概率與數(shù)理統(tǒng)計習題課2

1、第二章 隨機變量及其分布 教學要求教學要求 1.理解隨機變量及其概率分布的概念。 2.理解隨機變量分布函數(shù)的概念，掌握分布函數(shù)的性質(zhì)，會計算與隨機變量有 關(guān)的事件的概率。 3.理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二項分布， 幾何分布，泊松分布及其應用。 4.理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，掌握密度函數(shù)的性質(zhì)，掌握均勻 分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布及其應用。 5.會求簡單的隨機變量函數(shù)的分布。 例1. 填空題： （1）同時拋擲三枚硬幣，以 X 表示出現(xiàn)正面的個數(shù)，則 X 的概率分布為_ （2）設(shè) （3）設(shè) X 的概率分布為 為常數(shù)，則，0 ) , 2 , 1 , 0( !

2、 k k kXP k （4）設(shè) 2 . 0)0( 3 . 0)42( ), 2( 2 xPXPNx則，且， e 27 19 1 9 5 1 ) 3( , ) , 2(YPXPPBYPBX則，若， （5）設(shè) X 的概率密度為 其它 , 0 10 , 2 )( xx xf 用 Y 表示對 X 的三次獨立重復觀察中事件 出現(xiàn)的次數(shù)，則 （6）設(shè) X 的分布為 64 9 2 YP 2 1 X 則 的分布律為， 13 20/3XYa （6）設(shè) X 的分布為 1 2 XY 例2 選擇題： （1）下列函數(shù)中，哪個是 X 的分布函數(shù) ； 0 , 2 3 02 , 2 1 2 , 0 )( x x x xF ）

3、（C （A A） （B B） （C C） （D D） ； , 1 0 ,sin 0 , 0 )( x xx x xF ； 2 , 1 2 0 ,sin 0 , 0 )( x xx x xF. 2 1 , 1 2 1 0 , 3 1 0 , 0 )( x xx x xF （2）設(shè) X 的分布律為)( 0), 2 , 1( BbkbkXP k 為則，且， （A A） ； （B B） ； （C C） ； 的任意實數(shù) 0 1 b 1 1 b 1 1 b （3）已知 X 的分布函數(shù)為 )(A ； , 1 0 , 0 , 0 )( x xbkx x xF 則常數(shù) k 和 b 分別為 （A A） （B B）

4、 （C C） （D D） （D D） . 2 1 b0,k 0b, 2 1 k 1 b0,k 0b, 1 k （4）設(shè) X 的概率分布為 ，則隨著 的增大，概率 ）（DXP （5）設(shè) ，概率密度為 ，則下列等式正確的是 5 . 000XPXP ) , ( 2 NX 2 （A A）單調(diào)增大； （B B）單調(diào)減少； （C C）增減性不定； （D D）保持不變。 )( ) 1 , 1 (xfNX）（C （A A） ； （B B） ； （C C） ； （D D） ),(- , )()(xxfxf . ),( )(1)(xxFxF， 5 . 011XPXP （6）設(shè) X 的概率分布為 )( 12 ) 1

5、 , 0(AYXYNX服從則， （A A）N (1 , 4) （B B）N (0 , 1) （C C）N (1 , 1) （D D）N (1 , 2) 例3 設(shè)試驗成功的概率為 ，失敗的概率為 ，獨立重復試驗直到（1）成 功兩次為止；（2）成功三次為止，分別求所需試驗次數(shù)的概率分布。 4 3 4 1 解解： （1）設(shè) X 表示直到成功兩次為止的所需試驗次數(shù) X 的可能取值為 2 , 3 , 4 . , 4 , 3 , 2 4 3 4 1 22 1 1 kCkXP k k ， （2）設(shè) Y 表示直到成功三次為止所需試驗次數(shù)，則 Y 可能取值為3 , 4 , 5 . 5 , 4 , 3 4 3 4

6、 1 33 2 1 kCkXP k k ， 例4 一批產(chǎn)品由9個正品3個次品組成，從這批產(chǎn)品中每次任取一個，取 后不放回，直到取到正品為止，由 X 表示取到的次品個數(shù)，寫出 X 的概率分 布及分布函數(shù)。 解解： X 所有可能取值為0 , 1 , 2 , 3 . . 220 1 220 9 44 9 4 3 13 , 220 9 10 9 * 11 2 * 12 3 2 , 44 9 11 9 * 12 3 1 4 3 12 9 0 XP XP XPXP， 故 X 的分布律為： ，時， 22 21 44 9 4 3 )( 21xXPxFx當 當 當 ，時，0)( 0 xXPxFx ，時， 4 3

7、 )( 10 xXPxFx 當，時， 220 219 220 9 44 9 4 3 )( 32xXPxFx 當 3 1 32 220 219 21 22 21 10 4 3 0 0 )( 1)( 3 x x x x x xF xFx ， ， ， ， ， ，時， 例5 設(shè) X 的概率密度為 解解： （1）由 的性質(zhì)，有 求（1）系數(shù) k ；（2）X 的分布函數(shù)；（3） . 2 , 0 , 20 , 4 1 , 0 , )( x x xke xf x .2111XPXPXP， )(xf ， ， 2 1 1 2 1 4 1 4 1 )( 1 2 0 0 2 0 0 k kxke dydxdxkedx

