因式分解拔高題專項練習(xí).doc

1、。因式分解的 “八個注意 ”事項及“課本未拓展的五個的方法”在因式分解這一章中，教材總結(jié)了因式分解的四個步驟，可概括為四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”然而在初學(xué)因式分解時，許多同學(xué)在解題中還是會出現(xiàn)一些這樣或那樣的錯誤，或者都學(xué)透了， 但是試卷上給出的題目卻還是不會分解，本文提出以下 “八個注意”事項及“五大課本未總結(jié)的方法”，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。一、“八個注意”事項（一）首項有負常提負例 1 把 a2 b 2 2ab 4 分解因式。解： a2 b 2 2ab 4 （ a2 2ab b 2 4 ）（ ab 2 ）（ ab 2 ）這里的 “負”，指 “

2、負號 ” 。如果多項式的第一項是負的， 一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。防止出現(xiàn)諸如a2 b 2= （ a+b ）（ ab ）的錯誤。（二）各項有公先提公例 2 因式分解 8a4 2a 2解:8a 4 2a2 =2a 2(4a 2 1)=2a 2(2a+1)(2a 1)-可編輯修改 -。這里的 “公”指 “公因式 ”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式。防止出現(xiàn)諸如4a 4 -a 2 = （2a2 +a ） (2a 2-a ）而又不進一步分解的錯誤 .（三）某項提出莫漏1例 3 因式分解 a3-2a 2 +a解： a3-2a 2 +a=a(a 2-2a

3、+1)=a(a-1)2這里的 “1 ”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉1 。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如a3 -2a 2 +a=a(a 2 -2a)的錯誤。（四）括號里面分到 “ 底”。例 4 因式分解 x4 3x 2 4解：x 4+3x 2 4（x24）（x2 1 ）（x 2 4）（ x 1）（ x 1）這里的 “底” ，指分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 即分解到底， 不能半途而廢的意思。 其中包含提公因式要一次性提“ 干凈 ” ，不留 “ 尾巴 ” ，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。如上例中許多同學(xué)易犯分解到x4 +3x 2 4 （ x

4、2 4）（ x2 1）而不進一步分解的錯誤。因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟是一脈相承的。（五）各式之間必須是連乘積的形式-可編輯修改 -。例 5分解因式 x2 9+8x=解： x2 9+8x=x 2 +8x 9=(x 1)(x+9)這里的 “連乘積 ” ，是指因式分解的結(jié)果必須是幾個整式的連乘積的形式，否則不是因式分解。有些同學(xué)只注意到前兩項運用平方差公式，得（x+3 ）(x3)+8x 。結(jié)果從形式上看右式不是乘積形式，顯然是錯誤的。正解應(yīng)是：原式=x2 +8x 9=(x 1)(x+9)（六）數(shù)字因數(shù)在前，字母因數(shù)在后；例 6 因式分解3x318x

5、227x解： 3x318 x227 x =3x(x 2 -6x+9)=3x(x-3)2 這里的 “數(shù)字因數(shù)在前，字母因數(shù)在后 ” ，指分解因式中不能寫成 3x 318x227 x =x3(x 2-6x+9)= x3(x-3) 2（七）單項式在前，多項式在后；例 7 因式分解 x3 yxy 3解：x3 yxy3 = xy(x 2 -y 2 )=xy(x+y)(x-y)這里的 “單項式在前， 多項式在后 ” ，指分解因式中不能把單項式寫在后面，即不能寫成x3 yxy3 = (x 2-y 2) xy =(x+y)(x-y) xy（八）相同因式寫成冪的形式；-可編輯修改 -。例 8 因式分解 x4y-

6、x 2y3解： x4 y-x 2y 3 = x2 y(x 2-y 2 )=x 2y(x+y)(x-y)這里的 “相同因式寫成冪的形式 ”，指分解因式中不能相同的因式寫成乘的形式，而應(yīng)該寫成冪的形式， 即不能寫成 x4 y-x 2y 3= x2y(x 2-y 2)= xxy(x+y)(x-y)；二、課本未拓展的五個的方法以下五個方法是因式分解中比較難的一些，需要大家熟練掌握因式分解基本方法：（ 1）提公因式；（ 2 ）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（ 3）十字相乘。只有熟練掌握了以上三種方法，你才能更好的理解這五種拓展方法。（一）巧拆項：在某些多項式的因式分解過程中，若將多項式的某

