一階微分方程的模型及其解法

1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文題 目 一階微分方程的模型及其解法學(xué) 生 孟憲鳳指導(dǎo)教師 潘少榮 副教授年 級(jí) 2010級(jí)專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012年12月論文提要常微分方程作為一門學(xué)科，有其獨(dú)特的地位。常微分方程是一門專門研究微分方程的一門學(xué)科，包括一階微分方程、一階二維微分方程組、一階二維非線性方程組、二階線性常系數(shù)微分方程、還有一階n維線性微分方程組。其中，一階微分方程作為微分方程中最簡(jiǎn)單的,也是作為一種非?；A(chǔ)的微分方程的類型,有其非常重要的作用，不僅是微分方程的入門方程類型,而且，為后繼微分方程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。鑒于一階微分方程的這個(gè)突出

2、作用，本文將對(duì)一階微分方程的模型作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹以及一階微分方程的解法作一個(gè)比較系統(tǒng)的闡述。 一階微分方程的模型及其解法孟憲鳳摘 要：常微分方程作為一門學(xué)科，有其獨(dú)特的地位。常微分方程是一門專門研究微分方程的一門學(xué)科，包括一階微分方程、一階二維微分方程組、一階二維非線性方程組、二階線性常系數(shù)微分方程、還有一階n維線性微分方程組。其中，一階微分方程作為微分方程中最簡(jiǎn)單的，也是作為一種非?；A(chǔ)的微分方程的類型，有其非常重要的作用,不僅是微分方程的入門方程類型，而且,為后繼微分方程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。鑒于一階微分方程的這個(gè)突出作用，本文將對(duì)一階微分方程的模型作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹以及一階微分方程的解法作一個(gè)

3、比較系統(tǒng)的闡述。關(guān)鍵詞：.變量分離線性原理齊次方程一、一階微分方程模型1.Malthus人口模型英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在擔(dān)任牧師期間，查看了當(dāng)?shù)亟烫?00多年來的人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)了如下現(xiàn)象:人口出生率是一個(gè)常數(shù)。在1798年，他發(fā)表了人口原理一書,其中提出了著名的Malthus人口模型。他的基本假定條件如下，在人口自然增長(zhǎng)的過程中，人口增長(zhǎng)率與人口總數(shù)成正比，現(xiàn)在對(duì)此進(jìn)行分析，該假定條件比較簡(jiǎn)單，因而期望該數(shù)學(xué)模型也較簡(jiǎn)單。此模型涉及如下數(shù)量：t表示時(shí)間(變量)，P表示人口數(shù)(依賴于時(shí)間)，k表示人口增長(zhǎng)率與人口數(shù)之間的比例常數(shù)(參數(shù))，參數(shù)k稱為單位增長(zhǎng)率。人口數(shù)關(guān)

4、于時(shí)間的增長(zhǎng)率t是人口數(shù)P關(guān)于時(shí)間變量t的導(dǎo)數(shù)，與人口數(shù)成正比描述為kP，因而得如下微分方程：,這是本課程得出的第一個(gè)微分方程的實(shí)例，其為一階常微分方程。2.Logistic人口模型因?yàn)橘Y源是有限的，人口不能無限制的增長(zhǎng)，為了改進(jìn)Malthus人口模型,作如下假定：（1）當(dāng)人口數(shù)很小時(shí)，增長(zhǎng)率與人口數(shù)成正比；（2）當(dāng)人口數(shù)很大，達(dá)到資源和環(huán)境不能承受時(shí)，人口數(shù)開始減少，即增長(zhǎng)率為負(fù)的。沿用Malthus模型中的量，t表示時(shí)間（變量），P表示人口數(shù)（依賴于時(shí)間），k表示人口增長(zhǎng)率與人口數(shù)之間的比例常數(shù)（當(dāng)人口數(shù)很小時(shí)）。此外，由資源與環(huán)境所限，引入另外的參量N，稱為最大承載量（carryingc

5、apacity），用以表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)。因此，在假定條件下，當(dāng)時(shí)，人口是增加的；當(dāng)時(shí)，人口是減少的，即當(dāng)P較小時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。為了使模型盡可能的簡(jiǎn)單，要在Malthus模型的基礎(chǔ)上添加一定的量X，使得，稱為且有增長(zhǎng)率k和最大承載量N的Logistic人口模型，該模型由蔣伯潛生物學(xué)家Verhulst在1838年提出。二、基本概念和基本原理1.基本概念一階微分方程如果具有的形式，其中是的連續(xù)函數(shù)，則稱為一階線性微分方程。若，則稱為一階齊次線性微分方程；否則，稱為一階非齊次線性微分方程。例如，都是一階線性微分方程。當(dāng)為常數(shù)時(shí)，稱之為一階常系數(shù)線性微分方程。說一階微分方程是線性

6、的，則它必有形式即在微分方程中未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是一次的。例如，不是線性的，無論怎樣選取都不能有表示成的形式。方程的線性與自變量的選取無關(guān)。例如，是線性的，其中又如，是線性，但不是線性的。2.基本原理定理1（線性原理）若是齊次方程的一個(gè)解，則對(duì)任意常數(shù)也是方程的解。定理2（拓廣的線性原理）考慮非齊次方程和它相應(yīng)的齊次方程，（1）若是齊次方程的解，而是非齊次方程的任一解，則它們的和是非齊次方程的解；（2）若是非齊次方程的兩個(gè)解，則它們的差是齊次方程的解。因此，若非零，則是非齊次方程的通解，其中為任意常數(shù)。三、一階微分方程的解法（一）一階微分方程的類型1.變量分離方程（1）微分方程基本概念微分方

7、程是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。在前面討論的微分方程模型中含有三種量：自變量（一般是時(shí)間t）、未知的因變量（自變量的函數(shù)）及參數(shù)。微分方程的階數(shù)就是所含有的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，前面討論的Malthus人口模型及Logistic人口模型的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是一階的，因而它們都是一階微分方程。一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為。一般情況下，方程的右端項(xiàng)是自變量及未知函數(shù)的函數(shù)。微分方程的解是指這樣一個(gè)函數(shù)，把它代入方程，對(duì)自變量的任意取值都成為等式，即一個(gè)函數(shù)是一個(gè)解，則，這個(gè)定義雖然沒有說明怎樣去找微分方程的解，但說明了對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，它是不是方程的解。例如，考慮方程。很容易驗(yàn)證是一個(gè)解，

8、但不是解。這是因?yàn)?，但。?）初值問題與通解實(shí)際中遇到的微分方程經(jīng)常帶有初始條件，一個(gè)微分方程帶有初始條件被稱為初值問題。初值問題的一般形式為。例如，是一個(gè)初值問題。為了求解這個(gè)問題，首先觀察到方程的右端僅僅是自變量t的函數(shù)。尋找一個(gè)函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是這是一個(gè)普通的不定積分問題。的不定積分為，C為任意常數(shù)。因此，方程的解必須具有形式利用初始條件決定常數(shù)，可得，從而初值問題的解為解的表達(dá)示為稱為方程的通解，可以利用它求解任一初值問題。例如，對(duì)初始條件，可以選取，則是初值問題的解。（3）變量分離方程形如的方程，稱為變量分離方程，其中分別為t，y的連續(xù)函數(shù)。例如，方程是變量分離方程，但方程不是變量分離

9、的。2.齊次方程形如的方程稱為齊次方程，其中是u的連續(xù)函數(shù)。齊次方程通過變量替換可化為變量分離方程。作變量替換即,于是，從而原方程可化為，整理得。這是一個(gè)變量分離方程，可按前面的方法求解，然后代回原來的變量，便得到齊次方程的解。（二）一階微分方程的解法對(duì)于一階微分方程的解法，有很多種，就常微分方程而言，就是把不同的方程進(jìn)行歸類，不同類型的方程運(yùn)用不同的解法，下面，就來討論一下不同類型的微分方程的解法。1.解析方法：變量分離這個(gè)方法適用于變量分離方程，和可化為變量分離方程的方程：齊次方程。步驟：（1）分離變量（2）積分（3）整理，得通解例1求解方程（變量分離方程）解方程可變量分離為積分得其中為任

10、意常數(shù)。上式可化為其中，因?yàn)榉匠踢€有特解，并考慮到條件，于是方程的通解為其中為任意非負(fù)常數(shù)。例2求解人口增長(zhǎng)的Logistic模型解分離變量?jī)蛇叿e分得其中，為任意常數(shù)?；?jiǎn)得解得其中，。由于取時(shí)，是方程的解，因而這里可取為任意常數(shù)。將初始條件時(shí)，代入得最后得解為此外，當(dāng)時(shí)，初值問題的解為例3 求解方程（可化為變量分離方程的方程：齊次方程）解這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)榧捶蛛x變量有兩邊積分得到其中為任意常數(shù)。整理得令得到此外，由得特解。如果在中令，那么就得到這個(gè)解。代回原來的變量，遇得到原方程的通解為其中，為任意常數(shù)。2.一階線性微分方程的求解步驟：（1）先求與之相應(yīng)的齊次方程的通解；（2

11、）再求非齊次方程的一個(gè)特解；（3）齊次方程的通解加上非齊次方程的特解得到非齊次方程的通解。1）猜測(cè)檢驗(yàn)法由于齊次方程的通解可求，求非齊次方程的特解就成為求解非齊次方程的關(guān)鍵。對(duì)于一個(gè)非齊次方程當(dāng)為常數(shù)，且是當(dāng)?shù)男问綖椋槿我獬?shù)）、（為任意常數(shù)）、（為任意常數(shù)）或者時(shí)，可用猜測(cè)檢驗(yàn)法。首先將其化為的形式，再觀察的形式。例求方程的通解解與非齊次方程相應(yīng)的齊次方程為，它的通解是，其中為任意常數(shù)。把方程變形為猜測(cè)它的一個(gè)特解為，代入得則，即，所以方程的一個(gè)特解，進(jìn)而得到它的通解為其中，為任意常數(shù)。另外對(duì)于非齊次項(xiàng)是指數(shù)形式的情況，還要考慮一種特殊情形，當(dāng)時(shí)，例如，對(duì)于方程已經(jīng)不是原方程的特解，此時(shí)，嘗試形如的特定特解，其中為特定常數(shù)。把這個(gè)代入有為了是特解，則。這樣就得到了原方程的通解為，其中，是任意常數(shù)。對(duì)于猜測(cè)檢驗(yàn)法來說，只適用于一定的常系數(shù)方程，下面給出兩種一般的解法：常數(shù)變易法和積分因子法。2）常數(shù)變易法步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形（2）求相應(yīng)齊次方程的通解（3）利用常數(shù)變易法代入原方程（4）積分例求方程的通解解方程化為首先，求齊次方程的通解為其次，利用常數(shù)變易法，令則代入原方程得積分求得因而原方程的通解為其中為任意常數(shù)。3）積分因子法步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形式（2）求積分因子，積分因子（3）求得