8、xf x x 當 ，時 0 x x x x edxeXPxF 2 1 2 1 0)( 當 ，時 20 xxtdxdxexF x x x 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 )( 0 0 0 當，1)( 2xFx 2 , 1 , 20 , 4 1 2 1 , 0 , 2 1 )( x xx xe xF x （3） 4 1 4 1 2 1 1) 1 ()2(21 01 , 4 3 ) 1 (1 FFXP XPFXP， 例6 設(shè) X 的概率密度為 解解： 設(shè) Y 的分布函數(shù)為 ；密度為 求 的概率密度。XYsin . , 0 ,0 , 2 )( 2 其它 x x xf )(yFY)(yf

9、Y 當 當 當 ，時，0)( 0)( 0yfyFy YY ，時，0)()( 1)( 1yFyfyFy YYY 時， 10 y x y x Y dxxffxxf YxPyYPyF arcsin 0arcsin )( )( sin)( ) 10( 1 2 1 )arcsin(2 1 1arcsin2 )()( 2 222 2 y y y y y y yfyF YY 故 , 0 10 , 1 2 )( 2 其它 y yyfY 例7 已知 X 的概率密度為 . , 0 , 10 , )( 其它 xbax xf 且 ，求 8 5 2 1 XP （1）常數(shù) a , b 的值；（2） 2 1 4 1 XP

10、解解： （1）由 1)( 1)( 1 0 dxbaxdxxf即， 得到 1 2 b a 再由， 1 2 1 28 3 )( 2 1b adxbaxXP ，得 8 5 28 3 b a 聯(lián)立解得：. 2 1 1ba， （2）. 32 7 2 1 4 1 XP 例8 在電源電壓不超過200V，在200V 240V之間和超過240V這三種情況 下，某種電子元件損壞的概率分別為 0.1 ，0.001 ，0.2 ，假設(shè)電源電壓服從正 態(tài)分布 ，求： （1）該電子元件損壞的概率 ； （2）該電子元件損壞時，電源電壓在200V 240V之間的概率 。 解解： 設(shè) A 表示“電子元件損壞”， 分別表示“電壓不

11、超過 200V ”，“電壓在200V 240V 之間”和“電壓超過240V ”。 )25,220( 2 N 321 BBB， 由 ，可得， ) 10( 25 220 N X .2119. 0)8 . 0(1)8 . 0(200 1 XPBP）（ .5762. 0)8 . 0()8 . 0( ) 25 220200 () 25 220240 (240200 2 XPBP）（ .2119. 0)8 . 0(1 ) 25 220240 (12401240 3 XPXPBP）（ .06415. 0 )8 . 0()8 . 0( 2 . 0*2119. 0001. 0*5762. 01 . 0*2119

12、. 0 )()()( 3 )2( ii BAPBPAP （1）由全概率公式，得 （2）根據(jù)貝葉斯公式，有 .00898. 0 06415. 0 001. 0*5762. 0 )( )()( )( 22 2 AP BAPBP ABP 例9 公共汽車門的高度是按男子與車門頂不碰頭的概率在0.01以下設(shè)計的。 設(shè)男子身高 ，問車門高度為多少？ 解解： 設(shè)車門高度為 h ，按設(shè)計要求 .184 184 33. 2 6 170 99. 09901. 0)33. 2( 99. 0 6 170 01. 0 6 170 1 01. 0 cmh h h h hXP ，故車門的高度為 即 于是 即 ，為此必須有

13、)(6 ,170( 2 cmNX 求：隨機變量 例10 已知 X 的概率密度為 解解： 當 當 ).( 2 yfXY Y 的 0 0 0 )( x xe xf x X ， ， ，時，有0)()( 0)( 0yfyFyFy yYY 時，有 0 y 0 )( 2 yXPyXyPyXPyYPyFY 兩端同時對 y 求導，得 y XYY e yy yfyFyf 2 1 2 1 )()( )( 所以 0 0 0y 2 1 )( y e yyf y Y ， ， 例11 設(shè) X 在 (0,1) 服從均勻分布，求（1） （2） 的概率密度。 解解： 由題設(shè)知 X eY XYln2 其他， ， 0 1x0 1

14、)( xf X （1）當 當 當 ，時，0)()( 0)( 1yfyFyFy YYY ，時，有0)()( 1)( yfyFyFey YYY 1時，有ey ydyyXPyePyYPyF y X Y lnln)( ln 0 y yfyF YY 1 )()( 故 其他， ， 0 ey1 1 )( yyfY （2）當 當 時，有 0y ，得時，由xyyln20 ，0)()( 0)(yfyFyF YYY ，由公式得， 22 2 1 )( )( yy eyheyhx 的 ln2XY . 0 0 0y 2 1 )( 2 y e yf y Y ， ， 例12 設(shè) X N (0,1)，試求 （1） （2） 解解： X 的概率密度為 的概率密度， X eY 的概率密度。 XZ , , 2 1 )( 2 2 xe x xf x X （1）當 當 時，有 0y ，0)()( 0)(yfyFyF YYY 時，0y )(lnln)(yFyXPyePyYPyF X X Y 2 ln2 2 11 )(ln)( )( y XYY e yy yfyFyf 故 0 0 0y 2