小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用

1、小波變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用通信1303 周穎 20133565引言：小波變換（wavelet transform,WT）是一種新的變換分析方法，是20世紀(jì)80年代中期基于Y.Meyer、S.Mallat等人的奠基性工作而迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。與傅里葉變換相比，其繼承和發(fā)展了短時傅里葉變換局部化的思想，克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點。與傅里葉變換的頻域分析方法不同，小波動變寬變低，具有自動“聚焦”功能。由于離散小波變換可把信號分解為不同尺度下的信號，而且非常靈活，所以把小波稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域及其寬廣，在數(shù)字圖像處理方面，因其無約束基性質(zhì)，對于一大類信號的壓縮、去噪

2、和檢測，小波是接近最優(yōu)的。本文將簡單介紹小波變換原理，并討論其在數(shù)字圖像領(lǐng)域中的應(yīng)用。1. 理論基礎(chǔ)1.1 小波導(dǎo)引對任意，其小波展開可以構(gòu)造一個兩參數(shù)系統(tǒng)，即 （1.1）其中j,k是整數(shù)指標(biāo)，是小波函數(shù)，通常形成一組正交基。展開的系數(shù)集成為的離散小波變換（DWT）。 （1.2）可用內(nèi)積表示，即 （1.3）小波變換的特征：1） 它把一維（或高維）信號用二維展開集（通常是一組基）表示。2） 小波展開具有時頻局部化的特點。3） 的計算效率可以非常高，大多數(shù)小波變換（展開系數(shù)集）的計算量為O(N)。4） 所有的一代小波系統(tǒng)是由一個尺度函數(shù)或小波函數(shù)通過簡單的尺度伸縮和平移生成的。如下，小波函數(shù)（或小

3、波基函數(shù)）由生成小波（或母小波）生成： （1.4）其中，k代表時間或空間，j代表頻率或尺度。5） 幾乎所有有用的小波系統(tǒng)都滿足多分辨條件，即如果展開基的寬度減小一半，且平移步長也減半，那么它們更利于描述圖像的細節(jié)。6） 使用一個稱為濾波器組的樹結(jié)構(gòu)算法，低分辨率系數(shù)可以由高分辨系數(shù)得到，因此計算效率很高。1.2 小波系統(tǒng)的多分辨闡述1.2.1 尺度函數(shù)小波的多分辨分析與尺度函數(shù)這一概念不可分割，借助于一個基本尺度函數(shù)，可以定義一個尺度函數(shù)的集合：， （1.5）由張成的的子空間定義為 （1.6）則通過基本尺度函數(shù)的尺度變化和平移得到的二維函數(shù)族： （1.7）對所有的，可以張成空間 （1.8）對于

4、，那么它可以表示為 （1.9）如果，表示細節(jié)信息；如果，表示粗糙信息。1.2.2 多分辨分析陳述多分辨分析的基本要求是張成空間滿足如下嵌套關(guān)系： （1.10）即包含高分辨率的信號空間也包含較低分辨率的信號空間。由的定義，空間必須滿足固有的尺度條件： （1.11）這意味著可以借助于的平移加權(quán)和表示：， （1.12）其中系數(shù)是稱為尺度函數(shù)（或尺度濾波器）系數(shù)的實數(shù)或復(fù)數(shù)序列，在本文后面會提到它作為一維離散小波變換的數(shù)字低通濾波器。為了更好的描述信號的細節(jié)信息，除了尺度函數(shù)還需定義一個不同的函數(shù)集來張成不同尺度空間的差空間，這個函數(shù)就是小波函數(shù)。將中的正交補空間定義為，則中的所有元素正交于中的所有元

