16完全平方公式1

1、 教教 材材 分分 析析 學學 情情 教教 法法 教教 學學 設設 計計 教教 學學 反反 思思 完全平方公式完全平方公式 教材的地位和作用教材的地位和作用 本節(jié)內(nèi)容是在學生學習了整式的乘法和平方差公式之本節(jié)內(nèi)容是在學生學習了整式的乘法和平方差公式之 后，繼續(xù)學習的一個乘法公式。在熟練掌握多項式的乘法運后，繼續(xù)學習的一個乘法公式。在熟練掌握多項式的乘法運 算后，分析多項式乘法中特殊類型的運算規(guī)律，用來簡化運算后，分析多項式乘法中特殊類型的運算規(guī)律，用來簡化運 算，對培養(yǎng)學生的求簡意識有很大好處；同時，乘法公式是算，對培養(yǎng)學生的求簡意識有很大好處；同時，乘法公式是 后續(xù)學習因式分解、分式運算等內(nèi)

2、容的重要基礎，公式的推后續(xù)學習因式分解、分式運算等內(nèi)容的重要基礎，公式的推 導又是初中數(shù)學中運用推理的方法進行代數(shù)式恒等變形的開導又是初中數(shù)學中運用推理的方法進行代數(shù)式恒等變形的開 端；另外，公式的發(fā)現(xiàn)與驗證過程為學生以后探究新知的學端；另外，公式的發(fā)現(xiàn)與驗證過程為學生以后探究新知的學 習活動積累很好的方式和方法。習活動積累很好的方式和方法。 地位與作用地位與作用 教學目標教學目標 重點與難點重點與難點 數(shù)學公式是數(shù)學中重要的基礎知識，利用公式數(shù)學公式是數(shù)學中重要的基礎知識，利用公式 進行計算是重要的基本技能。怎樣讓學生經(jīng)歷公式進行計算是重要的基本技能。怎樣讓學生經(jīng)歷公式 發(fā)現(xiàn)和提煉的過程，感

3、悟其作為公式的合理性，使發(fā)現(xiàn)和提煉的過程，感悟其作為公式的合理性，使 學生進一步感受數(shù)形結(jié)合的魅力，從代數(shù)推理和幾學生進一步感受數(shù)形結(jié)合的魅力，從代數(shù)推理和幾 何背景等多角度探索公式，在深入理解的基礎上靈何背景等多角度探索公式，在深入理解的基礎上靈 活運用公式，是我這節(jié)課教學研究的重點。所以我活運用公式，是我這節(jié)課教學研究的重點。所以我 確定以下教學目標：確定以下教學目標： 教學目標教學目標 1、知識與技能：、知識與技能：會會推導推導完全平方公式，并能完全平方公式，并能運用運用公式公式 進行簡單的計算進行簡單的計算,進一步進一步發(fā)展發(fā)展符號感和推理能力；符號感和推理能力；了解了解完完 全平方公

4、式的幾何背景，全平方公式的幾何背景，感受感受數(shù)與形之間的聯(lián)系，數(shù)與形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)培養(yǎng) 學生用圖形解釋數(shù)的學生用圖形解釋數(shù)的能力能力及創(chuàng)造性思維和表達及創(chuàng)造性思維和表達能力能力。 2、過程與方法：、過程與方法：經(jīng)歷經(jīng)歷探索完全平方公式的探索完全平方公式的全過程全過程， 培養(yǎng)培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、推理等多種探學生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、推理等多種探 索知識的索知識的方法方法，從中，從中滲透滲透轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合思想思想， 培養(yǎng)學生求簡意識，應用意識及辯證統(tǒng)一觀念培養(yǎng)學生求簡意識，應用意識及辯證統(tǒng)一觀念。 3、情感態(tài)度與價值觀、情感態(tài)度與價值觀：通過反思問題情境的

5、創(chuàng)設，：通過反思問題情境的創(chuàng)設， 體體 驗驗數(shù)學活動充滿探索與發(fā)現(xiàn)，數(shù)學活動充滿探索與發(fā)現(xiàn)，激發(fā)激發(fā)學生探索的熱情，并學生探索的熱情，并 鼓勵鼓勵學生探索算法的多樣化，學生探索算法的多樣化，體會體會到解決問題策略的多到解決問題策略的多 樣性，樣性，積累積累探索數(shù)學公式的學習經(jīng)驗，從中探索數(shù)學公式的學習經(jīng)驗，從中感受感受數(shù)學公數(shù)學公 式的簡潔美，進一步式的簡潔美，進一步提高提高學生的參與意識和合作精神。學生的參與意識和合作精神。 地位與作用地位與作用 教學目標教學目標 重點與難點重點與難點 教學重難點教學重難點 抽象的數(shù)學公式的教學，不僅要抽象的數(shù)學公式的教學，不僅要重視重視 它的運用，更要關注

