小波變換原理與應(yīng)用

1、2021/3/111 學(xué)院：電子信息工程學(xué)院學(xué)院：電子信息工程學(xué)院 專業(yè)：專業(yè)：xxx 姓名：姓名： 時間：2016年3月26號 2021/3/112 為什么需要要對信號進(jìn)行變換為什么需要要對信號進(jìn)行變換 4原始信號有一些信息是很難獲取的，為了獲得更多的 信息，我們需要對原始信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。從而獲得 更多的信息。例如生活中常見的心電圖，在心電圖的 時域信號中一般很難找到這些病情，所以心臟病專家 一般用記錄在磁帶上的時域心電圖來分析心電信號， 從而確定病癥是否存在。 2021/3/113 一、FT和STFT 二、小波變換 三、小波變換在圖像處理中的應(yīng)用 2021/3/114 1.1 傅里葉變換

2、（傅里葉變換（FT） dtetsfS ftj 2 )()(FT： IFT： dfefSts ftj2 )()( 通過上述通過上述FT公式可以發(fā)現(xiàn)，信號的頻域是一些指數(shù)公式可以發(fā)現(xiàn)，信號的頻域是一些指數(shù) 項的累加和，每個指數(shù)項對應(yīng)特定的頻率，然后在整個項的累加和，每個指數(shù)項對應(yīng)特定的頻率，然后在整個 時域整合起來。其中指數(shù)項可以用以下的表達(dá)式表示：時域整合起來。其中指數(shù)項可以用以下的表達(dá)式表示： )2sin()2cos(ftjft 即信號是由一些不同頻率的正弦項疊加起來的，即信號是由一些不同頻率的正弦項疊加起來的， 如果信號中頻率為如果信號中頻率為f的分量幅度較大，那么這個分量就的分量幅度較大，

3、那么這個分量就 和正弦項重疊，他們的即就比較大，這表明信號有一和正弦項重疊，他們的即就比較大，這表明信號有一 個頻率為個頻率為f的主要分量。的主要分量。 2021/3/115 信號一 cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*100*t)+ cos(2*pi*50*t) 信號二 2021/3/116 對上面兩個信號進(jìn)行對上面兩個信號進(jìn)行FT后得到的頻域圖后得到的頻域圖 信號一 信號二 由于這個信由于這個信 號的頻率分號的頻率分 量一直保持量一直保持 不變，我們不變，我們 將此類信號將此類信號 稱之為平穩(wěn)稱之為平穩(wěn) 信號信號 非平穩(wěn)信號非平穩(wěn)信號 2021/3

4、/117 由上面兩個頻域圖可以看出傅里葉變換只能給出信由上面兩個頻域圖可以看出傅里葉變換只能給出信 號的頻譜分量，而無法給出相應(yīng)的頻譜分量的出現(xiàn)時間號的頻譜分量，而無法給出相應(yīng)的頻譜分量的出現(xiàn)時間 ，當(dāng)我們想知道頻率分量出現(xiàn)的確切時間時，傅里葉變，當(dāng)我們想知道頻率分量出現(xiàn)的確切時間時，傅里葉變 換對于非平穩(wěn)信號是不合適的。而且現(xiàn)實中幾乎所有的換對于非平穩(wěn)信號是不合適的。而且現(xiàn)實中幾乎所有的 生物信號都是非平穩(wěn)的。那么我們應(yīng)該怎樣將時間信息生物信號都是非平穩(wěn)的。那么我們應(yīng)該怎樣將時間信息 加到頻率圖中去呢？這時我們可以考慮將部分非平穩(wěn)信加到頻率圖中去呢？這時我們可以考慮將部分非平穩(wěn)信 號看成平穩(wěn)

5、信號。號看成平穩(wěn)信號。 2021/3/118 1.2STFT dtetttxftSTFT t ftj X 2)( )()(),(STFT: STFT只不過是對乘了一個窗函數(shù)的信號做傅里葉變換，只不過是對乘了一個窗函數(shù)的信號做傅里葉變換， 以此得到在某段時間內(nèi)的頻率信息。以此得到在某段時間內(nèi)的頻率信息。 根據(jù)海森堡測不準(zhǔn)原理，根據(jù)海森堡測不準(zhǔn)原理，在在STFT中由于窗口長度有限，中由于窗口長度有限， 它僅僅覆蓋了信號的一部分，因此導(dǎo)致頻率分辨率較它僅僅覆蓋了信號的一部分，因此導(dǎo)致頻率分辨率較 差，即我們不能確切的知道信號中那些頻率分量存在，差，即我們不能確切的知道信號中那些頻率分量存在， 只知道

6、那些頻段的分量存在。只知道那些頻段的分量存在。 2021/3/119 如果我們有一個無限長的窗口，然后做傅里葉變換， 會得到完美的頻率分辨率，但是結(jié)果中不包含時間 信息。更進(jìn)一步為了獲得信號的平穩(wěn)性，我們需要 一個寬度足夠短的窗函數(shù)，窗口越短，時間分辨率 越高，信號的穩(wěn)定性越高，但是頻率分辨率卻越來 越低。 窄窗窄窗=高時間分辨率，低頻率分辨率高時間分辨率，低頻率分辨率 寬窗寬窗=高頻率分辨率，低時間分辨率高頻率分辨率，低時間分辨率 2021/3/1110 加窄窗之后對應(yīng)的加窄窗之后對應(yīng)的 STFT，可見有較好，可見有較好 的時間分辨率，但的時間分辨率，但 是頻率分辨率很差。是頻率分辨率很差。

