：（1）通過對現(xiàn)實生活中具體的概率問題的探究，

3、感知應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習(xí)慣。3、情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學(xué)與探究活動，體會理論來源于實踐并應(yīng)用于實踐的辯證唯物主義觀點.三、重點難點教學(xué)重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率.教學(xué)難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型,分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù).四、課時安排 1課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路1(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,結(jié)果只有2個,即“正面朝上”或“反面朝上”,它們都是隨機事件.(2)一個盒子中有10

4、個完全相同的球,分別標(biāo)以號碼1,2,3,10,從中任取一球,只有10種不同的結(jié)果,即標(biāo)號為1,2,3，,10.思考討論根據(jù)上述情況,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？為此我們學(xué)習(xí)古典概型,教師板書課題.思路2 將撲克牌（52張）反扣在桌上,先從中任意抽取一張,那么抽到的牌為紅心的概率有多大？是否一定要進行大量的重復(fù)試驗,用“出現(xiàn)紅心”這一事件的頻率估計概率？這樣工作量較大且不夠準(zhǔn)確.有更好的解決方法嗎？把“抽到紅心”記為事件B,那么事件B相當(dāng)于“抽到紅心1”,“抽到紅心2”,“抽到紅心K”這13種情況,而同樣抽到其他牌的共有39種情況；由于是任意抽取的,可以認(rèn)為這52種情況的可能性是相等的.所以,當(dāng)

5、出現(xiàn)紅心時“抽到紅心1”,“抽到紅心2”,“抽到紅心K”這13種情形之一時,事件B就發(fā)生,于是P(B)=.為此我們學(xué)習(xí)古典概型.（二）推進新課、新知探究、提出問題 試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成20次（最好是整十?dāng)?shù)）,最后由學(xué)科代表匯總；試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄“1點” “2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”的次數(shù),要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成60次（最好是整十?dāng)?shù)）,最后由學(xué)科代表匯總.（1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好？為什么？（2）根據(jù)以前的學(xué)習(xí),上述兩個模擬試驗的每個結(jié)果之間都有什么特點？

6、（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特點？（4）什么是古典概型？它具有什么特點？（5）對于古典概型,應(yīng)怎樣計算事件的概率？活動：學(xué)生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果,并與同學(xué)交流活動感受,討論可能出現(xiàn)的情況,師生共同匯總方法、結(jié)果和感受.討論結(jié)果：（1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率不好,因為需要進行大量的試驗,同時我們只是把隨機事件出現(xiàn)的頻率近似地認(rèn)為隨機事件的概率,存在一定的誤差.（2）上述試驗一的兩個結(jié)果是“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機事件,出現(xiàn)的概率是相等的,都是0.5.上述試驗二的6個結(jié)果是“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”,它們也都是隨機事件,出

7、現(xiàn)的概率是相等的,都是.（3）根據(jù)以前的學(xué)習(xí),上述試驗一的兩個結(jié)果“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機事件；上述試驗二的6個結(jié)果“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”,它們都是隨機事件,像這類隨機事件我們稱為基本事件（elementary event）；它是試驗的每一個可能結(jié)果.基本事件具有如下的兩個特點：任何兩個基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.（4）在一個試驗中如果試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性）我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型（classical models of

8、 probability）,簡稱古典概型.向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點,如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的,你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么？ 因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點,試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的,雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”,但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件. 如下圖,某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊,這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)命中5環(huán)和不中環(huán).你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？ 不是古典概型,因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個,而命中10環(huán)、命中9環(huán)命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的,即不滿足古典概型的第二個條件.（5）古典概型,隨機事件的概率計算 對于

9、實驗一中,出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等,即 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”） 由概率的加法公式,得 P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1. 因此 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=. 即P（“出現(xiàn)正面朝上”)=. 試驗二中,出現(xiàn)各個點的概率相等,即 P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）. 反復(fù)利用概率的加法公式,我們有P（“1點”）+P（“2點”）+P（“3點”）+P（“4點”）+P（“5點”）+P（“6點”）=P（必然事件）=1. 所以P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4

10、點”）=P（“5點”）=P（“6點”）=. 進一步地,利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率,例如, P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）=P（“2點”）+P（“4點”）+P（“6點”）=+=. 即P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）=.因此根據(jù)上述兩則模擬試驗,可以概括總結(jié)出,古典概型計算任何事件的概率計算公式為：P（A）=.在使用古典概型的概率公式時,應(yīng)該注意：要判斷該概率模型是不是古典概型；要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù).下面我們看它們的應(yīng)用.（三）應(yīng)用示例思路1例1 從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中,有哪些基本事件？活動：師生交流或討論,我們可以按照字典排序的

