《一道好題的多方位解讀》

1、一道好題的多方位解讀一題可破萬題山 . 一題多解能調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性，提高 思維的活躍性、靈敏性，增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力 . 本文擬從多方位視角解讀 2014 年重慶 A 卷填空壓軸題 .一、 原題呈現(xiàn)如圖 1，正方形 ABCD 的邊長為 6，O 是對角線 AC 與BD的交點(diǎn)，點(diǎn) E在邊CD上，且DE = 2CE，連接BE , 過點(diǎn)C作CF丄BE于點(diǎn)F,連接OF,則OF的值為 二、解法多探從確定性的角度分析，此圖是“死的” 、“鋼板 一塊”，整個圖形都是確定的，所有元素都可解，包括各條 邊以及各個角等 .為表述方便， 手到擒來的一些邊角條件先作 交代：唯獨(dú)確定的 OF 需要“絞盡腦筋”才有

2、望獲解 .由于此 圖結(jié)構(gòu)精妙，蘊(yùn)含豐富的基本圖形，故而會產(chǎn)生多種巧思妙 解，下面提供若干策略：基本策略一： “憨態(tài)可掬”勾股法 求邊長的最基本思路是：構(gòu)造直角三角形，采用勾股定理進(jìn) 行計(jì)算 .點(diǎn)評 1：勾股法顯得那么的大道至簡，不需將問題想 的多復(fù)雜，通過最經(jīng)典的“水平豎直輔助線” ，將所求邊 置于構(gòu)造的直角三角形中，采用平移思想，計(jì)算出所需“水 平邊”或“豎直邊” .這是改“斜”歸正、化斜為直思想的妙 用，是一種最基本的解題策略，后續(xù)的所謂“建系解析法” ， 包括兩點(diǎn)間距離公式等，本質(zhì)就是勾股法.基本策略二： “慧眼識圖”相似法求邊長的另一個重要思路是：尋找基本相似型，采用比例進(jìn)行計(jì)算 .點(diǎn)

3、評 2：此法顯得那么的簡捷完美， 需要一雙敏銳的雙眼，慧眼識珠，敏銳地洞察到兩個“射影 型”相似結(jié)構(gòu)，應(yīng)用兩次射影定理，巧妙證出一個比例式， 從而得到一對“斜 A 字型”相似，順利解決問題 .值得一提 的是，利用此法， 還可以得到/ BFO = Z BDE = 45 .這是一 個有趣的發(fā)現(xiàn)，后續(xù)的解法中也將會提及這個45角 .點(diǎn)評3：“對頂相似必成對” ，這也是一個經(jīng)典結(jié)構(gòu)，也可以用四 點(diǎn)共圓的眼光來看，得到/ BFO = 45后，出路其實(shí)還有很 多，除了上面的“斜 A字型”相似外，還可以解 BOF，其 邊BO、BF確定，雖為“ SSA ”，但仍可解，可作 0G丄BF 于點(diǎn)G,利用45設(shè)元，在

4、Rt OBG中用勾股定理列方程 求解，當(dāng)然計(jì)算量偏大些 .此外，這里的“對頂相似法”還可 以與后續(xù)部分方法結(jié)合使用， 效果更佳 .點(diǎn)評 4：此法略微“臃 腫”，稍顯麻煩，之所以提及，是因?yàn)檎叫沃械拇怪苯Y(jié)構(gòu)， 很容易補(bǔ)成所謂“十字架”結(jié)構(gòu)，如圖 1 5 所示，“垂直必 相等” .此結(jié)構(gòu)往往可以使問題的求解異常簡單， 需要勇于嘗 試，它與后續(xù)的各種簡便解法可以結(jié)合使用，如“ 12345 模 型”等，效果非凡，甚至于還能創(chuàng)出新的解法，余味繚繞， 回味無限，值得琢磨 ;在“十字架”結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，解法 4采 取的“斜 A 字型”相似法，是為了呼應(yīng)解法 3中的“對頂相 似型”，其核心結(jié)構(gòu)如圖 17 所示

