高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第六章：三角函數(shù)

1、用心 愛心 專心 第六章第六章 三角函數(shù)三角函數(shù) 一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí) 定義 1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則 角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。 定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì) 的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|= r L , 其中 r 是圓的半徑。 定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合， 在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)

2、為（x,y） ，到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦 函數(shù) sin= r y ,余弦函數(shù) cos= r x ,正切函數(shù) tan= x y ，余切函數(shù) cot= y x ，正割函數(shù) sec= x r ,余割函數(shù) csc=. y r 定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系： tan= cot 1 ,sin= csc 1 ，cos= sec 1 ；商數(shù)關(guān)系：tan= sin cos cot, cos sin ；乘積 關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, co

3、s(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+) =cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-) =sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin 2 =cos, cos 2 =sin, tan 2 =cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限） 。 定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間 2 2 , 2 2 kk上為增函數(shù)，在區(qū)間 2 3 2 , 2 2kk上為減函數(shù)，最小正周期 為 2. 奇偶數(shù). 有界性：

4、當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+ 2 時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k- 2 時(shí), y 取 最小值-1。對(duì)稱性：直線 x=k+ 2 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱中心，值域?yàn)? 1，1。這里 kZ. 定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+ 上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性： 直線 x=k 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn) 0 , 2 k均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2k 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時(shí)，y 取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里 kZ. 定理 5 正切函數(shù)的

5、性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk+ 2 )在開區(qū)間(k- 2 , k+ 2 )上為增函 數(shù), 最小正周期為 ，值域?yàn)椋?，+） ，點(diǎn)（k，0） ， （k+ 2 ，0）均為其對(duì)稱中心。 定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin() 用心 愛心 專心 =sincoscossin; tan()=. )tantan1 ( )tan(tan 定理 7 和差化積與積化和差公式: sin+sin=2sin 2 cos 2 ,sin-sin=2sin 2 cos 2 , cos+cos=2cos 2 cos 2 , cos-cos=-2sin 2 sin 2 ,

6、sincos= 2 1 sin(+)+sin(-),cossin= 2 1 sin(+)-sin(-), coscos= 2 1 cos(+)+cos(-),sinsin=- 2 1 cos(+)-cos(-). 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=. )tan1 ( tan2 2 定理 9 半角公式:sin 2 = 2 )cos1 ( ,cos 2 = 2 )cos1 ( , tan 2 = )cos1 ( )cos1 ( =. sin )cos1 ( )cos1 ( sin 定理 10 萬能公式: 2 t

7、an1 2 tan2 sin 2 , 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 , . 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b20，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為 ，則 sin= 22 ba b ,cos= 22 ba a ，對(duì)任意的角 . asin+bcos=)( 22 ba sin(+). 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有R C c B b A a 2 sinsinsin ，其中 a, b, c 分別是角 A，B，C 的對(duì)邊，R 為ABC 外接圓半徑。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有

8、 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A，B，C 的對(duì) 邊。 定理 14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1 ，得到 y=sinx(0) 的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移 個(gè)單 用心

9、愛心 專心 位得到 y=Asinx 的圖象。 定義 4 函數(shù) y=sinx 2 , 2 x的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù) y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù) y=tanx 2 , 2 x的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函 數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是x|

10、x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa= 2 ；arctana+arccota= 2 . 定理 16 若 2 , 0 x，則 sinxx-1，所以 cos 0 , 2 x， 所以 sin(cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)sin(cosx). 若 2 , 0 x，則因?yàn)?sinx+cosx=2cos 2 2 sin 2 2 2 xx(sinxcos 4 +sin 4 cosx)= 2sin(x+ 4 )2 2 ， 所以 0sinx 2 -cosxcos( 2 -c

11、osx)=sin(cosx). 綜上，當(dāng) x(0,)時(shí)，總有 cos(sinx)0，求證： . 2 sin cos sin cos x x 【證明】 若 + 2 ，則 x0，由 2 -0 得 coscos( 2 -)=sin, 所以 0 sin cos sin( 2 -)=cos, 所以 0 sin cos 1， 所以 . 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 若 + 2 ，則 x0，由 0 2 -cos( 2 -)=sin0, 用心 愛心 專心 所以 sin cos 1。又 0sin1， 所以2 sin cos sin cos sin cos s

