同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)映射與函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)映射與函數(shù)同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)映射與函數(shù) 第一章 二、映射 三、函數(shù) 一、集合 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 映射與函數(shù) 第1頁/共34頁 元素 a 屬于集合 M , 記作 元素 a 不屬于集合 M , 記作 1. 定義及表示法 定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合. 組成集合的事物稱為元素. 不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 . Ma ( 或 Ma ) . .Ma 注: M 為數(shù)集 * M 表示 M 中排除 0 的集 ; M 表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共34頁 (1) 列舉法： 按某種方式列出集

2、合中的全體元素 . 例:有限集合 n aaaA, 21 n ii a 1 自然數(shù)集 ,2,1,0Nnn (2) 描述法： xM x 所具有的特征 例: 整數(shù)集合 ZxNx 或 Nx 有理數(shù)集 q p Q ,N,Z qp p 與 q 互質(zhì) 實數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無理數(shù) 開區(qū)間 ),(xbabxa 閉區(qū)間 ,xbabxa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共34頁 )( aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa 無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx 點的 鄰域 a ),(xaaxa xax ax0 其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 . 去心

3、 鄰域 左 鄰域 : , ),(aa 右 鄰域 : . ),(aa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共34頁 是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A , 定義2 . 則稱 A .BA 若 BA ,AB 且 則稱 A 與 B 相等, .BA 例如 , ZNQ Z RQ 顯然有下列關(guān)系 : ;) 1 (AA ;AA BA )2(CB 且CA , , A 若 Ax,Bx 設(shè)有集合 ,BA 記作 記作 必有 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共34頁 Ic A A 并集 xBAAx 交集 xBAAxBx 且 差集 xBAAxBx 且 定義下列運算: A B BA 余集 () c

4、AIB為全集或稱基本集其中I 直積 ),(yxBA,AxBy 特例: RR 記 2 R 為平面上的全體點集 A BA B BA BA 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Bx 或 第6頁/共34頁 1. 映射的概念 某校學(xué)生的集合 學(xué)號的集合 按一定規(guī)則查號 某班學(xué)生的集合 某教室座位 的集合 按一定規(guī)則入座 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例1. 第7頁/共34頁 xxysin RxRy 引例3. ox y 1 Q P 1),( 22 yxyxC 11), 0(yyY (點集) (點集) CP點 向 y 軸投影 YQ投影點 xysin xy o x y 1 x 2 x xxysin 機(jī)

5、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共34頁 設(shè) X , Y 是兩個非空集合, 若存在一個對應(yīng)規(guī) 則 f ,使得 ,Xx 有唯一確定的 Yy 與之對應(yīng) ,則 稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作 .:YXf 元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像 ,記作 ).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定義域 ; Y 的子集 )(XfXxxf)( 稱為 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對應(yīng)規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYf x y 機(jī)動 目錄 上頁 下

6、頁 返回 結(jié)束 第9頁/共34頁 第10頁/共34頁 對映射 YXf: 若 YXf)( , 則稱 f 為滿射; X Y f )(Xf 若 , 2121 xxXxx 有 )()( 21 xfxf 則稱 f 為單射; 若 f 既是滿射又是單射, 則稱 f 為雙射 或一一映射. X Y )(Xf f 引例2, 3 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例2 引例2 第11頁/共34頁 三角形)(三角形集合 海倫(Heron)公式b c a S面積),0( 例2. 如圖所示, S x y o x ey x ),0 x 對應(yīng)陰影部分的面積 ),0S 則在數(shù)集 ),0 自身之間定義了一種映射 (滿射) 例

7、3. 如圖所示, x y o ),(yx r cosrx sinry 2 R),(yx f )2,0),0),(r :f 則有 (滿射) (滿射) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共34頁 X (數(shù)集 或點集 ) 在不同數(shù)學(xué)分支中 X ( ) Y (數(shù)集) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f f 稱為X 上的泛函 X ( ) X f f 稱為X 上的變換 R f f 稱為定義在 X 上的為函數(shù) 映射又稱為算子(Operator). 有不同的慣用名稱. 例如, 泛函 functional, 變換 transformation,函數(shù) function 第13頁/共34頁 (1)

