322復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【人教A版】

1、3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）是實(shí)數(shù)） 即即: :兩個(gè)復(fù)數(shù)相加兩個(gè)復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實(shí)部與實(shí)部實(shí)部與實(shí)部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).). (1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i x o y Z1(a,b) Z2(c,d) Z(a+c,b+d) z z1 1+ z+ z2

2、2=OZ=OZ1 1 +OZ +OZ2 2 = OZ = OZ 符合向量加法符合向量加法 的平行四邊形的平行四邊形 法則法則. 1.1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)加法加法運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算的幾何意義? ? x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z2z1 向量向量Z1Z2 符合向量減符合向量減 法的三角形法的三角形 法則法則. 2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)減法減法運(yùn)算的幾何意義運(yùn)算的幾何意義? ? 3、共軛復(fù)數(shù)的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)， 這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的。虛部不等于的 兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫

3、做兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)共軛虛數(shù)。 思考：若思考：若z1 z2 ，是共軛復(fù)數(shù)，那么是共軛復(fù)數(shù)，那么 （）在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎（）在復(fù)平面內(nèi)，它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎 樣的位置關(guān)系？樣的位置關(guān)系？ （）（） z1 z2是一個(gè)怎樣的數(shù)？是一個(gè)怎樣的數(shù)？ 答案：關(guān)于答案：關(guān)于x x軸對稱軸對稱 1.1.復(fù)數(shù)的乘法法則：復(fù)數(shù)的乘法法則： 2 acadibcibdi )()acbdbcad i（ 說明說明:(1):(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)；兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)； (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，只是在，只是在 運(yùn)算過程中把運(yùn)算過程中把

4、 換成換成1 1，然后實(shí)、虛部分別合并，然后實(shí)、虛部分別合并. . i 2 (3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律 即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有 ,()(), (). zzzzzzzzzz z zzz zz z 1221123123 1231 21 3 ()()abi cdi 例例1.1.計(jì)算計(jì)算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的. . 我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算, , 類

5、似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算. . )(1biabia）（ 例例2 2：計(jì)算：計(jì)算 222 ibabiabia 22 ba 思考：思考：在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？ 22 yx 2.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù) 叫做互為共軛復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù). 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作, zzabi記 思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么 zz zzzzzzzz 1212121

6、2 , 另外不難證明另外不難證明: zz2a2bi zz 22 ab 2 2 ()abi（ ） 22 2babia 222 ()() 2a biababi 22 2 2aabib i 3 (1 2 )(34 )( 2)iii （ ） (112 )( 2) 20 15 ii i 22 2ababi 3.3.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都 乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母 實(shí)數(shù)化實(shí)數(shù)化).).即即 分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化 dic bia dicbia )()(

7、 )( )( dicdic dicbia 22 )()( dc iadbcbdac (0).cdi 2222 acbdbcad i cdcd 例例3.3.計(jì)算計(jì)算)43()21 (ii 解解: i i ii 43 21 )43()21 ( )43)(43( )43)(21 ( ii ii 25 105 43 4683 22 iii i 5 2 5 1 先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算即可運(yùn)算.(一般分子分母同時(shí)乘一般分子分母同時(shí)乘 以分母的共軛復(fù)數(shù)以分母的共軛復(fù)數(shù)) 1212 (1) (2) (3) (4) ZZ

8、ZZ ZZ 下列命題中正確的是 如果是實(shí)數(shù)，則、互為共軛復(fù)數(shù) 純虛數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是。 兩個(gè)純虛數(shù)的差還是純虛數(shù) 兩個(gè)虛數(shù)的差還是虛數(shù)。 (2)(2) 1212 1212 1212 1212 ( )0, ( )0, ()0, ()0, AZZZZ BZZZZ CZZZZ DZZZZ 下列命題中的真命題為： 若則與互為共軛復(fù)數(shù)。 若則與互為共軛復(fù)數(shù)。 若則與互為共軛復(fù)數(shù)。 若則與互為共軛復(fù)數(shù)。 D D （1 1）已知已知 求求 iziz41,23 21 1 121212 2 , z zzzzzz z 練練 習(xí)習(xí) （2 2）已知）已知 求求 iziz2,1 21 42 1 112 2 , () z

9、zzz z （3 3） 2 )1 (i;2i i i 1 1 i 1 ; i i i 1 1 ; i . i 如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事實(shí)上可以把它推廣到事實(shí)上可以把它推廣到nZ.） 設(shè)設(shè) ,則有則有: i 2 3 2 1 . 01 ; 1 2 _ 23 事實(shí)上事實(shí)上, 與與 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為1的立方虛根的立方虛根,而且對于而且對于 ,也也 有類似于上面的三個(gè)等式有類似于上面的三個(gè)等式. _ _ . 1 1 ; 1 1 ; 1 ;2)1( 2 i i i i i i i i ii (6)一些常用的計(jì)算結(jié)果一些常用的計(jì)算結(jié)果 拓拓 展展 求滿足下列條件的復(fù)數(shù)求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:z: (1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律, , 在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C C中仍然成立中仍然成立. .即對即對 z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C及及