矩陣的條件數(shù)

1、第二章 向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 2.4 矩陣的條件數(shù) 考慮線性方程組 它有準(zhǔn)確解為: 如果方程組的系數(shù)矩陣以及右端項(xiàng)發(fā)生微小的 變化，得 它有準(zhǔn)確解: ，可以看出，方程 組的解變化非常大。 1 2 268 26.000018.00001 x x (1,1)Tx 1 2 268 25.999998.00002 x x (10, 2)Tx 定義定義1：設(shè)設(shè) ，|.|是是Cnxn上的一個(gè)矩上的一個(gè)矩 陣范數(shù)陣范數(shù).矩陣矩陣A的的條件數(shù)條件數(shù)定義為定義為 n n n AC 1 cond( )AA A 常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有： 1 cond ( )AAA 1 1 1 1 cond ( )AAA 1

2、1 2 2 2 1 cond ( ) ( ) n H H n AAA A A A A 是的最大特征值， 是的最小特征值 常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有： 11 2 2 2 1 cond ( ) (max,min, ) n ini i AAA A = 是 的特征值 例例1： cond ( )A 123 233 345 A cond( )1A 1 cond( )=cond()AA cond()=cond( ),0,.kAA kkC 2 222 cond ()=1 cond ()=cond ()=cond ( ) U UAAUA cond()cond( )cond( )ABAB 11 1 2 111

3、 1 231 1 111 121 n n n Hn ij nnn 4 24 7 26 10 28 cond (H )=1.5514 10 cond (H )=1.4951 10 cond (H )=1.525 10 注：當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A十分病態(tài)時(shí)，就說明十分病態(tài)時(shí)，就說明A已十分接已十分接 近一個(gè)奇異矩陣。近一個(gè)奇異矩陣。 26 26.00001 A det( )0.00002A 1 300000.5300000 100000100000 A 1 6 cond ( ) 8.00001 600000.5 4.8 10 AAA 定理定理1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)可逆矩陣，是一個(gè)可逆矩陣， 是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩

4、陣，|.| 是是Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù). 若若 則則 可逆，且有可逆，且有 111 11 () 1 AAAAA AAA 1 1AA n n n AC n n AC AA 推論推論1 設(shè)設(shè) ， 若存在若存在Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù)|.| 使得使得 則有則有 11 1 () cond( ) 1 cond( )() AAA AA AA A A A 1 1AA n n n AC n n AC 定理定理2 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范 數(shù)數(shù)|.| 相容相容.設(shè)設(shè)x是線性方程組是線性方程組Ax=b的解，的解， 是是 線性

5、方程組線性方程組 的解的解 若若 ，則，則 x n n n AC n n AC n bC ()AA xbb 1 1AA cond( ) 1 cond( )() cond( ) 1 cond( )() xxA A AxA A A b A Ab A A 定理定理3 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范 數(shù)數(shù)|.| 相容相容.若向量若向量 分別滿足分別滿足Ax=b， ，則有，則有 , n x xC n n n AC , n b rC Axbr 1 cond( ) cond( ) rxxr A Abxb 0 11 ,0 1 1 A 1 cond( )()AO 3 33 10 0,0 01 i AiiACbC i ()AA xb x 4 2 2 10 xx x 2 2