11、順序,把所有可能的結(jié)果都列出來.解：基本事件共有6個:A=a,b,B=a,c,C=a,d,D=b,c,E=b,d,F=c,d.點評：一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果,畫樹狀圖是列舉法的基本方法.分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉.變式訓(xùn)練 用不同的顏色給下圖中的3個矩形隨機地涂色,每個矩形只涂一種顏色,求:(1)3個矩形顏色都相同的概率；(2)3個矩形顏色都不同的概率.分析：本題中基本事件比較多,為了更清楚地枚舉出所有的基本事件,可以畫圖枚舉如下：（樹形圖）解：基本事件共有27個.(1)記事件A=“3個矩形涂同一種顏色”,由上圖可以知道事件A包含的基本事件有13=3個,故P(A)

12、=.(2)記事件B=“3個矩形顏色都不同”,由上圖可以知道事件B包含的基本事件有23=6個,故P(B)=.答：3個矩形顏色都相同的概率為；3個矩形顏色都不同的概率為.例2 單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型,一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容,他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生不會做,他隨機地選擇一個答案,問他答對的概率是多少？活動：學(xué)生閱讀題目,搜集信息,交流討論,教師引導(dǎo),解決這個問題的關(guān)鍵,即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型.如果學(xué)生掌握或者掌握了部分考查內(nèi)容,這都不滿足古典概型的第2個條件等可能性,因此,只有在假定學(xué)生不會做,隨機地選擇了一個答

13、案的情況下,才可以化為古典概型.解：這是一個古典概型,因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D,即基本事件共有4個,考生隨機地選擇一個答案是選擇A,B,C,D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計算公式得：P（“答對”）=0.25.點評：古典概型解題步驟:（1）閱讀題目,搜集信息；（2）判斷是否是等可能事件,并用字母表示事件；（3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m；（4）用公式P(A)=求出概率并下結(jié)論.變式訓(xùn)練1.兩枚均勻硬幣,求出現(xiàn)兩個正面的概率.解：樣本空間：甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反.這里四個基本事件是等可能發(fā)生的,故屬古典概型.n=4,m=1

14、,P=.2.一次投擲兩顆骰子,求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率.解法一:設(shè)表示“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點, 第二顆骰子出現(xiàn)j點”,i,j=1,2,6.顯然出現(xiàn)的36個基本事件組成等概樣本空間,其中A包含的基本事件個數(shù)為k=33+33=18,故P(A)=.解法二:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）,則它們也組成等概率樣本空間.基本事件總數(shù)n=4,A包含的基本事件個數(shù)k=2,故P(A)=.解法三:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：點數(shù)和為奇數(shù),點數(shù)和為偶數(shù),也組成等概率樣本空間,基本事件總數(shù)n=2,A所含基本事件數(shù)為1,故P(A

15、)=.注：找出的基本事件組構(gòu)成的樣本空間,必須是等概率的.解法2中倘若解為：（兩個奇）,（一奇一偶）,（兩個偶）當(dāng)作基本事件組成樣本空間,則得出P(A)=,錯的原因就是它不是等概率的.例如P（兩個奇）=,而P（一奇一偶）=.本例又告訴我們,同一問題可取不同的樣本空間解答.例3 同時擲兩個骰子,計算：(1)一共有多少種不同的結(jié)果?(2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少?解：(1)擲一個骰子的結(jié)果有6種.我們把兩個骰子標(biāo)上記號1,2以便區(qū)分,由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對,組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果,因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有

16、36種.(2)在上面的所有結(jié)果中,向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果,第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果.(3)由于所有36種結(jié)果是等可能的,其中向上點數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種,因此,由古典概型的概率計算公式可得P(A)=.例4 假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成,每個數(shù)字可以是0,1,2,9十個數(shù)字中的任意一個.假設(shè)一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼,問他到自動取款機上隨機試一次密碼就能取到錢的概率是多少?解：一個密碼相當(dāng)于一個基本事件,總共有10 000個基本事件,它們分別是0000,0001,0002,9998,9999

17、.隨機地試密碼,相當(dāng)于試到任何一個密碼的可能性都是相等的,所以這是一個古典概型.事件“試一次密碼就能取到錢”由1個基本事件構(gòu)成,即由正確的密碼構(gòu)成.所以P(“試一次密碼就能取到錢”)=.發(fā)生概率為的事件是小概率事件,通常我們認(rèn)為這樣的事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的,也就是通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率是很小的.但我們知道,如果試驗很多次,比如100 000次,那么這個小概率事件是可能發(fā)生的.所以,為了安全,自動取款機一般允許取款人最多試3次密碼,如果第4次鍵入的號碼仍是錯誤的,那么取款機將“沒收”儲蓄卡.另外,為了使通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率更小,現(xiàn)在儲蓄卡可以使用