5、，筆者又稱其為“雙高模 型”，可謂“相似成災(zāi)”，主要有：Rt BOM s Rt BFN sRt CFM s Rt CON ; BCM s OFM :厶 NOFsNCB； “套路，套路，一套就有路” ，很多時候，數(shù)學(xué)解題 就是在玩套路，同學(xué)們認(rèn)真琢磨吧，爭取變成自己的解題套 路.點(diǎn)評 5：神威蓋世“ K 字型”，它是“垂直處理”的常見 策略，而且竟然出現(xiàn)了雙“ K 字型”結(jié)構(gòu)，可謂趣味盎然， 巧借設(shè)元，妙用比例，導(dǎo)邊導(dǎo)角，渾然天成 ;此法亦可以與其 他解法結(jié)合使用，比如用四點(diǎn)共圓等發(fā)現(xiàn)/OFB = 45，將更簡潔，當(dāng)然有無必要性另說 .基本策略三： “抽絲剝繭”三 角法三角是相似的濃縮精華，基于

6、確定性分析的解三角形， 是必備的解題品質(zhì)， 善于借助確定性思想去審題、 分析問題， “眼中有角，心中有比” ，“導(dǎo)角導(dǎo)邊，靈活自如” ，這或許 也算是師父（蘇州王曉峰）教誨“大平面觀”的真諦吧！基 于確定性思想分析： BED確定（SAS或SSS）/ OBF 確定（三角比確定）- OBF確定（SAS）- OF可求，具 體如下：點(diǎn)評 6：三角法，如抽絲剝繭般，步步為營，將問 題解決地很徹底，各邊角元素都暴露無遺，解出了問題的本 質(zhì).這需要較強(qiáng)的分析問題、 解決問題的能力， 當(dāng)然也是解題 的基本技能之一，尤其是基于確定性思想下的邊角分析，要 求學(xué)生有明確的導(dǎo)角意識， “眼中有角，心中有比” ，目光遠(yuǎn)

7、 大，無拘無束，形成傳說中的“大平面觀” ；在導(dǎo)角導(dǎo)邊分 析的基礎(chǔ)上， OFC （ SAS）與厶OFE （ SSA）都可解，如 圖111及圖 112所示，有興趣可自行探究；三角法與其他解法結(jié)合使用，還會產(chǎn)生很多有趣的解法，譬如： 基本策略四：“炫目多彩”旋轉(zhuǎn)法除了用勾股、相似以及解 三角形等 “靜態(tài)方法” 思考問題外， 還需養(yǎng)成用平移、 對稱、 旋轉(zhuǎn)等“動態(tài)方法” 嘗試解決問題的意識與能力 .如圖 115， 細(xì)致分析圖形的結(jié)構(gòu)，會發(fā)現(xiàn)本題中等腰Rt OBC形狀與大小都確定，BF、CF又好求，而要求的是 OF的長，可以 考慮利用旋轉(zhuǎn)變換，將由 F 點(diǎn)出發(fā)的三條線段集中在某三角 形中 .“見不等三

8、爪圖，想旋轉(zhuǎn)” ，可以繞 O、 B、 C 順轉(zhuǎn)或逆 轉(zhuǎn)，一般有六法，故可稱“旋轉(zhuǎn)六法” ，相對而言，繞直角 頂點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)， 構(gòu)造所謂 “共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形手 拉手模型”，更簡單些，屬旋轉(zhuǎn)法的第一層次，即“共頂點(diǎn)， 等線段，造旋轉(zhuǎn)，出全等” ；繞點(diǎn) B 或點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，屬旋轉(zhuǎn)法 的第二層次，即“共頂點(diǎn)，成比例，造旋轉(zhuǎn)，出相似”.點(diǎn)評7：上述兩種解法屬旋轉(zhuǎn)法的第一層次，即旋轉(zhuǎn)全等法，解 法9相當(dāng)于將厶COF繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90 至厶BOT位 置，而解法10相當(dāng)于將厶BOF繞頂點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90 至 COT 位置；然而兩種解法均巧妙避開了旋轉(zhuǎn)輔助線的添 加，而是通過作垂線與已知線段延長