6、它的實際背景與形成過它的運用，更要關注它的實際背景與形成過 程程，才能有效地幫助學生克服機械地記憶、，才能有效地幫助學生克服機械地記憶、 模仿和套用公式。只有讓學生經(jīng)歷公式的發(fā)模仿和套用公式。只有讓學生經(jīng)歷公式的發(fā) 現(xiàn)和驗證的過程，才能更好地現(xiàn)和驗證的過程，才能更好地理解、掌握和理解、掌握和 運用公式。運用公式。 重點：經(jīng)歷完全平方公式的探索過程重點：經(jīng)歷完全平方公式的探索過程, 理解公式的理解公式的 結(jié)構(gòu)特點、語言描述和幾何背景，并會運用結(jié)構(gòu)特點、語言描述和幾何背景，并會運用 公式進行簡單計算。公式進行簡單計算。 七年級的學生對于抽象的數(shù)學推理和七年級的學生對于抽象的數(shù)學推理和 用圖形解釋數(shù)

7、的方法還只是初步的認識，用圖形解釋數(shù)的方法還只是初步的認識， 所以難點之一是所以難點之一是理解公式的推理過程和幾理解公式的推理過程和幾 何背景何背景；另外由于受到平方差公式和積的；另外由于受到平方差公式和積的 乘方法則的負面遷移的影響，學生容易把乘方法則的負面遷移的影響，學生容易把 幾個公式混淆，所以幾個公式混淆，所以掌握公式的結(jié)構(gòu)特點掌握公式的結(jié)構(gòu)特點 及其靈活運用公式又是一大難點。及其靈活運用公式又是一大難點。 難點：難點：理解公式的推導過程和幾何背景；理解公式的推導過程和幾何背景； 掌握公式的結(jié)構(gòu)特點及其靈活運用公式掌握公式的結(jié)構(gòu)特點及其靈活運用公式。 地位與作用地位與作用 教學目標教學

8、目標 重點與難點重點與難點 于是，我決定改變教學思路，從學生的錯誤于是，我決定改變教學思路，從學生的錯誤 猜想中切入，提出問題猜想中切入，提出問題:(a+b)2=a2+b2?引導學生引導學生 先先(a+b)2=a2+b2+2ab發(fā)現(xiàn)與驗證的過程，發(fā)現(xiàn)與驗證的過程， 再再(ab)2=? 然后進行然后進行 運用公式。在錯誤的反思中學習新知。運用公式。在錯誤的反思中學習新知。 學學 會會 評評 價價 布布 置置 作作 業(yè)業(yè) 創(chuàng)創(chuàng) 設設 情情 景景 引引 新新 設設 疑疑 合合 作作 交交 流流 探探 索索 新新 知知 參參 與與 其其 中中 體體 驗驗 特特 征征 類類 比比 猜猜 想想 繼繼 續(xù)續(xù)

9、 探探 索索 變變 式式 訓訓 練練 感感 悟悟 應應 用用 因為(ab)2 = a2b2 所以，我猜想： (a+b)2 = a2+b2 請問他的猜想對嗎？請問他的猜想對嗎？ 請你幫助他驗證。請你幫助他驗證。 我們小組是用舉例 子的方法驗證的， 即對a、b取不同的 數(shù)代入檢驗。觀察發(fā)現(xiàn)： (a + b)2 a2 + b2 我們小組認為我們小組認為(a + b)2 a2 + b2，因為，因為(a + b)2表示表示a與與b和的平方和的平方 而而a2 + b2表示表示a與與b平方的和平方的和，意義不同，所以不相等。，意義不同，所以不相等。 ab(a + b)2a2 + b2 2195 322512

10、 458141 如何用圖形來驗證公式如何用圖形來驗證公式: S大 大=(a + b)2=? S小 小= a 2 S S大 大=2S =2S =2 =2 (a + b)(a (a + b)(a + b) + b) = a = a2 2 + ab+ ab + ab+ ab+ b+ b2 2 = a = a2 2 + 2ab+ b + 2ab+ b2 2 S S大 大= S = S小 小+ S + S長 長1 1+S +S長 長2 2 = a = a2 2+(a+b)b+(a+b)b+ab = a = a2 2 + 2ab+ b + 2ab+ b2 2 1 2 S S大 大=S =S小 小+2S +