5、素。對任意滿足如下關(guān)系： （1.13）一般情況下，當(dāng)為尺度函數(shù)張成的初始空間時，有 （1.14）如圖1.1所示。初始尺度空間的尺度是任意的，一般選擇的尺度應(yīng)能夠表示信號的感興趣的組粗糙細節(jié)。由于，因此對于某個系數(shù)集，小波可以由尺度函數(shù)的平移加權(quán)和表示為 ， （1.15）其中尺度系數(shù)與小波系數(shù)之間有如下關(guān)系： （1.16）對于形如 （1.17）的展開函數(shù)類可由式（1.15）表示的母小波經(jīng)尺度變換和平移得到。至此，由和張成整個空間，對任意函數(shù)，可以寫為尺度函數(shù)和小波函數(shù)的級數(shù)展開，即 （1.18）式（1.18）中第一個和式給出的一個低分辨或粗糙的逼近，在第二個和式中，隨指標(biāo)的增加，一個個較高的或較

6、細分辨的函數(shù)不停地加入，從而加進了更多的細節(jié)信息。對于式中的系數(shù)可由如下變換得到： （1.19） （1.20）這種小波展開中的系數(shù)就稱為信號的離散小波變換（DWT）。圖1.1 尺度函數(shù)向量空間和小波向量空間1.3 離散小波變換在實際應(yīng)用當(dāng)中，不需要直接處理尺度函數(shù)或小波，只需考慮系數(shù)和，以及和。他們之間的關(guān)系如下： （1.21） （1.22）可見執(zhí)行離散小波變換可由二通道濾波器組實現(xiàn)，如圖1.2所示。圖1.2 一維離散小波變換以上是以分析濾波器對信號實現(xiàn)分解，也可以用綜合濾波器對信號實現(xiàn)重構(gòu)，重構(gòu)過程實際上是你離散小波變換（IDWT）。重構(gòu)原理可表示為 （1.23）其實現(xiàn)方式如圖1.3所示。圖

7、1.3二通道綜合濾波器組若輸入為一數(shù)字圖像，則對圖像做的小波變換為二維離散小波變換，該變換有兩種方式，一種為標(biāo)準(zhǔn)的二維離散小波變換，另一種為非標(biāo)準(zhǔn)的二維離散小波變換。前者是先在水平方向進行多層一維離散小波變換，直到水平方向上得到最粗糙細節(jié)，再對得到的圖像做垂直方向上的多層一維離散小波變換，這種變換得到的特征是不規(guī)則的。后者是分別對圖像在水平和垂直方向上做一層一維離散小波變換，重復(fù)直到得到圖像最粗糙細節(jié)，這種方式得到的特征是方形的。本文采用非標(biāo)準(zhǔn)二維離散小波變換，其原理框圖見圖1.4.圖1.4二維離散小波變換以上執(zhí)行離散小波變換的方法是由Mallat于1988年提出的，稱為為Mallat算法。2

8、. 小波變換的相關(guān)算法2.1 Mallat算法Mallat算法是由S.Mallat和Y.Meyer在前人大量工作的基礎(chǔ)上于1986年提出的。1989年，Mallat在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多分辨率分析與重構(gòu)的快速算法。該算法已在上一節(jié)做描述，其分解原理見式（1.21）（1.22），重構(gòu)原理見式（1.23）。實現(xiàn)該算法的編程思想如圖2.1所示圖2.1Mallat快速算編程思想將小尺度尺度系數(shù)和低通（高通）濾波器系數(shù)進行添零到數(shù)據(jù)長度，然后進行fft變換，再進行2抽樣，最后相加就能得到大尺度尺度系數(shù)和小波系數(shù)。具體實現(xiàn)過程見實驗部分。2.2

9、 小波提升算法第一代小波的小波基是由定義在空間上的函數(shù)而今伸縮平移生成。其具有若干局限性，如小波結(jié)構(gòu)依賴于傅里葉變換，僅適用于規(guī)則采樣數(shù)據(jù)等。故W.Sweldens等人提出了一種不依賴于傅里葉變換的新的雙正交小波的構(gòu)造方法提升法（lifting scheme）。這種方法保留了小波特性，同時又克服了原有的局限性；其主體思想是：始于非常簡單的MRA,然后向具有某一特性的MRA逐漸逼近（提升）。其復(fù)雜度只有原來卷積方法的一半左右，因此成為計算離散小波變換的主流方法。其實lifting scheme就是為了構(gòu)造第二代小波，使得不像第一代小波那樣構(gòu)造，非常依賴Fourier變換。同時已經(jīng)證明了提升方式可