9、相交，再結(jié)合題目條件 證明上述三角形全等，從而得到所謂“共直角頂點(diǎn)的雙等腰 直角三角形手拉手模型” ，“殊途同歸” ，但有效避開了證明 “三點(diǎn)共線”的麻煩，建議同學(xué)們用旋轉(zhuǎn)的眼光來看，用延 長等方式去寫 .點(diǎn)評 8：上述兩種解法屬旋轉(zhuǎn)法的第二層次，即旋轉(zhuǎn)相似法，解法11相當(dāng)于將厶BOF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn) 45再位似放大至 BCT位置，而解法12相當(dāng)于將厶BCF 繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)45再位似縮小至 BOT位置；相比而 言，前者更好說理些，后者似乎必須借助四點(diǎn)共圓等方法推 出/ OFB = 45,從而構(gòu)造出“共45角的雙等腰直角三角 形手拉手模型” ，旋轉(zhuǎn)相似必成對，順利解決問題；若回避 四點(diǎn)共圓等方

10、法，解法9至解法11倒也是證明/ OFB = 45 的好方法，可見雖然理論上， “旋轉(zhuǎn)六法”都可以解決問題， 但繁簡程度不一，需慎重考慮，一般情形下，旋轉(zhuǎn)全等法比 旋轉(zhuǎn)相似法容易，即繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是首選；B、C 兩點(diǎn)地位等價，同理可以繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，如圖 120 及圖 121 所示， 不再展開；據(jù)此，本題又產(chǎn)生新的求法，如圖124 所示，其本質(zhì)也是旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于將Rt BOG繞點(diǎn)0逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。至Rt COH位置；此模型不妨稱為“同側(cè)型共斜邊 等腰直角三角形直角三角形模型” ，用文字描述其結(jié)論為： （非等腰）直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊等于 兩直角頂點(diǎn)間距離的根號 2倍；它還有一

11、個“姊妹”模型， 如圖 125所示，不妨稱為“異側(cè)型共斜邊等腰直角三角形 +直角三角形模型”，在此結(jié)構(gòu)中有結(jié)論：BF + CF =根號 2*OF ，翻譯成文字描述為： （非等腰）直角三角形的兩直角 邊之和等于兩直角頂點(diǎn)間距離的根號 2倍；注：圖中標(biāo)記的 數(shù)字均是指相應(yīng)角的正切值 .點(diǎn)評 9：“12345秒殺法” 是那么地鏗鏘有力，當(dāng)然這取決于題目中數(shù)據(jù)的特殊性，但因其應(yīng) 用廣泛，故想要秒題，需要牢記以下一組神奇的等式：點(diǎn)評 10：該法是如此的霸氣凜然，簡單補(bǔ)形出“十字架”，導(dǎo)角導(dǎo)邊出“ 123”，利用比例，快速鎖定答案；當(dāng)然，這里的/ OFN = 45，即/ OFN =“1”，需要借助四點(diǎn)共圓

12、等方法得 出 .基本策略六： “以備后患”建系解析法幾何問題幾何解， 這是不爭的事實(shí)，但有時適當(dāng)?shù)夭捎媒馕龇ǎ梢源蛲?一片新的天地 .建系也需技巧、 策略，請比較下面的兩種解法： 基本策略七： “鬼斧神工”托勒密法若是了解以下拓展知識， 本題更可以直接秒殺： （托勒密定理 ）如圖 133，在圓的內(nèi)接 四邊形 ABCD 中，始終有 AC X BD = AB X CD + BC X AD , 即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線 的乘積 .點(diǎn)評 12：托勒密法簡單的令人發(fā)指，數(shù)學(xué)如此有趣， 引無數(shù)學(xué)子競折腰 .三、變式尋通下面提供兩道變式問題，供鞏固練習(xí)之用：變式 1：如圖 2，正方形 ABCD 的邊長為 6， O是對角線 AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，且DE = 2CE, 連接BE，過點(diǎn)C作CF丄BE于點(diǎn)F,連接AF , DF，求AF 與 DF 的值.無獨(dú)有偶， 2016 年廣西桂林也考了一個類似的問 題：變式2 （“骨頭版”）：如圖3，在Rt ACB中，/ ACB =90 , AC = BC = 3, CD = 1, CH