11、2S梯 梯 = a= a2 2+2+2 (a+a+b)b (a+a+b)b = a = a2 2+ 2ab+ b+ 2ab+ b2 2 2 1 S S大 大= S = S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4 = a= a2 2+ab+ab+b+ab+ab+b2 2 = a= a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 2 43 1 2 1 2 1 說說公式的特點說說公式的特點 左邊是兩項，和的平方，右邊是三項，左邊是兩項，和的平方，右邊是三項， 平方的和，再加上積的平方的和，再加上積的2倍；倍； a加加b的和的平方等于的和的平方等于a2加加b2再加再加2個個ab； 兩數(shù)和的平方等于這兩

12、數(shù)的平方和，兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和， 再加上它們積的再加上它們積的2倍。倍。 運用公式計算：運用公式計算： (x + 1)2 (2x +3)2 (mn + a)2 在小組內(nèi)交流計算結(jié)果在小組內(nèi)交流計算結(jié)果 你做對了嗎你做對了嗎? 需要幫助嗎需要幫助嗎? 公式可以寫成：公式可以寫成： 請你猜猜請你猜猜 能驗證你的猜想嗎？能驗證你的猜想嗎？ 我猜：我猜：(ab)2 = a2b2 我猜：我猜：(ab)2 = a22abb2 我猜：我猜：(ab)2 = a22ab+b2 我來告訴你：我來告訴你： (ab)2 =(ab) (ab) = a2abab+ b2 = a22ab+ b2 我會用圖形驗證

13、，你會嗎？我會用圖形驗證，你會嗎？ 我還會用折紙的辦法來說明呢！我還會用折紙的辦法來說明呢！ (我對了！我對了！) 你能運用公式你能運用公式 計算計算(a b)2=? 兩數(shù)和兩數(shù)和(或差或差)的完全平方公式的完全平方公式： 和平方、差平方等于首平方、尾平方，和平方、差平方等于首平方、尾平方， 首尾乘積的首尾乘積的2倍在中央倍在中央。 (ab)2=a+（b)2 = a2 + 2a(-b)+(- b)2 = a22ab+ b2 ( 首首尾尾)2 = 首首2 2首尾首尾 +尾尾2 都有都有a2 + b2，只是，只是2ab符號不同，和符號不同，和(差差)平方取正平方取正(負負)； (a+b)2=(ab

14、)2 +4ab、 (ab)2=(ab)2 4ab 口決：口決： 區(qū)別區(qū)別 聯(lián)系聯(lián)系 例例1：計算：計算 (2x +3y)2 ( 3x2y)2 (2t+1)2 (2t1)2 ( + )2=( )2+2 +( )2 =4x2+12xy+9y2 學生做出了如下多種解法：學生做出了如下多種解法： ( -2t1)2=( -2t)+(-1)2 =( -2t)2+2( -2t)(-1)+(-1)2=4t2+4t+1 ( -2t1)2=( -2t)(+1)2=( -2t)22( -2t)1+12 =4t2+4t+1 ( -2t1)2=- (2t + 1)2 = (2t+1)2 =(2t)2+22t1+12=4

15、t2+4t+1 (a+b)2 = a2 +2 a b +b2 2x 3y2x2x 3y3y 環(huán)節(jié)五、變式訓練環(huán)節(jié)五、變式訓練 體驗特征體驗特征 例例2、明辨是非，知錯能改。、明辨是非，知錯能改。 (a + 1)2 = a2 + 1 （ ） (a1)2 = a2 1 （ ） (a + 2)2 = a2 + 2a +4 （ ） (2a1)2 =2a22a + 1 （ ） (a2)2 = a24a 4 （ ） (a2b)2 = a22ab +2b2 （ ） 暢談解題心得暢談解題心得： 要認準要認準a、b； 注意乘積時添括號注意乘積時添括號(2b)2； 小心別漏了小心別漏了2ab項；項； 別忘了中間項

16、乘別忘了中間項乘2； 要先確定是要先確定是和和平方還是平方還是差差平方；平方； 結(jié)果有三項，別犯結(jié)果有三項，別犯(a+b)2a2 + b2 ，(ab)2a2b2錯誤錯誤 課堂練習課堂練習: 計算計算: a2+1+2a a2+12a a2+22a+4 (2a)222a+1 a24a+4 a222ab+(2b)2 2 y)2x 2 1 (1) 2 x) 5 1 xy(2(2) 22 n1)(n(3) 暢談本節(jié)課你學到哪些知識和方法？暢談本節(jié)課你學到哪些知識和方法？ 評價你自己的學習表現(xiàn)有哪些長處和不足？評價你自己的學習表現(xiàn)有哪些長處和不足？ 在小組活動中，你的同伴誰最優(yōu)秀，他有在小組活動中，你的同