12、in cos 0 0 x x ，得證。 注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。 3最小正周期的確定。 例 4 求函數(shù) y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2 是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)?cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其次， 當(dāng)且僅當(dāng) x=k+ 2 時(shí)，y=0（因?yàn)閨2cosx|2）, 所以若最小正周期為 T0，則 T0=m, mN+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2。 4三角最值問題。 例 5 已知函數(shù) y=sinx+x 2 cos1，求函數(shù)的最大值與最小值。 【解

13、法一】 令 sinx= 4 3 0 4 sin2cos1,cos2 2 x, 則有 y=). 4 sin(2sin2cos2 因?yàn)?4 3 0 4 ，所以 42 ， 所以) 4 sin(0 1， 所以當(dāng) 4 3 ，即 x=2k- 2 (kZ)時(shí)，ymin=0， 當(dāng) 4 ，即 x=2k+ 2 (kZ)時(shí)，ymax=2. 【解法二】 因?yàn)?y=sinx+)cos1(sin2cos1 222 xxx, =2（因?yàn)?a+b)22(a2+b2)） ， 且|sinx|1x 2 cos1，所以 0sinx+x 2 cos12， 所以當(dāng)x 2 cos1=sinx，即 x=2k+ 2 (kZ)時(shí), ymax=2

14、， 當(dāng)x 2 cos1=-sinx，即 x=2k- 2 (kZ)時(shí), ymin=0。 例 6 設(shè) 0，求 sin)cos1 ( 2 的最大值。 【解】因?yàn)?00, cos 2 0. 所以 sin 2 （1+cos）=2sin 2 cos2 2 = 2 cos 2 cos 2 sin22 222 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 =. 9 34 27 16 用心 愛心 專心 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2 2 =cos2 2 , 即 tan 2 = 2 2 , =2arctan 2 2 時(shí)，sin 2 (1+cos)取得最大值 9 34 。 例 7 若 A，B，C 為ABC 三個(gè)內(nèi)

15、角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因?yàn)?sinA+sinB=2sin 2 BA cos 2 sin2 2 BABA , sinC+sin 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 CCC , 又因?yàn)?3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA ， 由，得 sinA+sinB+sinC+sin 3 4sin 3 , 所以 sinA+sinB+sinC3sin 3 = 2 33 , 當(dāng) A=B=C= 3 時(shí)， （sinA+sinB+sinC）max= 2 33 . 注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|

16、cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。 5換元法的使用。 例 8 求 xx xx y cossin1 cossin 的值域。 【解】 設(shè) t=sinx+cosx=). 4 sin(2cos 2 2 sin 2 2 2 xxx 因?yàn)? 1) 4 sin(1 x 所以. 22t 又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx= 2 1 2 t ，所以 2 1 1 2 1 2 t t x y， 所以. 2 12 2 12 y 因?yàn)?t-1，所以1 2 1 t ，所以 y-1. 所以函數(shù)值域?yàn)? 2 12 , 11, 2

17、12 y 例 9 已知 a0=1, an= 1 1 121 n n a a (nN+)，求證：an 2 2 n . 用心 愛心 專心 【證明】 由題設(shè) an0，令 an=tanan, an 2 , 0 ，則 an=.tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因?yàn)?2 1n a ，an 2 , 0 ，所以 an= 1 2 1 n a，所以 an=. 2 1 0 a n 又因?yàn)?a0=tana1=1，所以 a0= 4 ，所以 n n a 2 1 4 。 又因?yàn)楫?dāng) 0 x

18、x，所以. 22 tan 22 nn n a 注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。 另外當(dāng) x 2 , 0 時(shí)，有 tanxxsinx，這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明 是很容易的。 6圖象變換：y=sinx(xR)與 y=Asin(x+)(A, , 0). 由 y=sinx 的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，然后再 保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1 ，得到 y=Asin(x+)的圖象；也可以由 y=sinx 的圖 象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1 ， 最后向左平移 個(gè)單位，

19、得到 y=Asin(x+)的圖象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) 0 , 4 3 M對(duì)稱，且在區(qū)間 2 , 0 上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。 【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，對(duì) 任意 xR 成立。 又 0，解得= 2 ， 因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于 0 , 4 3 M對(duì)稱，所以) 4 3 () 4 3 (xfxf=0。 取 x=0，得) 4 3 (f=0，所以 sin . 0 24 3 所以 24 3 k(kZ)，即= 3 2 (2k+1) (kZ

