立體幾何中球的內(nèi)切和外接問題(完美版)(1)匯編

1、 二、球與多面體的接、切二、球與多面體的接、切 定義定義1：若一個多面體的：若一個多面體的各頂點各頂點都在一個球的球面上都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體內(nèi)接多面體， 這個球是這個這個球是這個 。 定義定義2：若一個多面體的：若一個多面體的各面各面都與一個球的球面相切都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的外切多面體外切多面體， 這個球是這個這個球是這個 。 一、一、 球體的體積與表面積球體的體積與表面積 3 4 3 VR 球球 2 4SR 球球 面面 多面體的多面體的外接球外接球 多面體的多面體的內(nèi)切球內(nèi)切球 剖析

2、定義 1 1 一、由球心的定義確定球心一、由球心的定義確定球心 在空間，如果一個在空間，如果一個定點定點與一個簡單多面體的與一個簡單多面體的 所有頂點所有頂點的距離都的距離都相等相等，那么這個定點就是該簡，那么這個定點就是該簡 單多面體的外接球球心。單多面體的外接球球心。 一、定義法 針對講解 1 1 ? C ? A ? O ? D ? B ? 圖4 求正方體、長方體的外接球的有關(guān)問題 2 2 2 2 出現(xiàn)正四面體外接球時利用構(gòu)造法出現(xiàn)正四面體外接球時利用構(gòu)造法(補(bǔ)形法補(bǔ)形法)，聯(lián)系正方體。，聯(lián)系正方體。 求正方體、長方體的外接球的有關(guān)問題 例?2.（全國卷）一個四面體的所有棱長都為?，四個頂

3、點在 同一球面上，則此球的表面積為（?）? 2 A.?B.?C.?D.?343 36 破譯規(guī)律-特別提醒 2 2 球與正四面體內(nèi)切接問題 3 3 【例3】求棱長為a的正四面體內(nèi)切球的體積 球與正四面體內(nèi)切接問題 3 3 正四面體內(nèi)切、外接結(jié)論 3 3 ?球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面 體（棱長為a）的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比 為R：r3：1.外接球半徑： 內(nèi)切球半徑： 結(jié)論：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球 和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定 有內(nèi)切球的半徑 (為正四面體的高)，且外接球的半徑 aR 4 6 ar 12 6 hr 4 1 r

4、R3 2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。 3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不 重合。重合。 1 例例4、正三棱錐的高為、正三棱錐的高為 1，底面邊長為，底面邊長為 。求棱錐的全面。求棱錐的全面 積和它的內(nèi)切球的表面積。積和它的內(nèi)切球的表面積。 62 過側(cè)棱過側(cè)棱AB與球心與球心O作截面作截面( 如圖如圖 ) 在正三棱錐中，在正三棱錐中，BE 是正是正BCD的高，的高， O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 為斜高為斜高 62BC 2 1 EO3AE 且且 2 62 4 3 362 2 1

5、 3S 全全 9263 解法解法1： O1 A BE O C D 作作 OF AE 于于 F F 設(shè)內(nèi)切球半徑為設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，則，則 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 3 1 2 rr 26 r 6258S 球球 例例4、正三棱錐的高為、正三棱錐的高為 1，底面邊長為，底面邊長為 。求棱錐的。求棱錐的 全面積和它的內(nèi)切球的表面積。全面積和它的內(nèi)切球的表面積。 解法解法2：設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為 r，則，則 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 162 4 3 3 1 2 BCDA V 全 Sr 3 1 r3223 26

6、r 6258 球 S 內(nèi)內(nèi)切切球球全全多多面面體體 rS 3 1 V 注意：割補(bǔ)法，注意：割補(bǔ)法， 內(nèi)切球全多面體 rSV 3 1 O1 A BE O C D 62 變式訓(xùn)練：一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截變式訓(xùn)練：一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截 面的可能圖形是（）面的可能圖形是（） A ? ? ? A B C D D1 C1 B1 A1 O 球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑。球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑。 變式訓(xùn)練：已知正四面體內(nèi)接于一個球，某人畫出四個過球心的變式訓(xùn)練：已知正四面體內(nèi)接于一個球，某人畫出四個過球心的 平面截球與正四面體所得

7、的圖形如下，平面截球與正四面體所得的圖形如下， 則（則（ ）? A以下四個圖形都是正確的以下四個圖形都是正確的 B只有是正確的只有是正確的 C只有是正確的只有是正確的 D只有是正確的只有是正確的 ? ? D A B C D O A B C D O 求正多面體外接球的半徑求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑求正方體外接球的半徑 解法解法2： 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點。 4 4 解析：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小 圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過余弦值再利 用正弦定理得到小圓半徑?，從而解決問題。r C c 2 sin 正棱錐的外接球的球心是

8、在其高上 5 5 正棱錐的外接球的球心是在其高上 5 5 9 測棱相等的錐體頂點的投影在底面外接圓心 6 6 O S M A B C 若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則共斜邊的中點就是其外接球的球心。 7 7 破譯規(guī)律-特別提醒 03 例題剖析-針對講解 2 2 舉一反三-突破提升 04 舉一反三-突破提升 4 4 1、（、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三視圖如圖海淀二模）已知斜三棱柱的三視圖如圖 所示，該斜三棱柱的體積為所示，該斜三棱柱的體積為_. 舉一反三-突破提升 4 4 2、（、（2015 鄭州三模）鄭州三模） 正三角形正三角形ABC的邊長為的邊長為 ，將，將 它沿高它沿高

9、AD翻折，使點翻折，使點B 與點與點C間的距離為間的距離為 ，此時四面，此時四面 體體ABCD的外接球的體積為的外接球的體積為 。? 2 3 3 3 3 BDDC BC ABC 等邊三角形等邊三角形 13 1 2sin60 313 , 22sin60 BE ADBE 22 2 913 1 42 413 13 36 OBOEBE VR 舉一反三-突破提升 4 4 3.(2015 南昌二模）某幾何體的三視圖如圖，該幾何體的南昌二模）某幾何體的三視圖如圖，該幾何體的 頂點都在球頂點都在球O 的球面上，球的球面上，球O的表面積是的表面積是 （ ） .2A.4B.8C.16D C 舉一反三-突破提升 4

10、 4 4.（2015?石家莊一模）三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互 相垂直,Q為底面?內(nèi)一點，若Q到三個側(cè)面的距離分別為3,4,5, 則過點P和Q的所有球中，表面積最小的球的表面積為? ABC 222 2 3,4,5 ,0,0,0 23455 2 5 2 ,450 2 QP RPQ RSR -29- 考點一 考點二 考點三 舉一反三-突破提升 4 4 -30- 考點一 考點二 考點三 舉一反三-突破提升 4 4 -31- 舉一反三-突破提升 4 4 -32- 舉一反三-突破提升 4 4 .四棱錐PABCD，底面ABCD是邊長為6的正方形，且 PA?=?PB?=?PC?=?PD，若一個半徑為1的