高等數(shù)學(xué)(1)考試(核)說明及模擬試卷

1、高等數(shù)學(xué)（1）考試（核）說明及模擬試卷 東海電大 陳曉文 高等數(shù)學(xué)（1）課程是江蘇電大開放?？乒た聘鲗I(yè)的一門必修課，課程的內(nèi)容有一元函數(shù)微積分、級(jí)數(shù)和微分方程，全部教學(xué)內(nèi)容為8章。下面逐章提出具體的復(fù)習(xí)要求，并指出教材的重點(diǎn)內(nèi)容。希望同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中動(dòng)手多做些習(xí)題，必要時(shí)結(jié)合例題來理解課程的內(nèi)容。第一章 函數(shù)本章教學(xué)要求： 一、理解函數(shù)的概念，了解確定函數(shù)的要素是定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，能根據(jù)這兩要素判別兩個(gè)函數(shù)是否相等。能熟練地求出函數(shù)的定義域。 二、了解函數(shù)的主要性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性)，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖形特點(diǎn)。 三、掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主

2、要性質(zhì)及其圖形。 四、了解復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。能把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成簡單函數(shù)。五、對(duì)一些較簡單的實(shí)際問題，會(huì)列出函數(shù)關(guān)系式。本章重點(diǎn)：函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)。綜合舉例：例1:下列函數(shù)對(duì)中，哪些表示同一個(gè)函數(shù)？.解:定義域?yàn)榈诙?極限與連續(xù)本章教學(xué)要求： 一、了解極限的概念，知道左右極限的概念，知道在x0點(diǎn)極限存在的充要條件是f(x)在x0 的左、右極限存在且相等。二、理解無窮小的概念，了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，知道無窮小量之間的比較（高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮?。?。三、熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則，注意法則的條件是各部分極限都存在，且分母的極限

3、不為零。四、知道極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼定理及單調(diào)數(shù)列極限存在定理。熟練掌握兩個(gè)重要極限：五、能熟練地運(yùn)用初等方法（極限的四則運(yùn)算、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、兩個(gè)重要極限、函數(shù)的連續(xù)性）及洛必塔法則計(jì)算函數(shù)的極限。 六、理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，它包括三部分內(nèi)容：1）f(x)在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義；2）在x0存在極限；3）極限值等于x0點(diǎn)的函數(shù)值，這三點(diǎn)缺一不可。了解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，在閉區(qū)間上端點(diǎn)是單側(cè)連續(xù)。由函數(shù)在一點(diǎn)x0處連續(xù)的定義，會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。七、會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，x0不是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，就稱x0為函數(shù)的間斷點(diǎn)。會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。八、知道連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不

4、為零)仍是連續(xù)函數(shù)。兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大最小值存在定理、零點(diǎn)定理、介值定理)。本章重點(diǎn)：求函數(shù)的極限,函數(shù)在一點(diǎn)x0的連續(xù)性。綜合舉例：第三章 導(dǎo)數(shù)與微分本章教學(xué)要求： 一、理解導(dǎo)數(shù)與微分的定義。導(dǎo)數(shù)與微分dy這兩個(gè)概念是等價(jià)的。了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及物理意義，會(huì)求曲線的切線方程和法線方程。了解函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，即f(x)在x0處可導(dǎo)，則f(x)在x0處必連續(xù)，反之不然。 二、牢記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則。 三、熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。并會(huì)推廣到多個(gè)中間變

5、量的情形。 四、掌握隱函數(shù)的微分法，正確地求出隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 五、了解一階微分形式的不變性。 六、在掌握基本導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，熟練地求出初等函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和微分，并會(huì)求導(dǎo)數(shù)值。 七、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。八、對(duì)于冪指函數(shù)、多個(gè)函數(shù)相乘除或較復(fù)雜的無理函數(shù)，會(huì)用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)或微分。九、會(huì)求用參數(shù)方程表示的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。本章重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計(jì)算。綜合舉例：第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章教學(xué)要求： 一、了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。知道羅爾定理、柯西定理的條件和結(jié)論。二、掌握洛必塔法則，能用該法則求型不定式的極限