20、). 又0，取 k=0 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(2x+ 2 )在0， 2 上是減函數(shù)； 取 k=1 時(shí)，=2，此時(shí) f(x)=sin(2x+ 2 )在0， 2 上是減函數(shù)； 取 k=2 時(shí)， 3 10 ，此時(shí) f(x)=sin(x+ 2 )在0， 2 上不是單調(diào)函數(shù)， 綜上，= 3 2 或 2。 用心 愛心 專心 7三角公式的應(yīng)用。 例 11 已知 sin(-)= 13 5 ，sin(+)=- 13 5 ，且 - , 2 ，+ 2 , 2 3 ，求 sin2,cos2 的值。 【解】 因?yàn)?- , 2 ，所以 cos(-)=-. 13 12 )(sin1 2 又因?yàn)?+ 2 , 2 3 ，

21、所以 cos(+)=. 13 12 )(sin1 2 所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)= 169 120 , cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1. 例 12 已知ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 BCAcos 2 cos 1 cos 1 ，試求 2 cos CA 的值。 【解】 因?yàn)?A=1200-C，所以 cos 2 CA =cos(600-C)， 又由于 )120cos(cos cos)120cos( cos 1 )120cos( 1 cos 1 cos 1 0 0

22、0 CC CC CCCA =22 2 1 )2120cos( )60cos(2 )2120cos(120cos 2 1 )60cos(60cos2 0 0 00 00 C C C C ， 所以23 2 cos2 2 cos24 2 CACA =0。 解得 2 2 2 cos CA 或 8 23 2 cos CA 。 又 2 cos CA 0，所以 2 2 2 cos CA 。 例 13 求證：tan20 +4cos70 . 【解】 tan20 +4cos70 = 20cos 20sin +4sin20 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos

23、 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin . 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1已知銳角 x 的終邊上一點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3)，則 x 的弧度數(shù)為_。 2適合 x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 -2cscx 的角的集合為_。 用心 愛心 專心 3給出下列命題：（1）若 ，則 sinsin；（2）若 sinsin,則 ；（3）若 sin0，則 為第一或第二象限角；（4）若 為第一或第二象限角，則 sin0. 上述四個(gè)命 題中，正確的命題有_個(gè)

24、。 4已知 sinx+cosx= 5 1 (x(0, )，則 cotx=_。 5簡(jiǎn)諧振動(dòng) x1=Asin 3 t和 x2=Bsin 6 t疊加后得到的合振動(dòng)是 x=_。 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分 別是第_象限角。 7滿足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角 x 共有_個(gè)。 8已知2 2 3 x，則xcos 2 1 2 1 2 1 2 1 =_。 9 40cos170sin )10tan31 (50sin40cos =_。 10cot15 cos25 cot35 cot85

25、 =_。 11已知 ,(0, ), tan 2 1 2 , sin(+)= 13 5 ，求 cos 的值。 12已知函數(shù) f(x)= x xm cos sin2 在區(qū)間 2 , 0 上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1已知一扇形中心角是 a,所在圓半徑為 R，若其周長(zhǎng)為定值 c(c0)，當(dāng)扇形面積最大時(shí)， a=_. 2. 函數(shù) f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 3. 函數(shù) x x y cos2 sin2 的值域?yàn)開. 4. 方程xxlg 6 2sin2 =0 的實(shí)根個(gè)數(shù)為_. 5. 若 sina+cosa=tana, a 2 , 0 ，則

26、 3 _a（填大小關(guān)系）. 6. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44 )(1+tan45 )=_. 7. 若 0yx0, k=-1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù) k，使得當(dāng) x 在任意兩個(gè)整數(shù)（包括 整數(shù)本身）間變化時(shí)，函數(shù) f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 用心 愛心 專心 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一） 1若 x, yR，則 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范圍是_. 2已知圓 x2+y2=k2至少蓋住函數(shù) f(x)= k x sin3的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_. 3f()=5+

27、8cos+4cos2+cos3的最小值為_. 4方程 sinx+3cosx+a=0 在（0，2）內(nèi)有相異兩實(shí)根 ，則 +=_. 5函數(shù) f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 6設(shè) sina0cosa, 且 sin 3 a cos 3 a ，則 3 a 的取值范圍是_. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_個(gè)解. 8若 x, yR, 則 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_. 9若 00)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖象與 函數(shù) g(x)=1 2 a的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_. 2若 3 , 12 5 x，則 y=tan 3 2 x-tan 6 x+cos 6 x的最大值是 _. 3在ABC 中，記 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，則 BA C cotcot cot =_. 4設(shè) f(x)=x2-x, =arcsin 3 1 , =arctan 4 5 , =arccos 3 1 , =arccot 4 5 , 將 f(), f(), f(), f() 從小到大排列為_. 5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan