第八節(jié)正弦和余弦定理應(yīng)用舉例

1、 第八節(jié) 正弦和余弦定理應(yīng)用舉例 1.仰角和俯角仰角和俯角 在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn) 的角叫的角叫 仰角，在水平線(xiàn)仰角，在水平線(xiàn) 的角叫俯角的角叫俯角(如圖如圖). 上方上方 下方下方 2.方位角方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方點(diǎn)的方 位角為位角為(如圖如圖). 仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？ 提示：提示：三者的參照不同三者的參照不同.仰角與俯角是相對(duì)于水平仰角與俯角是相對(duì)于水平 線(xiàn)而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的線(xiàn)而言的，而方位角是相對(duì)于

2、正北方向而言的. 3.方向角方向角 相對(duì)于某一正方向的水平角相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖如圖) (1)北偏東北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向到達(dá)目標(biāo)方向. (2)北偏西北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向到達(dá)目標(biāo)方向. (3)南偏西等其他方向角類(lèi)似南偏西等其他方向角類(lèi)似. 4.坡度坡度 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角如圖，角為坡角為坡角). 坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，如圖，i為坡比為坡比). 1.從從A處望處望B處的仰角為處的仰角為，從，從B處望處

3、望A處的俯角為處的俯角為，則，則 ，之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是 () A. B. C.90 D.180 解析：解析：根據(jù)仰角與俯角的含義，畫(huà)圖即可得知根據(jù)仰角與俯角的含義，畫(huà)圖即可得知. 答案：答案：B 2.如圖所示，已知兩座燈塔如圖所示，已知兩座燈塔A和和B與海洋觀(guān)察站與海洋觀(guān)察站C的距離相等，的距離相等， 燈塔燈塔A在觀(guān)察站在觀(guān)察站C的北偏東的北偏東40，燈塔，燈塔B在觀(guān)察站在觀(guān)察站C的南偏東的南偏東 60，則燈塔，則燈塔A在燈塔在燈塔B的的 () A.北偏東北偏東10 B.北偏西北偏西10 C.南偏東南偏東10 D.南偏西南偏西10 解析：解析：由已知由已知ACB180406080， 又又

4、ACBC，AABC50，605010. 燈塔燈塔A位于燈塔位于燈塔B的北偏西的北偏西10. 答案：答案：B 3.如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下間的距離，給定下 列四組數(shù)據(jù)，不能確定列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是間距離的是 () A.，a，bB.，a C.a，b，D.，b 解析：解析：選項(xiàng)選項(xiàng)B中由正弦定理可求中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定，再由余弦定理可確定AB. 選項(xiàng)選項(xiàng)C中可由余弦定理確定中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)選項(xiàng)D同同B類(lèi)似類(lèi)似. 答案：答案：A 4.在在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角高的山頂上

5、，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角 分別是分別是30、60，則塔高為，則塔高為m. 解析：解析：如圖所示，設(shè)塔高為如圖所示，設(shè)塔高為h m.由題由題 意及圖意及圖 可知可知（200-h） 解得解得 答案答案 tan60 400 m. 3 h 5.如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì)望對(duì) 岸的標(biāo)記物岸的標(biāo)記物C，測(cè)得，測(cè)得CAB30，CBA75，AB 120m，則這條河的寬度為，則這條河的寬度為m. 解析：解析：如圖，在如圖，在ABC中，過(guò)中，過(guò)C作作CDAB于于D點(diǎn)，則點(diǎn)，則CD為為 所求寬度，在所求寬度，在ABC中，中， CAB30，CBA

6、75， ACB75， ACAB120 m. 在在RtACD中，中， CDACsinCAD120sin3060(m)， 因此這條河寬為因此這條河寬為60 m. 答案：答案：60 有關(guān)距離測(cè)量問(wèn)題，主要是利用可以測(cè)量的數(shù)據(jù)，通有關(guān)距離測(cè)量問(wèn)題，主要是利用可以測(cè)量的數(shù)據(jù)，通 過(guò)解三角形計(jì)算出不易測(cè)量的數(shù)據(jù)；遇到多邊形問(wèn)題，可過(guò)解三角形計(jì)算出不易測(cè)量的數(shù)據(jù)；遇到多邊形問(wèn)題，可 以分割為以分割為n個(gè)三角形來(lái)解決個(gè)三角形來(lái)解決. 某炮兵陣地位于地面某炮兵陣地位于地面A處，兩觀(guān)察所分別位于地處，兩觀(guān)察所分別位于地 面點(diǎn)面點(diǎn)C和和D處，已知處，已知CD6 km，ACD45，ADC 75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)，目標(biāo)