7、 加較寬窗之后對應(yīng)加較寬窗之后對應(yīng) 的的STFT，可見有較，可見有較 好的頻率分辨率，好的頻率分辨率， 但是時間分辨率很但是時間分辨率很 差。差。 2021/3/1111 2.1 小波的發(fā)展歷史小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)工程到數(shù)學(xué) 41807: Joseph FourierFT，只有頻率分辨率而沒有時 間分辨率 41909: Alfred Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波 41945: GaborSTFT 41980：MorletMorlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代 提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開發(fā)出了連續(xù) 小波變換CWT（ continuous wavelet transform ）

8、 41986：Y.Meyer提出了第一個正交小波Meyer小波 41988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解 和重構(gòu)算法） 2021/3/1112 小波的發(fā)展歷史小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué)工程到數(shù)學(xué) 41988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小 波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離 散小波分析變成為現(xiàn)實 4Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在 把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn) 4在信號處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波 變換的數(shù)

9、學(xué)理論和Stephane Mallat構(gòu)造了小波分解和重 構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個工程領(lǐng)域中得到了 廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、 圖像信息處理等 2021/3/1113 2.2.1 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 RLxfdx a bx xfabafW 2 2 1 , x 如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足以下容許性條件：滿足以下容許性條件： dC 2 則稱則稱 為一容許性小波，并定義如下的積分變?yōu)橐蝗菰S性小波，并定義如下的積分變 換：換： x 以上積分變換為以上積分變換為 以以 為母小波的積分連為母小波的積分連 續(xù)小波變換，續(xù)小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關(guān)的伸縮，為尺度因子，

10、表示與頻率相關(guān)的伸縮， b為時間平移因子。為時間平移因子。 x xf 2021/3/1114 2.2.2離散小波變換離散小波變換 ttfbaW ba f , , 將將a,b離散化，令離散化，令 ，可以得，可以得 到離散小波變換：到離散小波變換： Zkjkba jj ,2,2 ttfkjfDW kj, , 其中：其中： Zkjktt j j kj ,22 2 , ， 2021/3/1115 2.3 幾種常用小波幾種常用小波 （1） Haar小波 A.Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系，定義如下： 其他0 12/11 2/101 x x H 2021/3/1116 （2）Meyer函數(shù) Mey

11、er小波函數(shù) 和尺度函數(shù) 都是在頻域中進(jìn) 行定義的，是具有緊支撐的正交小波。 3 8 , 3 2 0 3 8 3 4 1 2 3 2 cos2 3 4 3 2 1 2 3 2 sin2 2/ 2/1 - 2/ 2/1 - ve ve j j 其中， 為構(gòu)造函數(shù)Meyer的輔助函數(shù)，且有： av 3 4 0 3 4 3 2 1 2 3 2 cos2 3 2 2 2/1 2/1 - v 2021/3/1117 （3）其他常用小波）其他常用小波 4Daubechies(dbN)小波系 4Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 4Symlets(symN)小波系 4Morlet(morl

12、)小波 4Coiflet(CoifN)小波系 2021/3/1118 2.4 塔式算法塔式算法 (1) 信號在小波空間的展開為： tttfftf kjkj ZkZjZjZk Wj, , , （2）小波分解算法 使用多分辨析的金字塔算法： tttftttftf kjkj JjjZk kjkj Zk , , 實際計算時，可以一次一次地進(jìn)行小波分解， 然后遞推實現(xiàn)(J-j)次小波分解。假設(shè)一次小波分解 的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為： kjkj kjkj fd fc , , , , 2021/3/1119 可以得到： n njnjkjkj, 1, 1, , dtnktt njkj 22 2 1 , , 1,

13、 因為： dtkttktthk 22, 故： knnjkj htt 2, 1, 2 1 , 代入得： n knjn n njknkj hh 2, 1, 12, 2 1 2 1 從而： Zn knjnkjkj chtfc 2, 1, 2 1 , 最后得到如 下尺度系數(shù) 和小波系數(shù)： Zn knjnkj Zn knjnkj cgd chc 2, 1, 2, 1, 2 1 2 1 2021/3/1120 基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π?號進(jìn)行分解，去除信號點之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次 要系數(shù)，以達(dá)到壓縮目的。但是該方法在處理過程中不能提供時域 的信息，在比較關(guān)心的時

14、域特性的時候顯得無能為力。 三、小波分析在圖像處理中的應(yīng)用三、小波分析在圖像處理中的應(yīng)用 有時，對圖像分析時，需要對某個局部的細(xì)節(jié)要求有很高的分辨 率，單純的時域分析方法顯然不能達(dá)到這個要求，雖然可以通過對圖 像進(jìn)行塊分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達(dá)到這個要求， 但分塊大小相對固定，有失靈活性。 在這個方面，小波分析就優(yōu)越的多。由于小波分析具有固定的時 頻特性，可以在時頻兩個方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對感興趣 的部分提供不同的壓縮精度。 2021/3/1121 3.1 二維小波變換的圖像壓縮 二維小波變換用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用中的一 個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮 后能保持圖像的特征基本不變，并且在壓縮過程中可以 抗干擾。 對于一幅圖像（二維信號）來說，表現(xiàn)一副圖像 的最主要部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是 利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部 分。 原 始 圖 像顯 示 分 頻 信 息 第 一 次 壓 縮 的 圖 像第 二 次 壓 縮 的 圖 像 2021/3/1122 3.2 小波變換用于圖像去噪 4噪聲就是妨礙人的視覺器官或系統(tǒng)傳感器所接收圖像 源進(jìn)行理解和