2011屆江蘇南通市高三二模(數(shù)學(xué))

1、.江蘇省南通市2011屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)I一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程是 2 若（R，i為虛數(shù)單位），則ab= 3命題“若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則”的否命題是 命題（填“真”、“假”之一）4 把一個(gè)體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個(gè)小正方體，現(xiàn)從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 5 某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30、50、10和10，則全班學(xué)生的平均分為 分6設(shè)和都是元素為向量的集合，則MN= 7 在如圖所示的算法流程圖中，若輸

2、入m = 4，n = 3，則輸出的a= 8設(shè)等差數(shù)列的公差為正數(shù)，若則 9設(shè)是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： （用代號(hào)表示）10定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：，當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)不等關(guān)系：；其中正確的個(gè)數(shù)是 11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，ABC 的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則的值是 12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)、，定義： 已知點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則使取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是 13若實(shí)數(shù)x，y，z，t滿(mǎn)足，則的最小值為 14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓

3、x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)，使得=，則的取值范圍是 【填空題答案】1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. （或） 10. 1 11. 12. 13. 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，平面平面，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的PABCOEFG(第15題)中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面【證明】由題意可知，為等腰直角三角形，為等邊三角形 2分（1）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以?5分PABCOE

4、FGQ因?yàn)槠矫?，所以，在等腰三角形?nèi)，為所在邊的中點(diǎn)，所以，又，所以平面；8分（2）連AF交BE于Q，連QO因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，所以，且Q是PAB的重心，10分于是，所以FG/QO. 12分因?yàn)槠矫鍱BO，平面EBO，所以平面 14分【注】第（2）小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H，利用平面FGH/平面EBO證得.16（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)（1）設(shè)，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面積為，求sinA+sinB的值【解】（1）=3分 由，得， 5分于是，因?yàn)?，所?7分（2）因?yàn)?，由?）知 9分因?yàn)锳BC的面積為，所以，于是. 在ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的

5、對(duì)邊分別是a，b.由余弦定理得，所以 由可得或 于是 12分由正弦定理得，所以 14分17（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、OA1A2B1B2xy(第17題)下頂點(diǎn)分別為、設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（1）求橢圓E的離心率；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若圓的面積為，求圓的方程【解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c0），因?yàn)橹本€的傾斜角的正弦值為，所以，于是，即，所以橢圓E的離心率 4分（2）由可設(shè)，則，于是的方程為：，故的中點(diǎn)到的距離， 6分又以為直徑的圓的半徑，即有，所以直線與圓相切 8分（3）

6、由圓的面積為知圓半徑為1，從而， 10分設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則 12分解得所以，圓的方程為14分18（本小題滿(mǎn)分16分）如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地（1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為RST，求場(chǎng)地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）【解】（1）如右圖，過(guò)S作SHRT于H，SRST= 2分由題意，RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離； 4分RT左邊的部分

7、是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，則有RT4，SH2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立 此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為SRST=4（km2） 6分（2）同(1)的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設(shè)BPA=，則有 8分令，則 11分若，又時(shí)，時(shí)， 14分函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km2） 16分19 （本小題滿(mǎn)分16分）設(shè)定義在區(qū)間x1， x2上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量=，=(x，y)，當(dāng)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足x= x1+(1) x2時(shí)，記向量=+(1)

8、定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1，x2上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指“k恒成立”，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)（1）設(shè)函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間0，1上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k=下線性近似（參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln(e1)=0.541）【解】（1）由=+(1)得到=，所以B，N，A三點(diǎn)共線， 2分又由x= x1+(1) x2與向量=+(1)，得N與M的橫坐標(biāo)相同 4分對(duì)于 0，1上的函數(shù)y=x2，A(0，0)，B(1，1)，則有，故；所以k的取值范圍是 6分（2）對(duì)于上的函數(shù)，A()，B()， 8分則直線AB的方程， 10分令，其中，于是， 13分

9、列表如下：xem(em，em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1+00增減0則，且在處取得最大值，又0.123，從而命題成立 16分20(本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存在，用分別表示和（只要寫(xiě)出一組）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為【解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以；綜上所述， 3分 （2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，因?yàn)?，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在； 5分 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以， 7分 令，得，此時(shí)， 所以， 所以；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足題設(shè).10分（3）作如下構(gòu)造：，其中，它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)， 12分顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形由的任意性，這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè) 14分下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似：若三角形和相似，且，則，整理得，所以，這與條件相矛盾，因此，任意兩個(gè)三角形不相似故命題成立