7、出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得處時(shí)，測(cè)得BCD30， BDC15，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離. 【解解】在在ACD中，中，CAD180ACDADC 60，CD6，ACD45， 根據(jù)正弦定理有根據(jù)正弦定理有 同理，在同理，在BCD中，中，CBD180BCDBDC135， CD6，BCD30， 根據(jù)正弦定理得根據(jù)正弦定理得 又在又在ABD中，中，ADBADCBDC90， 根據(jù)勾股定理有根據(jù)勾股定理有AB= 所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為 42(km).CD 1.某觀(guān)測(cè)站某觀(guān)測(cè)站C在目標(biāo)在目標(biāo)A的南偏西的南偏西25方向，從方向，從A出發(fā)有一條南出發(fā)有一

8、條南 偏東偏東35走向的公路，在走向的公路，在C處測(cè)得與處測(cè)得與C相距相距31千米的公路上千米的公路上 B處有一人正沿此公路向處有一人正沿此公路向A走去，走走去，走20千米到達(dá)千米到達(dá)D，此時(shí)，此時(shí) 測(cè)得測(cè)得CD為為21千米，求此人在千米，求此人在D處距處距A還有多少千米？還有多少千米？ 解：解：如圖所示，易知如圖所示，易知CAD253560，在，在 BCD中，中， 由由BC2AC2AB22ACABcosA， cosB= 12 3 sin. 31 B 所所以以 ,ABCAC在在中中 得得AB224AB3850， 解得解得AB35， 所以所以ADABBD15. 故此人在故此人在D處距處距A有有1

9、5千米千米. 測(cè)量高度問(wèn)題一般是利用地面上的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量測(cè)量高度問(wèn)題一般是利用地面上的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量 仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度，這類(lèi)問(wèn)題一般用到立仰角、俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度，這類(lèi)問(wèn)題一般用到立 體幾何知識(shí)，先把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，再體幾何知識(shí)，先把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，再 通過(guò)解三角形加以解決通過(guò)解三角形加以解決. 某人在塔的正東沿著南偏西某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)的方向前進(jìn)40 米后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫槊缀螅?jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?30，求塔高，求塔高. 依題意畫(huà)圖，某人在依題意畫(huà)圖，某人在C處

10、，處，AB 為塔高，他沿為塔高，他沿CD前進(jìn)，前進(jìn)，CD 40米，此時(shí)米，此時(shí)DBF45，從，從 C到到D沿途測(cè)塔的仰角，只有沿途測(cè)塔的仰角，只有 B到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí)，仰角才最大，這是因到測(cè)試點(diǎn)的距離最短時(shí)，仰角才最大，這是因 為為tanAEB AB為定值，為定值，BE最小時(shí)，仰角最最小時(shí)，仰角最 大大.要求出塔高要求出塔高AB，必須先求，必須先求BE，而要求，而要求BE，需，需 先求先求BD(或或BC). 【解解】在在BCD中，中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理得，由正弦定理得 過(guò)過(guò)B作作BECD于于E，顯然當(dāng)，顯然當(dāng) 人在人在E處時(shí)，測(cè)得塔的仰角最大，處時(shí)，測(cè)得塔的仰

11、角最大， 有有BEA30.在在RtBED中，中， BDE1801353015， 在在RtABE中，中， AEB30， 故所求的塔高為故所求的塔高為 米米. 62 sin1520 210( 31). 4 BEDB 10 tan30(33). 3 ABBE 10 (33) 3 2.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底時(shí)，可以選與塔底B在同一水在同一水 平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與與D，現(xiàn)測(cè)得，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC， CDs，并在點(diǎn)，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂測(cè)得塔頂A的仰角為的仰角為，求塔高求塔高AB. 解：解：在在BCD中，中， CBD. 由正弦定理得由正弦定理得 所以

12、所以BC 在在Rt ABC中，中，AB=BCtan 測(cè)量角度問(wèn)題也就是通過(guò)解三角形求角問(wèn)題，求角測(cè)量角度問(wèn)題也就是通過(guò)解三角形求角問(wèn)題，求角 問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值.如果是用余弦定理求如果是用余弦定理求 得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該 角的正弦，就需要討論解的情況了角的正弦，就需要討論解的情況了. 在海岸在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距方向，距A處處( - 1)n mile的的B處有一艘走私船，在處有一艘走私船，在A處北偏西處北偏西75的方向，距的方向，距 離離A處處2 n mi

13、le的的C處的緝私船奉命以處的緝私船奉命以10 的速度追截走私船的速度追截走私船. 此時(shí)，走私船正以此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從的速度從B處向北偏東處向北偏東30方方 向逃竄，問(wèn)緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？向逃竄，問(wèn)緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？ 本例考查正弦、余弦本例考查正弦、余弦 定理的建模應(yīng)用定理的建模應(yīng)用.如圖如圖 所示，注意到最快追所示，注意到最快追 上走私船且兩船所用上走私船且兩船所用 時(shí)間相等，若在時(shí)間相等，若在D處相處相 遇，則可先在遇，則可先在ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD 中求中求BCD. 【解解】設(shè)緝私船用設(shè)緝私船用t h在在D處