8、逆映射的定義 定義: 若映射 )(:DfDf 為單射, 則存在一新映射 ,)(: 1 DDff 使 習(xí)慣上 , Dxxfy, )( 的逆映射記成 )(,)( 1 Dfxxfy 例如, 映射 , 0,(, 2 xxy 其逆映射為 ,xy),0 x )(Df D f 1 f ,)(, )( 1 xyfDfy 其中 ,)(yxf 稱此映射 1 f 為 f 的逆映射 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共34頁 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 D f g 手電筒 D D 2 D 2 D 引例. 復(fù)合映射 第15頁/共34頁 Dx g )()(Dgxgu 1 Du f )(ufy

9、則當(dāng) 1 )(DDg 由上述映射鏈可定義由 D 到 Y 的復(fù) , )(xgfy .),(Dxxgf 設(shè)有映射鏈 記作 )( 1 DfY 合映射 , 時, 或 )( 1 DfY )(ufy )(xgf 1 D D x )(xgu g f gf )(Dg 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件 1 )(DDg 不可少. 以上定義也可推廣到多個映射的情形. 第16頁/共34頁 定義域 1. 函數(shù)的概念 定義4. 設(shè)數(shù)集 ,RD 則稱映射 R:Df 為定義在 D 上的函數(shù) , 記為 Dxxfy, )( f ( D ) 稱為值域 函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy x

10、y ) ,(baD abx y )(DfD 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 自變量 因變量 第17頁/共34頁 Dx f DxxfyyDfy),()( (對應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域) 例如, 反正弦主值 xxfyarcsin)( , 1, 1D,)( 22 Df 定義域 對應(yīng)規(guī)律的表示方法: 解析法、圖象法、列表法 使表達(dá)式及實際問題都有意義的自變量 集合. 定義域值域 x y o xy xxf)( 又如, 絕對值函數(shù)0,xx 0,xx 定義域 RD 值 域 ),0)(Df 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共34頁 1,1 10,2 )( xx xx xfy 求 )( 2 1

11、 f 及 , )( 1 t f 解: 2 1 2 1 2)(f2 )( 1 t f 10 t, 1 1 t 1t, 2 t 時0t 函數(shù)無定義 并寫出定義域及值域 . 定義域 ),0D 值 域 ),0)(Df 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共34頁 設(shè)函數(shù) , )(Dxxfy 且有區(qū)間 .DI (1) 有界性 ,Dx,0M 使 ,)(Mxf 稱 )(xf ,Ix,0M 使 ,)(Mxf 稱 )(xf 說明: 還可定義有上界、有下界、無界 (見上冊 P11 ) (2) 單調(diào)性 為有界函數(shù). 在 I 上有界. ,Dx 使 若對任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf 則稱 f ( x

12、 ) 無界. 稱 為有上界 稱 為有下界 ,)(,Mxf ),(,xfM 當(dāng) , 21 Ixx 21 xx 時, , )()( 21 xfxf若 稱 )(xf 為 I 上的 , )()( 21 xfxf若 稱 )(xf 為 I 上的 單調(diào)增函數(shù) ; 單調(diào)減函數(shù) . x y 1 x 2 x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共34頁 x y oxx ,Dx 且有 ,Dx 若 , )()(xfxf 則稱 f (x) 為偶函數(shù); 若 , )()(xfxf 則稱 f (x) 為奇函數(shù). 說明: 若 )(xf 在 x = 0 有定義 , . 0)0(f)(xf 為奇函數(shù)時, 則當(dāng) 必有 例如