7、一項（或幾項）適當拆成幾項的代數(shù)和，再用基本方法分解，會使問題化難為易，迎刃而解。例 1、因式分解a 2b24ab32解析：根據(jù)多項式的特點，把3 拆成 4+ （-1 ），則a2b24a23=a2b24a2b 4 1 (a24a4) (b22b 1)b=(a2)2b1)2(ab1)(a b3)(例 2、因式分解x 36x 211x6解析：根據(jù)多項式的特點,把 6x 2 拆成 2x 24x 2 ；把 11x拆成 8x3x-可編輯修改 -。則 x36x 211x6= ( x32x2 )( 4x28x)(3x6)= x2 ( x2) 4x(x2) 3( x2)( x2)( x 24x3) ( x 1

8、)( x 2)( x 3)（二）巧添項：在某些多項式的因式分解過程中，若在所給多項式中加、減相同的項，再用基本方法分解，也可謂方法獨特，新穎別致。例 3、因式分解 x44 y 4解析：根據(jù)多項式的特點,在 x44 y 4 中添上 4x 2 y 2 , 4x 2 y2兩項，則 x 44y 4 = ( x44 x2 y 24 y 4 )4 x2 y 2( x22 y2 )2(2 xy) 2= ( x22xy2 y2 )( x 22xy2y 2 )例 4、因式分解 x33x 24解析：根據(jù)多項式的特點，將3x 2 拆成4x 2x2 ，再添上 4x,4 x 兩項，則x33x24= x34x24 x x

9、 24x 4= x( x 24x 4) ( x24x 4) ( x 24 x4)( x 1)= (x 1)( x 2)2（三）巧換元：在某些多項式的因式分解過程中，通過換元，可把形式復(fù)雜的多項式變形為形式簡單易于分解的多項式，會使問題化繁為簡，迅捷獲解。例 5 、因式分解(x 23x4)( x 2x6)24解析： ( x23x4)( x 2x6)24= ( x1)( x 4)( x2)( x3) 24= ( x 1)( x2)( x3)( x4)24( x2x 2)( x2x12)24設(shè) y x 2x2 ，則 x 2x 12y 10于是，原式 =-可編輯修改 -。y( y10)24 y210

10、y24( y 4)( y6)(x2x 2 4)( x 2x 2 6)= ( x2x6)( x 2x8)( x2)( x3)( x2x8)例 6 、因式分解 (xy2xy)( xy2) ( xy1) 2解析：設(shè) x ym, xyn ，則(xy 2xy)( xy 2)( xy1)2= (m2n)( m2)(n 1) 2= m22mn n22m2n1(m n) 22( mn)1= (m n 1)2( x yxy 1) 2( x 1)(1 y) 2( x 1) 2 ( y 1)2（四）展開巧組合：若一個多項式的某些項是積的形式，直接分解比較困難，則可采取展開重組合，然后再用基本方法分解， 可謂匠心獨具

11、，使問題巧妙得解。例 7 、因式分解mn(x 2y 2 )xy( m2n2 )解析：將多項式展開再重新組合，分組分解mn(x 2y 2 )xy(m 2n2 ) = mnx2mny 2xym2xyn2= (mnx 2xym2 ) (mny 2xyn2 )mx(nxmy)ny(nxmy)(nx my)(mx ny)例 8、因式分解(mxny) 2(nxmy) 2解析： (mx ny)2(nxmy) 2= m2 x 22mnxy n2 y 2n2 x 22mnxy m 2 y 2= (m 2 x 2n2 x 2 ) (m 2 y 2n2 y 2 )x 2 (m 2n2 )y 2 (m 2n2 )= (m 2n2 )( x2y 2 )（五）巧用主元：對于含有兩個或兩個以上字母的多項式，若無法直接分解，常以其中一個字母為主元進行變形整理，可使問題柳暗花明，別有洞天。例 9 、因式分解x43x 3x 2 y2x 22xy-可編輯修改 -。解析：將多項式以y 為主元，進行整理x43x3x2 y2x22xy = ( x22x) y( x43x32x 2 )= x( x2) yx 2 ( x2)( x1)x(x2)( x2xy)例 10 、因式分解a 2 bab 2a 2cac2b2 cbc