二面角的定義[教師教材]

1、二面角 1青苗輔導(dǎo) 一一、二面角的定義二面角的定義 從空間一直線出發(fā)的從空間一直線出發(fā)的 兩個半平面所組成的兩個半平面所組成的 圖形叫做二面角。圖形叫做二面角。 二面角二面角 2青苗輔導(dǎo) 二面角的平面角二面角的平面角 角角 的平面角的平面角 一個平面垂直于二面角一個平面垂直于二面角 的棱，并與兩半平的棱，并與兩半平 面分別相交于射線面分別相交于射線PA、PB 垂足為垂足為P，則，則APB叫做二面叫做二面 A B P 二面角二面角 3青苗輔導(dǎo) 二二、二面角的求法、二面角的求法 1 1、直接法、直接法： 定義法定義法: a 以二面角的棱以二面角的棱a上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂

2、直于為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于a 的兩條射線的兩條射線OA,OB，則，則AOB就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。 O A B 在一個平面在一個平面 內(nèi)選一點(diǎn)內(nèi)選一點(diǎn)A A向另一平面向另一平面 作垂線作垂線ABAB，垂足為，垂足為B B， 再過點(diǎn)再過點(diǎn)B B向棱向棱a a作垂線作垂線BOBO，垂足為，垂足為O O，連結(jié)，連結(jié)AOAO，則，則AOBAOB就是就是 二面角的平面角。二面角的平面角。 A B O 垂面法垂面法: a 過二面角內(nèi)一點(diǎn)過二面角內(nèi)一點(diǎn)A A作作AB AB 于于B B，作，作AC AC 于于C C，面，面ABCABC交棱交棱a a于點(diǎn)于點(diǎn) O O，則，則BOCBOC

3、就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。 A B C O 三垂線定理法三垂線定理法: a 二面角的求法 4青苗輔導(dǎo) A BC O cos()= S S 射 M N 三角形ABC在平面 N內(nèi)的射影為BCO 三角形ABC的面積 為S，三角形BCO的 面積為S射 面積法 5青苗輔導(dǎo) 例例1. 在棱長為在棱長為a的正方體的正方體 ABCDA1B1C1D1中，中， 求求（1）平面平面C1BD與平面與平面 ABCD所成角的大?。凰山堑拇笮?； （2）二面角二面角AB1D1C 的大小。的大小。 例題分析例題分析 A1 A C1 B C B1 D1 D P O 6青苗輔導(dǎo) 例例2.2.如圖，已知如圖，已知P

4、P是二面角是二面角-ABAB-棱上一點(diǎn)，過棱上一點(diǎn)，過P P分分 別 在別 在 、 內(nèi) 引 射 線內(nèi) 引 射 線P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度數(shù)。，求此二面角的度數(shù)。 A B P M N C D O 解解： 在PB上取不同于P 的一點(diǎn)O， 在內(nèi)過O作OCAB交PM于C， 在內(nèi)作ODAB交PN于D， 連CD，可得 COD是二面角-AB-的平面角 設(shè)PO = a ，BPM =BPN = 45 CO=a， DO=a， PC a ， PD a 22 又MPN=60 CD=PC a 2

5、 COD=90 因此，二面角的度數(shù)為因此，二面角的度數(shù)為90 a O P C 二面角 7青苗輔導(dǎo) 例例3 3如圖如圖P P為二面角為二面角 內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA,PBPA,PB,且且 PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求這二面角的度數(shù)。，求這二面角的度數(shù)。 過過PA、PB的平面的平面PAB與與 棱棱 交于交于O點(diǎn)點(diǎn) PA PA PB PB 平面PAB AOB為二面角的平面角 又PA=5，PB=8，AB=7 2 1 cosP由余弦定理得由余弦定理得 P= 60 AOB=120 這二面角的度數(shù)為這二面角的度數(shù)為120 解：解： A B P O 二面角 8青苗輔導(dǎo) O A B P

6、 C 取取AB 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，連連PE，OE O為為 AC 中點(diǎn)中點(diǎn)， ABC=90 OEBC且且 OE BC 2 1 2 2 2 1 在RtPOE中， OE ，PO 2 2 tanPEO 2 2 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值為的正切值為 例例4 4如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影 是底面是底面RtRtABCABC斜邊斜邊ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1， BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。 2 PEO為二面角為二面角P-AB-