6、以及較簡單的型不定式的極限。 三、知道函數(shù)在一點(diǎn)處的泰勒公式和麥克勞林公式。記住ex、ln(1+x)、sinx、cosx的麥克勞林公式。 四、掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法，會(huì)求函數(shù)的增減區(qū)間。 五、理解函數(shù)極值點(diǎn)及極值的概念和極值點(diǎn)的必要條件，熟練掌握求函數(shù)極值的方法(極值的充分條件)。知道駐點(diǎn)和極值點(diǎn)的區(qū)別和聯(lián)系。 六、了解曲線凹凸的概念，掌握用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線凹凸的方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。 七、會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線，能用微分法描繪簡單的函數(shù)圖形。 八、了解最大值、最小值的概念，會(huì)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值。 九、熟練掌握求解一些較簡單的實(shí)際問題中的最大值和最小值的方

7、法。這些實(shí)際問題以幾何問題為主。十、了解曲率的概念。本章重點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減性及曲線的凹凸性；求函數(shù)的極值點(diǎn)及極值；求幾何問題中的最大值和最小值。綜合舉例：例6:做一個(gè)容積為V的無蓋圓柱形容器,底的單位面積造價(jià)為a元,側(cè)面的單位面積造價(jià)為b元,試問如何設(shè)計(jì)底半徑和高,才能使總造價(jià)最小.解:設(shè)圓柱形容器底半徑為r,則由題意高為.第五章 不定積分本章教學(xué)要求： 一、理解原函數(shù)與不定積分的概念及關(guān)系，了解不定積分的性質(zhì)。了解不定積分的幾何意義。 二、熟記基本積分公式。三、熟練掌握第一換元積分法和分部積分法，掌握第二換元積分法。會(huì)利用不定積分性質(zhì)、基本積分公式、第一換元積分法、第二換元積分法和分

8、部積分法計(jì)算各種不定積分。四、會(huì)求簡單的有理分式函數(shù)積分，方法是用待定系數(shù)法化成部分分式后再積分。本章重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的計(jì)算。綜合舉例：第六章 定積分及其應(yīng)用本章教學(xué)要求： 一、理解定積分的概念(包括定義、幾何意義等)。了解定積分的主要性質(zhì)。二、了解變上限定積分，了解原函數(shù)存在定理。三、熟練掌握牛頓萊布尼茲公式：四、熟練掌握定積分的換元積分法：注意作變量替換時(shí)，積分上、下限要作相應(yīng)的改變。 五、熟練掌握定積分的分部積分法：注意每一部分都帶有積分上、下限。六、了解廣義積分（無窮積分和瑕積分）的概念，會(huì)判別一些無窮積分的斂散性，會(huì)計(jì)算較簡單的無窮積分。 七、熟練掌握用定積分計(jì)

9、算平面曲線圍成的平面區(qū)域的面積。八、熟練掌握用定積分計(jì)算平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積。本章重點(diǎn)：定積分的概念，牛頓萊布尼茲公式，定積分的計(jì)算，計(jì)算平面區(qū)域的面積和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。綜合舉例：第七章 級(jí)數(shù)本章教學(xué)要求： 一、了解無窮級(jí)數(shù)的概念：級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義及收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，了解級(jí)數(shù)收斂的必要條件（級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件）。 二、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法，了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。三、記住幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂性： 四、了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法。 五、理解冪級(jí)數(shù)的概念：包括收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)，收斂半徑，收斂域等。六、掌握求冪級(jí)數(shù)收斂半徑的方法： 七、記住函數(shù)ex,ln(1+x),s