14、追上走私船，處追上走私船， 則有則有CD10 ，BD10t， 在在ABC中，中，AB 1，AC2，BAC120， 由余弦定理，得由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC ( 1)2222( 1)2cos 1206， 6, . sinsin BC AC ABCBAC BC 且且 ABC45，BC與正北方向垂直與正北方向垂直. CBD9030120， 在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 BCD30. 即緝私船沿東偏北即緝私船沿東偏北30方向能最快追上走私船方向能最快追上走私船. sinBCD= 3.外國(guó)船只除特許外，不得進(jìn)入離我國(guó)海岸線(xiàn)外國(guó)船只除特許外，不得進(jìn)入離我國(guó)海

15、岸線(xiàn)d n mile以以 內(nèi)的區(qū)域，如圖所示，設(shè)內(nèi)的區(qū)域，如圖所示，設(shè)A和和B是我國(guó)的觀(guān)測(cè)站，是我國(guó)的觀(guān)測(cè)站，A與與B 之間的距離為之間的距離為s n mile，海岸線(xiàn)是過(guò)，海岸線(xiàn)是過(guò)A、B的直線(xiàn)，一外的直線(xiàn)，一外 國(guó)船只在國(guó)船只在P點(diǎn)，在點(diǎn)，在A站測(cè)得站測(cè)得BAP，同時(shí)在，同時(shí)在B站測(cè)得站測(cè)得 ABP，問(wèn)，問(wèn)及及滿(mǎn)足什么三角函數(shù)不等式時(shí)，就滿(mǎn)足什么三角函數(shù)不等式時(shí)，就 應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告，命令其退出我應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告，命令其退出我 國(guó)海域？國(guó)海域？ 解：解：過(guò)過(guò)P作作PCAB交交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于延長(zhǎng)線(xiàn)于C， 在在ABP中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得 當(dāng)當(dāng)P

16、Cd， 即即 時(shí)，就應(yīng)向未經(jīng)特許的外國(guó)時(shí)，就應(yīng)向未經(jīng)特許的外國(guó) 船只發(fā)出警告船只發(fā)出警告. 在在RtAPC中，中，PC=sin 在高考試題中，解三角形常作為工具解決實(shí)際問(wèn)在高考試題中，解三角形常作為工具解決實(shí)際問(wèn) 題題.2009年寧夏、海南卷年寧夏、海南卷(理理)就考查了這一點(diǎn)就考查了這一點(diǎn).該題最大的創(chuàng)該題最大的創(chuàng) 新是讓考生自己組織語(yǔ)言描述解題的步驟，這是一大難點(diǎn)新是讓考生自己組織語(yǔ)言描述解題的步驟，這是一大難點(diǎn). 同時(shí)考生經(jīng)歷了現(xiàn)實(shí)生活中從已知到未知的解題過(guò)程，能同時(shí)考生經(jīng)歷了現(xiàn)實(shí)生活中從已知到未知的解題過(guò)程，能 發(fā)揮數(shù)學(xué)的價(jià)值，這最能體現(xiàn)新課標(biāo)的意圖，還能有效考發(fā)揮數(shù)學(xué)的價(jià)值，這最能體

17、現(xiàn)新課標(biāo)的意圖，還能有效考 查考生的能力，代表了一種新的考查方向查考生的能力，代表了一種新的考查方向. (2009海南、寧夏高考海南、寧夏高考)為了測(cè)量?jī)缮巾敒榱藴y(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛間的距離，飛 機(jī)沿水平方向在機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量?jī)牲c(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.A、B、M、N在同一個(gè)在同一個(gè) 鉛垂平面內(nèi)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖如示意圖).飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B 間的距離間的距離.設(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用用 字母表示，并在圖中標(biāo)出字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算；用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、 N間

18、的距離的步驟間的距離的步驟. 解解方案一：方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯點(diǎn)的俯 角角1、1；B點(diǎn)到點(diǎn)到M、N的俯角的俯角2、2；A、B間的距離間的距離d(如如 圖所示圖所示). 第一步：計(jì)算第一步：計(jì)算AM.由正弦定理得由正弦定理得 第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算AN.由正弦定理得由正弦定理得 第三步：計(jì)算第三步：計(jì)算MN.由余弦定理得由余弦定理得 MN= AN= AM= 方案二：方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有： A點(diǎn)到點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角點(diǎn)的俯角1、1；B點(diǎn)到點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角點(diǎn)的俯角2、2； A、B的距離的距離d(如圖所示如圖所示). 第一步：計(jì)算第一步