7、C 的平面角的平面角 2 3 在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE 2 1 OEAB ，因此因此 PEAB E 解：解： EO P 二面角 9青苗輔導(dǎo) 例5 已知：RtABC中，AB=AC=a，AD是斜邊BC上的 高，以AD為折痕使BDC成直角。 求證： 平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC BAC = 60 。 證明：證明： 在圖乙中在圖乙中 ADBD，ADDC， AD平面平面BDC， 平面平面ABD平面平面BDC， 在圖甲中在圖甲中 AB=AC=a，BAC=90 。 在圖乙中在圖乙中 ABC是等邊三角形是等邊三角形 BAC=60。 。 平面平面ACD平面平面BDC。 又又AD

8、平面平面ABD，AD 平面平面ACD， BD=DC=BC/2=2/2 D B A C A D BC (甲圖） （乙圖） 10青苗輔導(dǎo) 例6、如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點(diǎn)，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為A1B1C1，故這兩個 平面所成二面角的余弦值為 3 2 1 111 EAB CBA S S A B C D A1 B1 C1 D1 E M 11青苗輔導(dǎo) A B C A1 B1 C1 例7：在直三棱柱ABCA1B1C1中， BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與 平面ABC成300角，求二面角BB1C A的正弦值 N

9、 Q 分析：易知，平面ABC與 平面BCC1B1垂直故可由面 面垂直的性質(zhì)來尋找從一 個半平面到另一個半平面 的垂線。 12青苗輔導(dǎo) 解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC 平面BCC1B1， 過A作AN 平面BCC1B1，垂足為N，則AN 平 面BCC1B1，（AN即為我們要找的垂線）在平面 BCB1內(nèi)過N作NQ棱B1C，垂足為Q，連QA，則 NQA即為二面角的平面角。 AB 1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CAAB， CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 。直線B1C與 平面ABC成30 0 角，B 1 CB=30 0 ，B 1 C=2， RtB1AC中，由勾股定理得AC= ，AQ=1。 在Rt

10、BAC中，AB=1，AC=，得AN= 。 sinAQN= 。即二面角BB1CA的正弦值為 。 3 6 3 6 3 6 2 2 13青苗輔導(dǎo) 1、如圖，、如圖，AB是圓的直徑，是圓的直徑，PA垂垂 直圓所在的平面，直圓所在的平面，C是圓上任一是圓上任一 點(diǎn)，則二面角點(diǎn)，則二面角P-BC-A的平面角為的平面角為: A.ABP B.ACP C.都不是都不是 練練 習(xí)習(xí) 2、已知、已知P為二面角為二面角 內(nèi)一內(nèi)一 點(diǎn)，且點(diǎn)，且P到兩個半平面的距離都等到兩個半平面的距離都等 于于P到棱的距離的一半，則這個二到棱的距離的一半，則這個二 面角的度數(shù)是多少？面角的度數(shù)是多少？ p A B O A B C P

11、60 二面角 14青苗輔導(dǎo) 二二、二面角的平面角二面角的平面角 一一、二面角的定義二面角的定義 從空間一直線出發(fā)的兩個半 平面所組成的圖形叫做二面角 1、定義、定義 2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法 點(diǎn)點(diǎn)P在棱上在棱上 點(diǎn)點(diǎn)P在一個半平面上在一個半平面上 點(diǎn)點(diǎn)P在二面角內(nèi)在二面角內(nèi) A B P 小小 結(jié)結(jié) A B p p A B p A B O 定義法定義法 三垂線定理法三垂線定理法 垂面法垂面法 二面角 15青苗輔導(dǎo) 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明： 定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個面的一個頂點(diǎn)）向棱定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個面的一個頂點(diǎn)）向棱 作垂線，再由垂足在另一個

12、面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任 意三角形中，所以不好計算，不是我們首選的方法意三角形中，所以不好計算，不是我們首選的方法。 三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個面的一個頂點(diǎn)）向另三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個面的一個頂點(diǎn)）向另 一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個點(diǎn)和棱上垂足。此法一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個點(diǎn)和棱上垂足。此法 得出的平面角在直角三角形中，計算簡便，所以我們常用此法得出的平面角在直角三角形中，計算簡便，所以我們常用此法。 垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選垂

13、面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選 擇，所以此法一般不用擇，所以此法一般不用。 以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。 間接法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射影面積公間接法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射影面積公 式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式,這種方法雖然避免這種方法雖然避免 了找平面角，但計算較繁，所以不常用了找平面角，但計算較繁，所以不常用。 二面角的求法 16青苗輔導(dǎo) A B C D AB=AD， BC=CD 已知三個側(cè)面的頂 角,求相鄰兩個側(cè) 面所成的角 注意一些 全 等 三角形或 相 似 三角形 17青苗輔導(dǎo) ,PAB 已知:四棱錐P-ABCD的底面ABCD是AB=2,BC= 2的矩形 側(cè)面是等邊三 角形,且側(cè)面PAB底面ABCD.求平面