10、inx,cosx的泰勒級(jí)數(shù)（麥克勞林級(jí)數(shù)）及這些級(jí)數(shù)的收斂域，會(huì)利用這些級(jí)數(shù)將簡單的初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。八、知道冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)。本章重點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)的概念，幾何級(jí)數(shù)和p級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。綜合舉例：解:C第八章 常微分方程本章教學(xué)要求： 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的階、解、特解、通解、初始條件和初值問題，線性微分方程。 二、熟練掌握一階可分離變量微分方程的解法。三、熟練掌握一階線性非齊次微分方程：的解法常數(shù)變易法和公式法。 四、理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。五、熟練掌握二階線性常系數(shù)齊次微分方程：的解法特征根法。會(huì)根據(jù)特征根

11、的三種情況，熟練地寫出方程的通解，并根據(jù)定解的條件寫出方程特解。六、熟練掌握二階線性常系數(shù)非齊次微分方程：，當(dāng)自由項(xiàng)f(x)為某些特殊情況時(shí)的解法待定系數(shù)法。所謂f(x)為某些特殊情況是指f(x)為多項(xiàng)式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。關(guān)鍵是依據(jù)f(x)的形式及特征根的情況，設(shè)出特解y*,代入原方程，定出y*的系數(shù)。本章重點(diǎn)：一階可分離變量微分方程、一階線性微分方程、二階線性常系數(shù)微分方程的解法。綜合舉例：解:B解:C解:B高等數(shù)學(xué)（1）模擬試題一、填空題（每小題2分，共12分）1若23函數(shù)f(x)=在點(diǎn)_處取得極小值.4若56_是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.二、單選題（每小題2分，共12分）1在（ ）時(shí)為無窮小量.

12、2若f(x)在x=處連續(xù)，則有（ ）.3曲線A.單調(diào)增加且凸的 B. 單調(diào)增加且凹的C.單調(diào)減少且凸的 D. 單調(diào)減少且凹的4設(shè)5以下命題正確的是（ ）.收斂B.收斂級(jí)數(shù)部分和有極限C.p級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)收斂D.級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散6下列微分方程中，（ ）是可分離變量的微分方程.三、計(jì)算題（本題6分） 求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間。四、計(jì)算題（每小題6分，共18分）123由方程五、計(jì)算題（每小題6分，共18分）123六、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1求滿足的特解.2求的通解.七、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）1求內(nèi)接于拋物線與X軸所圍區(qū)域內(nèi)的矩形的最大面積.2求由曲線所圍成平面圖形的面積.高等數(shù)學(xué)

13、（1）模擬試題答案一、填空題（每小題2分，共12分）120 3x=-14516二、單選題（每小題2分，共12分）1B 2C 3B 4A 5B 6A三、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1 =-3/22 3 四、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1 2 3 五、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1 2對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為： 設(shè)原方程的一個(gè)特解為 故原方程的一個(gè)特解為因此原方程的通解為：六、計(jì)算題（本題6分）七、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）1 1 設(shè)矩形與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為（x,y）則所求面積S=2xy=因此最大矩形面積為2 2 所圍面積 =1/3考試題型：分為填空題、單項(xiàng)選擇題和計(jì)算題（包括應(yīng)用題），其中填空題和單項(xiàng)選擇題的分?jǐn)?shù)占總分?jǐn)?shù)的30%左右，此類題目主要考查課程中所學(xué)的概念，公式，性質(zhì)等知識(shí)，并配有一些經(jīng)過簡單計(jì)算就能得出結(jié)果的小計(jì)算題目；試卷中計(jì)算題（包括應(yīng)用題）的分?jǐn)?shù)占總分?jǐn)?shù)的70%左右，主要考查學(xué)生對(duì)課程中所學(xué)過的基本計(jì)算方法和技能的掌握情況。 總之，同學(xué)們要在認(rèn)真完成平時(shí)作業(yè)的基礎(chǔ)上，對(duì)照考核說明有的放矢地重點(diǎn)復(fù)習(xí)?？紤]到成人和開放教育的特點(diǎn)，本課程是半開卷考試，建議同學(xué)們認(rèn)真整理并利用好A4紙。最后祝同學(xué)們考出好成績