13、, 2 )( xx ee xfy xch 偶函數(shù) x y o x e x e xych 雙曲余弦 記 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共34頁 x y o 2 )( xx ee xfy 奇函數(shù) x e x e xysh xsh 雙曲正弦 記 再如, x x y ch sh xx xx ee ee 奇函數(shù) o y x 1 1 xth 雙曲正切 記 xyth 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共34頁 ,0,lDx 且 ,Dlx )()(xflxf 則稱 )(xf 為周期函數(shù) , t o )(tf 2 2 xo2 y 2 若 稱 l 為周期( 一般指最小正周期 ). 周期

14、為 周期為 2 注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函數(shù) Cxf)( 狄里克雷函數(shù) )(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù) , 1 ,0 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共34頁 (1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì) 若函數(shù) )(:DfDf 為單射, 則存在逆映射 DDff )(: 1 習(xí)慣上, Dxxfy, )( 的反函數(shù)記成 )(,)( 1 Dfxxfy 稱此映射 1 f 為 f 的反函數(shù) . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其反函數(shù) (減) (減) . 1) yf (x) 單調(diào)遞增 ,)( 1 存在xfy 且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 第24頁/共34頁 2) 函數(shù) )(x

15、fy 與其反函數(shù) )( 1 xfy 的圖形關(guān)于直線 xy 對稱 . 例如 , ),(,xey x 對數(shù)函數(shù) ),0(,lnxxy 互為反函數(shù) , 它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線 xy 對稱 . )(xfy )( 1 xfy xy ),(abQ ),(baP x y o 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 指數(shù)函數(shù) 第25頁/共34頁 1 ),(Duufy ,),(Dxxgu 1 )(DDg且 則 Dxxgfy, )( 設(shè)有函數(shù)鏈 稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)合映射的特例 u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1 )(DDg 不可少. 例如,

16、函數(shù)鏈 : ,arcsinuy ,12 2 xu 函數(shù) ,12arcsin 2 xyDx,1 2 3 1, 2 3 但函數(shù)鏈 2 2,arcsinxuuy 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) . 可定義復(fù)合 第26頁/共34頁 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, 0,uuy 可定義復(fù)合函數(shù): , 2 cot x y ,) 12( ,2(kkxZn 0 2 cot, 22 x k x k時 ),2, 1, 0(,cotkkvvu ),(, 2 x x v 第27頁/共34頁 (1) 基本初等函數(shù) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù) (2) 初等函數(shù) 由常數(shù)及基

17、本初等函數(shù) 否則稱為非初等函數(shù) . 例如 , , 2 xy y 0,xx 0,xx 并可用一個式子表示的函數(shù) , 經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步 驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) . 可表為 故為初等函數(shù). 又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) . ( 自學(xué), P17 P21 ) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁/共34頁 符號函數(shù) xysgn 當(dāng) x 0,1 當(dāng) x = 0,0 當(dāng) x 0,1 x y o 1 1 取整函數(shù) xy 當(dāng) Znnxn,1,n x y o 134212 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共34頁 y 的反函數(shù)及其定義域. 解: 01x 當(dāng) 時, 2

18、 xy 則 1,0(,yyx 10 x 當(dāng) 時, xyln 則 0,(,yex y 21 x 當(dāng) 時, 1 2 x ey 則 2,2(,ln1 2 eyx y 反函數(shù) y1,0(,xx 0,(,xe x 2,2(,ln1 2 ex x 定義域為 2,2(1,(e 21,2 10 ,ln 01, 1 2 xe xx xx x 2 12 e2 1 y ox 1 , 1,0( , 0,( , 2,2(e 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共34頁 1. 集合及映射的概念 定義域 對應(yīng)規(guī)律 3. 函數(shù)的特性 有界性, 單調(diào)性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu) 練習(xí) P21 4 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20 2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共34頁 且 0)0(f,)()( 1 x c x fbxfa ,ba 證明 )(xf 證: 令 , 1 x t 則 , 1 t x t ctfbfa t )()(1 由 x c x fbxfa)()( 1 xcxfbfa x )()( 1 消去 ),(1 x f 得 )0()( 22 x x a xb ab c