17、伴誰最優(yōu)秀，他有 哪些優(yōu)點值得你學習？并填寫成長記錄卡。哪些優(yōu)點值得你學習？并填寫成長記錄卡。 作業(yè)作業(yè) A、必做作業(yè)：課本、必做作業(yè)：課本P43習題中習題中“知識技能知識技能”1、2； B、選做作業(yè)：課本、選做作業(yè)：課本P43習題中習題中“聯(lián)系拓展聯(lián)系拓展”1、2； C、提高作業(yè)：思考、提高作業(yè)：思考(a+b)3=？(a+b)4 =？ D、閱讀作業(yè)：課本、閱讀作業(yè)：課本P41讀一讀讀一讀“楊輝三角楊輝三角”。 讓讓“的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”. 符合評價方式采用定性和定量相結(jié)合的原則符合評價方式采用定性和定量相結(jié)合的原則 猜想：猜想：(a + b)2 a2 + b

18、2 ? 猜想：猜想：(a b)2 a2b2 ? (a + b)2 = a2 +2ab + b2 (ab)2 = a22ab + b2 驗證方法驗證方法： 例例1：例例2：作業(yè)：作業(yè)： 兩數(shù)和兩數(shù)和(或差或差)的完全平方公式的完全平方公式 讓反思貫穿于數(shù)學學習的始終，是本節(jié)課的特讓反思貫穿于數(shù)學學習的始終，是本節(jié)課的特 色。色。一開始通過學生對錯誤的類比猜想的式子進行一開始通過學生對錯誤的類比猜想的式子進行 反思、驗證，明確了問題，激發(fā)了探究熱情；在找反思、驗證，明確了問題，激發(fā)了探究熱情；在找 到結(jié)論后，又通過對結(jié)論的反思，初步感受到將結(jié)到結(jié)論后，又通過對結(jié)論的反思，初步感受到將結(jié) 論固化為公

19、式的合理性；在運用公式解題時，又及論固化為公式的合理性；在運用公式解題時，又及 時反思其特點和運用方法，概括為口訣；最后又讓時反思其特點和運用方法，概括為口訣；最后又讓 學生在找錯誤中反思其錯誤原因，暢談解題心得。學生在找錯誤中反思其錯誤原因，暢談解題心得。 整個學習從反思中開始，在反思中結(jié)束。整個學習從反思中開始，在反思中結(jié)束。 通過本節(jié)課的教學實踐，我再次體會到：通過本節(jié)課的教學實踐，我再次體會到：教師是教師是 用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知識與用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知識與 能力的生長點和切入點。能力的生長點和切入點。本節(jié)課教學中我沒有將重點本節(jié)課教學中我沒有

20、將重點 放在公式的大量練習上，而是更多地放在公式的大量練習上，而是更多地關注關注公式的發(fā)現(xiàn)公式的發(fā)現(xiàn) 和探索過程，讓學生充分經(jīng)歷了知識形成過程，和探索過程，讓學生充分經(jīng)歷了知識形成過程，轉(zhuǎn)變轉(zhuǎn)變 了學生的學習方式，了學生的學習方式，培養(yǎng)培養(yǎng)了學生的學習能力，這正是了學生的學習能力，這正是 新課程標準提倡的教學方法。新課程標準提倡的教學方法。 本節(jié)課以本節(jié)課以提高學生的學習能力和數(shù)學素養(yǎng)提高學生的學習能力和數(shù)學素養(yǎng)為指導思為指導思 想，以想，以學生積極參與數(shù)學活動學生積極參與數(shù)學活動為目標，以為目標，以公式探索公式探索為為 載體，以載體，以猜想、驗證與反思猜想、驗證與反思為主線，讓學生在輕松愉為

21、主線，讓學生在輕松愉 悅的氣氛中獲取知識、掌握方法！整個教學既突出了悅的氣氛中獲取知識、掌握方法！整個教學既突出了 學生的主體學生的主體地位，又發(fā)揮了地位，又發(fā)揮了教師的指導教師的指導作用。作用。 兩個班完成調(diào)查作業(yè)情況對比表 人 數(shù) 全 對 錯了符號 或中間項 (ab)2 =a2b2 能寫出公式 推導過程 我班62人48人12人2人54人 對比班58人21人21人16人25人 班級 人數(shù) 類型 調(diào)調(diào) 查查 作作 業(yè)業(yè) 老師發(fā)現(xiàn)同學們在學完老師發(fā)現(xiàn)同學們在學完整式乘法整式乘法這一章的各種這一章的各種 公式后，在作業(yè)中總是出現(xiàn)各種各樣的錯誤，不知是不公式后，在作業(yè)中總是出現(xiàn)各種各樣的錯誤，不知是不 是我們在公式教