18、6位數(shù)字作密碼. 人們?yōu)榱朔奖阌洃?通常用自己的生日作為儲蓄卡的密碼.當(dāng)錢包里既有身份證又有儲蓄卡時,密碼泄密的概率很大.因此用身份證上的號碼作密碼是不安全的.例5 某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格,問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2聽,檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大?解：我們把每聽飲料標(biāo)上號碼,合格的4聽分別記作:1,2,3,4,不合格的2聽分別記作a,b,只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品.依次不放回地從箱中取出2聽飲料,得到的兩個標(biāo)記分別記為x和y,則(x,y)表示一次抽取的結(jié)果,即基本事件.由于是隨機抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A表示“抽出的2聽飲料中有不合

19、格產(chǎn)品”,A1表示“僅第一次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A2表示“僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A12表示“兩次抽出的都是不合格產(chǎn)品”,則A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1A2A12,從而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12).因為A1中的基本事件的個數(shù)為8,A2中的基本事件的個數(shù)為8,A12中的基本事件的個數(shù)為2,全部基本事件的總數(shù)為30,所以P(A)=0.6.思路2例1 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出兩個球,(1)共有多少個基本事件？(2)摸出的兩個都是白球的概率是多少？活動：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件.解：(1)分別記白球為1,

20、2,3號,黑球4,5號,從中摸出2只球,有如下基本事件（摸到1,2號球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10個基本事件.（2）上述10個基本事件發(fā)生的可能性是相同的,且只有3個基本事件是摸到兩個白球（記為事件A）,即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=.共有10個基本事件,摸到兩個白球的概率為.變式訓(xùn)練 將一顆骰子先后拋擲兩次,觀察向上的點數(shù),問：（1）共有多少種不同的結(jié)果？（2）兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？（3）兩數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是多少？解析：（1）將骰子

21、拋擲1次,它出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6這6種結(jié)果.先后拋擲兩次骰子,第一次骰子向上的點數(shù)有6種結(jié)果,第2次又有6種可能的結(jié)果,于是一共有66=36種不同的結(jié)果；(2)第1次拋擲,向上的點數(shù)為1,2,3,4,5,6這6個數(shù)中的某一個,第2次拋擲時都可以有兩種結(jié)果,使向上的點數(shù)和為3的倍數(shù)（例如：第一次向上的點數(shù)為4,則當(dāng)?shù)?次向上的點數(shù)為2或5時,兩次的點數(shù)的和都為3的倍數(shù)）,于是共有62=12種不同的結(jié)果；(3)記“向上點數(shù)和為3的倍數(shù)”為事件A,則事件A的結(jié)果有12種,因為拋兩次得到的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的,所以所求的概率為P(A)=.答：先后拋擲2次,共有36種不同的結(jié)果；點數(shù)的

22、和是3的倍數(shù)的結(jié)果有12種；點數(shù)的和是3的倍數(shù)的概率為.說明：也可以利用圖表來數(shù)基本事件的個數(shù)：例2 從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中,每次任取一件,每次取出后不放回,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.活動：學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo),每次取出一個,取后不放回,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件是等可能發(fā)生的,因此可用古典概型解決.解：每次取出一個,取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個,即（a1,a2）和（a1,b2）,（a2,a1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）.其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第

23、2次取出的產(chǎn)品用A表示“取出的兩種中,恰好有一件次品”這一事件,則A=（a1,b1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）,事件A由4個基本事件組成,因而,P（A）=. 思考 在上例中,把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,其余條件不變,求取出的兩件中恰好有一件次品的概率. 有放回地連續(xù)取出兩件,其一切可能的結(jié)果有：（a1,a1）,（a1,a2）,（a1,b1）,（a2,a1）,（a2,a2）,（a2,b1）,（b1,a2）,（b1,b1）,由9個基本事件組成,由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等,因此可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用B表示“恰有一件次品”這一事件,

24、則B=（a1,b1）,（a2,b1）,（b1,a1）,（b1,a2）, 事件B包含4個基本事件,因而,P（B）=.點評：（1）在連續(xù)兩次取出過程中,（a1,b1）與（b1,a1）不是同一個基本事件,因為先后順序不同.（2）無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”,每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的.變式訓(xùn)練 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品,2件為次品：（1）如果從中取出一件,然后放回,再取一件,求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取3件,求3件都是正品的概率.分析：（1）為放回抽樣；（2）為不放回抽樣.解：（1）有放回地抽取3次,按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果,則x,y,z都有10種可能,所以試驗結(jié)果有101010=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”,則包含的基本事件共有888=83種,因此,P(A)=0.512.（2）解法1：可以看作不放回抽樣3次,順序不同,基本事件不同,按抽取順序記錄（x,y,z）,則x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能,所以試驗的所有結(jié)果為1098=