10、以實現(xiàn)所有的第一代小波變換。提升方式的特點:1.繼承了第一代小波的多分辨率的特性2.不依賴傅立葉變換3.不占用系統(tǒng)內(nèi)存4.反變換很容易從正變換得到，只是改變了數(shù)據(jù)流的方向和正負號正因為小波提升樣式由于其計算速度快，占用內(nèi)存少，可以實現(xiàn)整數(shù)變換等等特點所以被JPEG 2000所推薦作為小波變換，是JPEG 2000里面的核心算法。其通過預(yù)測和更新兩個提升環(huán)節(jié)實現(xiàn)信號的高低頻分離，由于信號有局部相關(guān)性，某一點的信號值可以通過其相鄰的信號的值通過適當(dāng)?shù)念A(yù)測算子預(yù)測出來，同時預(yù)測出來的誤差就是高頻的信息，從而這個過程就是預(yù)測環(huán)節(jié)。預(yù)測環(huán)節(jié)下面得到的高頻信息又通過更新算子來調(diào)整信號的下抽樣來得到低頻信息

11、，這個過程就是更新環(huán)節(jié)，在整個的提升算法中，更新環(huán)節(jié)叫做primarylifting，而預(yù)測環(huán)節(jié)叫做dual lifting。實際上，小波提升的核心就是更新算法和預(yù)測算法，通過預(yù)測算法可以得到高頻信息，而通過更新算子可以得到正確的低頻信息。提升樣式可以實現(xiàn)原位計算和整數(shù)提升，并且變換的中間結(jié)果是交織排列的。其中原位計算和整數(shù)提升在硬件實現(xiàn)中很有價值。l原位計算 提升樣式中一個很大的特點就是進行小波變換的時候在原位計算各個系數(shù)。原位計算，只是占用了跟輸入大小相同的空間，不需要其他的輔助空間。l整數(shù)提升 在傳統(tǒng)的小波變換算法中(即Mallat算法)，采取了輸入信號與高通和低通濾波器相卷積的方法來實

12、現(xiàn)高頻和低頻信息的分離。但是小波濾波器的系數(shù)都是小數(shù)，中間結(jié)果中有一些是小數(shù)，如果對小數(shù)進行取整，會丟失很多信息，使得重構(gòu)和分解是不可逆，從而無法實現(xiàn)精確重構(gòu)。但是在提升方案中，可以進行整數(shù)變換，并且整數(shù)變換是不影響精確重構(gòu)。分解結(jié)果交織 以一維信號X進行分解為例: X進行第一級分解，低頻信息在奇數(shù)上面，高頻在偶數(shù)上面，進行第二級分解，對第一級的低頻信息進行分解，分解的結(jié)果則是在奇數(shù)數(shù)據(jù)中的奇數(shù)位數(shù)為低頻信息，偶數(shù)位數(shù)為高頻信息。小波提升的數(shù)學(xué)模型見圖2.2.圖2.2小波提升的數(shù)學(xué)模型2.3 應(yīng)用小波分析在圖像處理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面:圖像壓縮、圖像消噪、圖像增強、圖像平滑和圖像融合

13、等。圖像壓縮圖像數(shù)據(jù)往往存在各種信息的冗余,如空間冗余、信息熵冗余、視覺冗余和結(jié)構(gòu)冗余等.如果需要進行快速或?qū)崟r傳輸以及大量存儲,在同等通信容量下,把圖像數(shù)據(jù)壓縮后再傳輸,就可以傳輸更多的圖像信息,也就可以提高通信能力.小波分析用于圖像壓縮具有壓縮比高、壓縮速度快,壓縮后能保持圖像的特征基本不變的特點,且在傳遞過程中可以抗干憂.小波分析進行圖像壓縮的基本原理是:根據(jù)二維小波分解算法,一幅圖像作小波分解后,可得到一系列不同分辨率的圖像,而表現(xiàn)一幅圖像最主要的部分是低頻部分,如果去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分,則可以達到圖像壓縮的目的。圖像消噪圖像在被采集、傳輸和恢復(fù)等過程中,不可避免地會被噪

14、聲污染.利用小波技術(shù)可有效地進行圖像消噪處理。其步驟如下:圖像信號的小波分解。選擇一個小波和小波分解的層次N,然后計算信號s到第N層的分解.對高頻系數(shù)進行閾值量化.對于從第1到N的每一層,選擇一個閾值,并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理.二維小波的重構(gòu).根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第1到N層的各層高頻系數(shù),計算圖像信號的小波重構(gòu)。圖像增強小波變換將一幅圖像分解為大小、位置和方向都不同的分量,在做逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小,這樣就可以有選擇地放大感興趣的分量而衰減不重要的分量.圖像輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分,而細節(jié)部分則體現(xiàn)在高頻部分。拓展：3. 實驗結(jié)果由于編

15、程能力有限，本文只采用Haar小波分別對圖像進行處理分解、重構(gòu)、去噪處理。首先是分別用mallat算法對lena圖像進行分解和重構(gòu)，結(jié)果見圖3.1和3.2.圖3.1 Mallat算法圖像分解圖3.2未設(shè)閾值時的圖像重構(gòu)對lena圖像增加一個服從高斯分布的隨機噪聲，采用Mallat算法對疊加噪聲的圖像進行分解后，對高頻系數(shù)進行閾值處理，然后重構(gòu)處理后的圖像，觀察不同閾值的去噪效果。實驗結(jié)果見圖3.3.（a）（b）（c）（d）圖3.3（a）原圖（b）加噪聲后的圖像（c）第一次消躁后的圖像（d）第二次消躁后的圖像該實驗采用不同閾值和不同小波得到的實驗效果不相同，采用合適的于是重構(gòu)圖像與原圖相比具有更

16、小的失真，此外，由于圖像的連續(xù)性較好，采用haar小波分解圖像不是很適合。4. 總結(jié)小波變換雖是一種新興的變換分析方法，但由于其在數(shù)學(xué)分析上的優(yōu)越性，被廣泛用于各個領(lǐng)域中，更是在工程應(yīng)用中發(fā)揮了巨大的作用。在數(shù)字圖像處理方面，圖像壓縮具 有壓縮比高、壓縮速度快 、壓縮后能保持圖像的特征基本不變等一系列優(yōu)點 ,進行圖像消噪和圖像增強具 有方便快捷、去噪效果好 、目標(biāo)明確等優(yōu)點,同時說明了小波技術(shù)用于圖像處理的有效性 。最后，隨著計算機視覺的發(fā)展，在提取特征時，haar特征作為模式識別領(lǐng)域的三大特征之一，得到了廣泛的應(yīng)用。M Oren起初就是根據(jù)小波變換提出了三大哈爾特征（垂直，水平，對角），后人又在Oren的基礎(chǔ)上擴展了哈爾特征，使得圖像的特征種類更多，提高了識別的精確度。所以，為了在計算機視覺領(lǐng)域有所成就，學(xué)好小波變換是十分必要的。5. 參考文獻1 1王振飛. 提升小波的高效算法設(shè)計及其在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用D.華中科技大學(xué),2006.2 2趙登峰,許純新,王國強. 小波分析及其在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用J. 同濟大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2001,09:1054-1057.3 3胡斌. 小波閾值去噪及其在數(shù)字圖像相關(guān)中的應(yīng)用研究D.華南理工大學(xué),2011.4 4劉宇. 小波分析及在數(shù)字圖像壓縮中的應(yīng)用與研究D.湖南大學(xué),2006.5 5S. M